专题13解三角形（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题13解三角形（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共15页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，变式演练3，变式演练4，冲关突破训练等内容，欢迎下载使用。
专题13  解三角形专题导航目录常考点01 正弦定理、余弦定理【典例1】【考点总结与提高】【变式演练1】常考点02 三角形中的几何计算【典例2】【考点总结与提高】【变式演练2】常考点03 解三角形在实际问题中的应用【典例3】【考点总结与提高】【变式演练3】常考点04 解三角形面积有关的问题【典例4】【考点总结与提高】【变式演练4】【冲关突破训练】常考点归纳常考点01 正弦定理、余弦定理【典例1】1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= (　　)A． B． C． D．2．（2021年上海卷第18题）在中，已知（1）若，求的面积；（2）若，求的周长.【答案】1.A   2.（1）；（2）【解析】1.在中，，，根据余弦定理：，可得 ，即由，故．故选：A．2.（1）由已知得，（2）因为，，，所以因为，所以所以【考点总结与提高】利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．（2）三角形中的三角函数关系：；  ；   ；   .【变式演练1】 1．的内角的对边分别为，若，，，则         ． 2.的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.(1)求；(2)若，，求的周长．【答案】1.   2.（1）；（2）【解析】1.由平方关系可得： 所以 再由正弦定理得：．2.（1）由题设得，即 由正弦定理得．故．（2）由题设及（1）得所以，故．由题设得，即．由余弦定理得，即，得．故的周长为．常考点02 三角形中的几何计算【典例2】1.（2021年浙江卷）在中，，，M是BC的中点，，则AC=　  　，　  　．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．【答案】1.；．   2. 【解析】1.在中，，
法一：在中， 在中，法二：在中，，      在中，          2.，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案为：．【考点总结与提高】几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.【变式演练2】1．在平面四边形中，，B，则的取值范围是          ．                     2．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的长．【答案】1.（，）   2.(1)   ;（2），【解析】1.如图所示，
延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）．2.（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得．（Ⅱ）因为，所以．在和中，由余弦定理得，．．由（Ⅰ）知，所以．常考点03 解三角形在实际问题中的应用【典例3】1．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为()              (　　)A．346 B．373 C．446 D．4732.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____．
【答案】1.B   2.150【解析】1.过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故选：B．
2.在三角形中，，在三角形中，，解得，在三角形中，，故．【考点总结与提高】解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.【变式演练3】1.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A．5 m      B．15 m    C．5 m      D．15 m2．如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则AB=______km.．【答案】 1.D    2.【解析】1. 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．2.在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝ km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，常考点04 解三角形面积有关的问题【典例4】1．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为　　．2.（2019全国Ⅲ理18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】1.    2.（1）；（2）【解析】1.由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以， 2.（1）由题设及正弦定理得．因为，所以．由，可得，故．因为，故，因此．（2）由题设及（1）知△ABC的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，从而．因此，面积的取值范围是．【考点总结与提高】（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【变式演练4】1．的内角的对边分别为，若的面积为，则 (　　)A． B． C． D．【答案】C解析：由余弦定理可得，所以由所以，而，所以，故选C．2．已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．【答案】 解析:由且 , 即,由及正弦定理得: ∴,故,∴,∴ ,∴, 【冲关突破训练】1．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于(　　) A．3　　　 B．6     C．2　　　 D．3【答案】 B【解析】  由正弦定理得＝， ∴a＝＝＝6.2．在中，，，，则 (　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选A．3.在△ABC中,,边上的高等于,则 (　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】设边上的高线为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.4．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= (　　)A．5 B． C．2 D．1【答案】B【解析】有面积公式得：，解得，因为钝角三角形，所以，由余弦定理得：，所以，选B。5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝4，b＝3，c＝2，则中线AD的长为(　　)A.　　　 B．      C．　　  D．【答案】 D【解析】 如图，由余弦定理得AB2＝DA2＋DB2－2DA·DBcos∠ADB，AC2＝DA2＋DC2－2DA·DCcos∠ADC，两式相加得AB2＋AC2＝2DA2＋DB2＋DC2，即22＋32＝2DA2＋22＋22，∴2DA2＝5.∴DA＝.6.在中，内角所对的边分别为，若，，则的值为A．1      B．      C．     D．【答案】D【解析】由，结合正弦定理，可得，即，由于，所以，因为0＜A＜π，所以．又，由余弦定理可得，即，所以.故选D．7．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.【答案】 30＋30【解析】在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，由正弦定理得＝，∴BP＝＝30(＋)，∴树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.8．中，，则的面积为___．【答案】【解析】根据得，，所以=．9．已知外接圆的半径为，内角，，对应的边分别为，，，若，，则的值为____________．【答案】【解析】由正弦定理可得：，，解得：，由余弦定理可得：，解得：或（舍去），.10．在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为          .【答案】【解析】如图.在中，，整理得，∴，当且仅当AD=DC时取等号，∴的面积，∴的面积的最大值为．11.（2021年天津卷）在，角所对的边分别为，已知，．（1）求a的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为，由正弦定理可得，，；（2）由余弦定理可得；（3），，，，所以.12．如图，在中，，，P为内一点，(1)若，求；(2)若，求．【答案】（1）　　（2）【解析】（Ⅰ）由已知得，，∴，在中，由余弦定理得==，∴PA=；（Ⅱ）设，由已知得,，在中，由正弦定理得，，化简得，，∴=，∴=．