专题04函数及其表示 （文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题04  函数及其表示

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常考点归纳

常考点01 求函数的定义域

【典例1】

1．（2020北京11）函数的定义域是__________．

2．若函数的定义域是，则函数的定义域为________．

【答案】1.      2.

【解析】1.要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．

2.的定义域是，的定义域是，则的定义域为满足不等式的x的取值范围，，故答案为.

【考点总结与提高】

1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．

2．求函数定义域的注意点[来源:Z§xx§k.Com]

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.

【变式演练1】

1.函数的定义域为    ．

2．设函数，则的定义域为

A．  B．          C．         D．

【答案】1.     2.B

【解析】1.要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是．

2.由题意，函数满足，即，

所以函数满足且，解得，

即函数的定义域为，故选B．

常考点02 求函数的值域

【典例2】

1.设全集为R，集合，则（    ）

A．     B．     C．       D．

2．函数的值域为        ．

【答案】1.D     2.

【解析】1.全集为，集合，，

或，．故选：．

2.当时，，当时，，∴值域为．

【考点总结与提高】

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

   1．观察法：

通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．

2．利用常见函数的值域：

一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.

3．换元法：

对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数

可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．

4．配方法：

对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．

6．数形结合法：

作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．

7．单调性法：

函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．

【变式演练2】

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如:，，已知函数，则函数的值域为

A．  B．          C．  D．[来源:Zxxk.Com]

【答案】1.B    2.C

【解析】1.因为函数在单减，在上单增，所以，

要使函数有意义，只需，解得，所以，所以

2.的定义域为，，

因为，所以，所以的值域为，所以的值域为，

故选C.

【名师点睛】解答本题时，先求的值域，再根据高斯函数的定义求的值域.函数值域的求法，大致有两类基本的方法：

（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.

（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.

常考点03 分段函数

【典例3】

1．2015新课标2，理5）设函数,(     )

A．3     B．6       C．9     D．12

2．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则满足的的取值范围是         ．

【答案】1.C   2.

【解析】1.由已知得，又，所以，故，故选C．

2.法一：因为

当时，；

当时，；

当时，由，可解得

综上可知满足的的取值范围是．

法二：，，即

由图象变换可画出与的图象如下：

由图可知，满足的解为．

法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是．

【考点】分段函数；分类讨论的思想

【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

【考点总结与提高】

分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：

1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．

2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．

3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．

4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．

【变式演练3】

1．已知函数，则______．

2．设函数则使得成立的的取值范围是______．

【答案】1.    2.

【解析】1.函数，因为，且，

则．

故答案为：．

2.当时，由得，∴；当时，

由得，∴，综上．

【冲关突破训练】

1．设集合，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】集合，

集合或，

则，，故选C.

2.函数的定义域为

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】故选B．

3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是

A．[0,1]     B．[0,1)       C．[0,1)∪(1,4]     D．(0,1)

【答案】D

【解析】∵f(x)的定义域为[0,2]，∴要使f(2x)有意义，必有0≤2x≤2，∴0≤x≤1，

∴要使g(x)有意义，应有，∴0<x<1，故选D．

4.已知函数，，若，则

A．1        B．2        C．3        D．-1

【答案】A

【解析】因为，且，所以，即，解得．

5.函数的定义域是（   ）

A．   B．     C．     D．

【答案】C

【解析】由题知，∴，故选C，

6.设函数,(     )

A．3     B．6       C．9     D．12

【答案】C

【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．

7.已知函数，且，则

A．       B．       C．         D．

【答案】A

【解析】∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，当时，，解得，∴=，故选A．

8．已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为

A．                    B．

C.                      D．

【答案】A

【解析】当时，令，解得，当时，令，解得，故．∵为偶函数，∴的解集为，故的解集为

9.已知函数的图象过点，则       ．

【答案】2

【解析】由题意可知在函数图象上，即，∴．

10．函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】依题意得，得，即函数的定义为.

11．已知函数，则_______，的最小值是______．

【答案】0、

【解析】∵，，即．又在

上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以．

12.若函数( 且 )的值域是，则实数的取值范围是               ．

【答案】

【解析】因为，所以当时，；又函数的值域为，所以，解得，所以实数的取值范围为．