专题01集合 （文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

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常考点归纳

常考点01 集合的概念

【典例1】

1.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．9 B．8 C．5 D．4

2．已知集合,则中所含元素的个数为

A． B． C． D．

【答案】1.A   2.D

【解析】1.

当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.

2.列举法得出集合，共含个元素．故答案选.

【考点总结与提高】

解决集合概念问题的一般思路：

（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：

（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.

【变式演练1】

1.已知集合，，则集合中元素的个数为（   ）

A．        B．3         C．4         D．5

2.已知互异的复数满足，集合={,},则= （ ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】1.D    2.D

【解析】1.当时，，则；当时，，则，故集合，即元素的个数为5，故选D．

2.由题意或，因为，，，因此．选D.

常考点02 集合的基本关系

【典例2】

1.已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则(　　)．

A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．BA D．AB

2．已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则

A． B． C．A=B D．A∩B=∅

【答案】1.B   2.B

【解析】1.依题意，又因为B＝{x|－＜x＜}，由数轴可知A∪B＝R，故选B.

2.集合，又，所以B是A的真子集，选B.

【考点总结与提高】

集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.

必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.

注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.

【变式演练2】

1. 已知集合，则集合的子集的个数为

A．       B．      C．      D．

2．已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为

A．  B．      C．         D．

【答案】1.B   2.D

【解析】1.集合，，故集合的子集的个数为.故选B.

2．因为集合，，，

若为空集，则方程无解，解得；

若不为空集，则，由解得，所以或，解得或，

综上，由实数的所有可能的取值组成的集合为.故选D.

常考点03 集合的基本运算

【典例3】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

2．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】1．C  2．B

【解析】1.由题意，中的元素满足，且，

由，得，所以满足的有，

故中元素的个数为4.故选：C.

2.由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.

【典例4】

1.(2021年高考全国甲卷理科)设集合，则 (　　)

A． B． C． D．

2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】1．B  2．B

【解析】1．因为，所以,故选：B．

2．，故．故选：B．

【典例5】

1．(2020年高考课标Ⅰ卷理科)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= (　　)

A．–4 B．–2 C．2 D．4

2.设集合，．若，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】1．B  2．C

【解析】1.求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：．

由于，故：，解得：．故选：B．

2.解法一：常规解法

∵ ∴ 1是方程的一个根，即，∴

故

解法二：韦达定理法

∵ ∴ 1是方程的一个根，∴ 利用伟大定理可知：，解得：

，故

解法三：排除法

∵集合中的元素必是方程方程的根，∴ ，从四个选项A﹑B﹑C﹑D

看只有C选项满足题意．

【典例6】

1．(2021年高考全国乙卷理科)已知集合，，则 (　　)

A． B． C． D．

2．已知集合，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】1．C  2．C

【解析】1.任取，则，其中，所以，，故，因此，．故选：C．

2.，又，所以，故选C．

【典例7】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知全集，集合，则(   )

A． B． C． D．

2．已知集合，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】1.A  2.B

【解析】1.由题意可得：，则.故选：A.

2.解不等式得，所以，

所以可以求得，故选B.

【典例8】

1．集合，，则的子集个数为（    ）

A．3 B．2 C．4 D．8

2．已知集合，集合，则的真子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】1.D  2.C

【解析】1.因为，，所以，

∴的子集个数为个．故选：D

2.由得，则集合，所以，故的真子集个数为.

故选：C.

【考点总结与提高】

1．集合的基本运算

2．集合运算的相关结论

3．必记结论

4.有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有：

（1）有限集（数集）间集合的运算

求解时，可以用定义法和Venn图法，在应用Venn图时，注意全集内的元素要不重不漏.

（2）无限集间集合的运算

常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围.

（3）用德·摩根公式法求解集合间的运算

对于有和的情况，可以直接应用德·摩根公式和进行运算.

【变式演练3】

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

3．设集合，，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知集合M＝{（x，y）|y＝2，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则中的元素个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

6．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

7．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知全集为，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知集合，，则（    ）

A．  B． C． D．

11．已知集合，，则的子集个数为（    ）

A． B． C． D．

12．已知集合，，则的子集个数为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】1.A   2.D   3.B   4.A   5. A   6.C   7.C   8.A   9.D   10.B   11.B   12.B

【解析】

1.因为，，所以.故选：A.

2.因为，，所以．故选：D．

3.由，，

故，元素个数为3.故选：B

4.由；；

则.故选：A

5.∵集合M＝{（x，y）|y＝2x﹣1，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2﹣4}，

∴M∩N＝{（x，y）|}＝．∴M∩N中的元素个数为0．故选：A．

6.因为集合，

集合，

因为时，成立，所以.故选：C.

7.由，可得.故选：C.

8.由题意得：集合，所以.故选：A

9.，则

.故选D.

10.集合或，则，或，则，故选：B.

11.由已知可得，因此，的子集个数为.故选：B.

12.因为，，所以，

则中元素的个数为，的子集个数为，故选：B.

【冲关突破训练】

1.已知集合，则（   ）

A．  B．    C．      D．

【解析】因为，，
所以．故选A．

2．已知集合，，则（   ）

A．  B．  C．  D．

【解析】由题意知，，则．故选C．

3．已知集合,，则=（   ）

A．  B．    C．     D．

【解析】由于，所以．故选A．

4．设集合=，=，则=（   ）

A．｛1｝     B．｛2｝      C．｛0，1｝     D．｛1，2｝

【解析】，∴=｛1，2｝．故选D．

5．已知集合,,则=（   ）

A．  B．     C．   D．

【解析】∵，∴.故选A．

6．设集合 ，则ST=（   ）

A．[2，3]                   B．（ ，2] [3,+）

C．[3,+）                 D．（0，2] [3,+）

【解析】，所以，故选D．

7．已知集合，，则（   ）

A．        B．      C．      D．

【解析】A=（1,2），故BA，故选B.

8．已知集合，，则中元素的个数为

A．3           B．2             C．1              D．0

【解析】集合、为点集，易知圆与直线有两个交点，

所以中元素的个数为2．选B．

9．已知集合，则中元素的个数为（   ）

A．9    B．8   C．5   D．4

【解析】通解  由知，，．

又，，所以，，

所以中元素的个数为，故选A．

优解  根据集合的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，

易知在圆中有9个整点，即为集合的元素个数，故选A．

10．已知集合，则（   ）

A．                B．

【解析】因为，所以，故选B．

11．已知集合,,则（   ）

A．       B．       C．     D．

【解析】由已知可得，

∴，∴，故选C．

12．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，，则的子集共有（   ）

A．2个      B．4个      C．6个      D．8个

【解析】，故的子集有4个．故选B．