专题14平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题14  平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算

专题导航

常考点归纳

常考点01 平面向量的概念及线性运算

【典例1】

1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)在中,为边上的中线，为的中点，则(　　)

A．    B．    C．       D．

2.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】1.A    2.A

【解析】1.在中，为边上的中线，为的中点，

，故选A．

2.∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.

【考点总结与提高】

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

【变式演练1】

1．设分别为的三边的中点，则（   ）

A．    B．      C．         D．

2.已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________．

【答案】1.A    2.2

【解析】1.根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，同时

．

2.由题意知：

常考点02平面向量基本定理的应用

【典例2】

1．（2020江苏13）在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是             ．

2．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为              (　　)

A． B． C． D．

【答案】1.    2.A

【解析】1.由向量系数为常数，结合等和线性质可知，

故，，故，故．

在中，；在中，由正弦定理得，

即．

2.法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图

则，，，，连结，过点作于点

在中，有

即

所以圆的方程为

可设

由可得

所以，所以

其中，

所以的最大值为，故选A．

法二：通过点作于点，由，，可求得

又由，可求得

由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值

又点到的距离与点到直线的距离相等，均为

而此时点到直线的距离为

所以，所以的最大值为，故选A．

另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．

法三：如图，建立平面直角坐标系

设

根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是

，若满足

即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．

【考点总结与提高】

1.若A、B、C三点共线，且,则

2.中确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解

【变式演练2】

1．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则=         ．

2．在中，点，满足，，若，则       ；       ．

【答案】1.3    2. 

【解析】1.由可得，，由=+得，即，两式相加得，，所以，所以．

2.由 =．所以，．

常考点03 平面向量共线的充要条件

【典例3】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则_________．

2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则         ．

【答案】1.     2.

【解析】1.由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.

故答案为：.

2.依题意可得，又，

所以，解得．

【考点总结与提高】

(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．

【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

(4)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．

【变式演练3】

1．已知向量，若λ为实数，，则λ=______

2.已知向量，若 与共线，则k=____ .

【答案】1.     2.1

【解析】1.由题意可得，因为，所以，解得

2.由题意可得，因为 与共线，所以，解得

【冲关突破训练】

1．如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么（    ）．

A．0 B． C．1 D．2

【答案】A

【解析】设为水平向右的单位向量，为水平向上的单位向量.

则，，.

因为，所以，

即.所以，解得.

所以.故选:A

2．已知，为一组基底，与共线，则的值是（    ）

A．2 B．-3 C．-2 D．3

【答案】A

【解析】因为，为一组基底，与共线，

所以，即，所以，解得，所以的值是2．

故选：A．

3．在中，，且，则的值为（    ）．

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【解析】因为，则，即点在的延长线上，且为的中点，

则，所以，，则，

故选：．

4．已知向量，则x的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，即，
计算得：，所以选项B正确，选项ACD错误.故选：B.

5．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且，

所以，

所以.

故选:C.

6．设为所在平面内一点，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，为所在平面内一点，，如下图所示

①；②

因为，代入①中可得③

由②③可得，

故选：B

7．点为的重心，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，故.

故选：A.

8．已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图，由得，

即，即，故，

故与以为底，其高的比为，故．

故选：C．

9．设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.

【答案】

【解析】由相反向量为且模长为，∴.故答案为：

10．在平行四边形中，点为边的中点，，则________．

【答案】

【解析】，

又因为，所以，解得所以．

故答案为：

11．已知向量，，，则______．

【答案】

【解析】因为，，所以

因为，所以，则．故答案为：

12．已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.

【答案】

【解析】设，所以，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列，

因为，所以，

所以，

所以，

故答案为：.