专题08函数模型及函数的综合应用（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题08函数模型及函数的综合应用（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共16页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，名师点睛，变式演练3，变式演练4，冲关突破训练等内容，欢迎下载使用。

专题08 函数模型及函数的综合应用
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常考点01 二次函数模型的应用 1
常考点02 分段函数模型的应用 3
常考点03 指数、对数函数模型的应用 5
常考点04 函数模型的比较选择 7

常考点归纳
常考点01 二次函数模型的应用
【典例1】
1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟

2.某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现:①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系: r(x)=kx+b1,在销售淡季近似地符合函数关系: r(x)=kx+b2，其中k<0, b1, b2>0且k，b1, b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍。请根据上述信息，完成下面问题:
⑴写出销售旺季与淡季，销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式。
⑵在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件?
【答案】1．B 2．⑴销售旺季(元)，销售淡季(元) (2)110元/件
【解析】1.由题意可知过点（3，0．7），（4，0．8）（5，0．5），代入
中可解得，∴
，∴当分钟时，可食用率最大．
2.⑴销售旺季(元)，销售淡季(元) ⑵在⑴的表达式中，由k<0可知，在销售旺季，当时，利润y取得最大值；在销售淡季，当时，利润y取得最大值。下面分销售旺季与销售淡季进行讨论:由②知，在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润，因此在销售旺季，当标价=140时，利润y取得最大值，此时，b1=-180k, 销售量r(x)=kx-180k.令kx-180k=0得x=180，故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件.由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为120元/件.可见在销售淡季，当标价x=120时，r(x)=kx+b2=0，120k+b2=0, b2=-120k. 在销售淡季,当时，利润y取得最大值，故在销售旺季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为110元/件.
【考点总结与提高】
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
【变式演练1】
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者 (　　)
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B． C． D．
【答案】1.B 2.D
【解析】1.由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名．故选：B
2.设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．
常考点02 分段函数模型的应用
1．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 (单位：百件)关于每件衣服的利润 (单位：元)的函数解析式为， 则当该服装厂所获效益最大时， （ ）
A．20 B．60 C．80 D．40
2．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【答案】1.C 2.(1), (2)略
【解析】
1.设该服装厂所获效益为f(x)（单位：元），则
当0＜x≤20时， 在区间（0，20]上单调递增，所以当x=20时，f(x)有最大值120000．
当20＜x≤180时， 则
令当20＜x＜80时， 单调递增，当80≤x≤180时，
单调递减，所以当x=80时，f(x)有最大值240000．故选C．
2.(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当时，若，即，解得（舍）或；
∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，整理得：，
则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
【考点总结与提高】
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
【变式演练2】
1．已知实数，函数若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2.已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件，本全部销售完，每1千件的销售收入为R(x) 万元,且R(x)= 。
⑴写出年利润W(万元)关于年产品(千件)的函数解析式；
⑵年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?
【答案】1.B 2.略
【解析】1.当时,1-a>1,1+a<1,所以=,=,因为，所以,即,解得,所以a的取值范围是,故选B.
【名师点睛】题考查分段函数的解析式以及性质问题,属于中档题目.若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同,这种形式的函数叫分段函数.由题意可知自变量和的所属区间,代入解析式可求得与的函数表达式,将原不等式转化为关于a的一元二次不等式,求出解集即可.
2.R(x)-(10+2.7x)= ⑵当时，令=0，得x=9且当时，；当时，，所以当x=9时，W取最大值，且Wmax=.当时,W=
,当且仅当即时Wmax=38综上所知，当x=9时，W取最大值为38.6.
【名师点睛】本题第⑴问主要是根据题设条件给出的函数去求，但要注意分段求解。第⑵问主要是通过求导取得极值，最后再求得最值，但要以第⑴问确定的函数定义域为根据。
常考点03 指数、对数函数模型的应用
1．（2020山东6）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（） （ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
2．(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为(　　)()
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
【答案】1.B 2.C
【解析】1.因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选：B．
2.`由，当时，，则．
故选：C．
【考点总结与提高】
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
【变式演练3】
1．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.7天 D．3.6天
2．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（ ）
(参考数据：，)
A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631
【答案】1.D 2.C
【解析】1.把，代入，可得，，
当时，，则，两边取对数得，解得．故选：D
2.由题意知，，即，
所以，解得.故选：C.
常考点04 函数模型的比较选择
1．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 (　　)
A B． C． D．
2．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】1.D 2.D
【解析】1.由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是．
故选：D．
2.如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D．



【考点总结与提高】
根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.
【变式演练4】
1．如图记录了一种叫万年松的树生长时间(年)与树高之间的散点图.请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是

A． B． C． D．
2．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．
【答案】1.B 2.②④
【解析】1.分析可知，如果为A选项，则A选项函数过点，而该函数图像不过，故错误；对于B选项，可知该函数图像类似于对数函数图像，故正确；C选项，该函数递增很快，不符合这个图像，故错误；D选项，同样函数递增很快，不符合这个图像，故错误，故选B．
2.① ，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意；
② 为增函数，且，且，则，符合题意；
③ ，当时，不合题意
④ ，当时，，故该函数在上单调递增，又
设，
即， 易知在上为减函数
令，则存在，有
当，；当，；
故在递增，在递减.，
故上，即上，故④符合题意
故答案为：②④


【冲关突破训练】
1．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（ ）m．

A．400 B．12 C．20 D．30
【答案】C
【解析】
设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，0<<40，
解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，
当x＝20时，Smax＝400．故选：C.
2．为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N0，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为（ ）(参考数据：log1.4454≈18，log2.4454≈7，log3.4454≈5)
A．260 B．580 C．910 D．1200
【答案】C
【解析】，因为，所以，所以.故选：C
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为(　　)(ln19≈3)
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得．故选：C．
4.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（）
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】B
【解析】
由题意得：，；
，
该学生在高考中可能取得的总分约为分.故选：B.
5．某医药研究所研发了一种治疗某疾病的新药，服药后，当每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效．据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（单位：毫克）与时间t（单位：时）之间满足如图所示的曲线，则服药一次后治疗疾病的有效时间为（　　）

A． B． C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意，当时，函数图象是一个线段，
由于过原点与点，故其解析式为，；
当时，函数的解析式为，
此时在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得
故函数的解析式为，．
所以．
令，即，解得，．
服药一次治疗疾病有效的时间为小时．故选：．
6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况． 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】 “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时． 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D．
7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟

【答案】B
【解析】由题意可知过点（3，0．7），（4，0．8）（5，0．5），代入
中可解得，∴
，∴当分钟时，可食用率最大．
8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．
9．若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是 ．
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】①在上单调递增，故具有性质；
②在上单调递减，故不具有性质；
③，令，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
故不具有性质；
④，令，
则，
在上单调递增，故具有性质．

10．（2020北京15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间 的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．

给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】∵用来评价治污能力，而是图像上两点连线的斜率，在上，甲的治污能力比乙强，故①对，时刻甲比乙强，时刻都低于达标排放量，∴都达标，甲企业在时刻治污能力不是最强．
11．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，若，即，解得（舍）或；
∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，
整理得：，
则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
12．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．
（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．
【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元．
又题意据，所以，
从而．因，又由可得，
故函数的定义域为．
（Ⅱ）因，故．令，
解得（因不在定义域内，舍去）．
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数．
由此可知，在处取得最大值，此时．
即当，时，该蓄水池的体积最大．