专题09导数及其应用（文科专用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题09导数及其应用（文科专用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共18页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，变式演练3，冲关突破训练等内容，欢迎下载使用。

专题09 导数及其应用（文科）
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目录
常考点01 导数的几何意义（切线方程） 1
【典例1】 1
【典例2】 2
【考点总结与提高】 3
【变式演练1】 4
常考点02 利用导数研究函数的单调性 5
【典例3】 5
【考点总结与提高】 6
【变式演练2】 7
常考点03 利用导数研究函数的极值、最值 9
【典例4】 9
【考点总结与提高】 10
【变式演练3】 11
【冲关突破训练】 13

常考点归纳
常考点01 导数的几何意义（切线方程）
【典例1】
1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线在点处的切线方程为___________．
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】1. 2.
【解析】1.所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
2.设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.故答案为：.
【典例2】
1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】1.D 2.D
【解析】1.，
将代入得，故选D．
2.在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.

【考点总结与提高】
求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

【变式演练1】
1．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
2．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
3．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
4．已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ________.
【答案】1.D 2. 3. 4.1
【解析】1.因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
2.当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．
3.对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
4.
.
常考点02 利用导数研究函数的单调性
【典例3】
1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】1.D 2.(1)答案见解析；(2) 和.
1.，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．
2.(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上

单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
【考点总结与提高】
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
【变式演练2】
1．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
2．已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】1.(1)见详解；(2) . 2.(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【解析】1.(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.
而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，
求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.
2.（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．
常考点03 利用导数研究函数的极值、最值
【典例4】
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
2..（2020·北京卷）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】1.D 2.（Ⅰ），（Ⅱ）32.
【解析】1.若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
依题意，为函数的极大值点，
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.故选：D
2.（Ⅰ）因，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）显然，[来源:学科网ZXXK]
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
【考点总结与提高】
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
【变式演练3】
1.若函数在时有极值，则_________
2.设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
【答案】1. 2.（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】1.，依题意可得：，可解得：
或，但是当时， 所以尽管但不是极值点，所以舍去。经检验：符合，
2.（Ⅰ）因为，
所以.，
由题设知，即，解得.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.
若a>1，则当时，；
当时，.所以在x=1处取得极小值.
若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.
综上可知，a的取值范围是.
方法二：.
（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：
x

1


+
0
−

↗
极大值
↘
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令得.
①当，即a=1时，，
∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.
②当，即0 x

1




+
0
−
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：
x






+
0
−
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令得.
随x的变化情况如下表：
x






−
0
+
0
−

↘
极小值
↗
极大值
↘
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为.

【冲关突破训练】
1．直线是曲线的一条切线，则实数k的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】设切点为，由，得，则，
则曲线在切点处的切线方程为，
由已知可得，切线过定点，代入切线方程可得：，解得，
则.故选：A.
2．若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意知，的周期，得．故选A．
3．函数在处导数存在，若p:是的极值点，则
A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】C
【解析】根据函数极值的定义可知，函数为函数的极值点，一定成立，但当时，函数不一定取得极值，比如函数，函数的导数，当时，，但函数单调递增，没有极值，则是的必要条件，但不是的充分条件，故选C．
4．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（ ）
A． B． C．e2 D．
【答案】C
【解析】，，所以切点.
，，切线，即.
设的切点为，
，，所以.
将代入切线得：，的切点为，
将代入得：，解得.
故选：C
5．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，所以，
因为时 ，都有x+2f（x）＞0恒成立，所以，
所以在上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以也是定义在R上的偶函数
所以在上是减函数，
又因为，所以，
又因为，即.所以.选：A
6．曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由，得，
则曲线在点处的切线的斜率为，
则所求切线方程为，即.
7．曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
8．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______．
【答案】
【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
9．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则________．
【答案】8
【解析】函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；
当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.
10．曲线在点(1,1)处的切线方程为________
【答案】
【解析】函数的导数为，所以在(1,1)的切线斜率为
，所以切线方程为，即.
11．设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】（1）函数的定义域为，又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
12．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.
先证：，
若，必成立.
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立.
设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.
综上所述，.