专题06指数函数与对数函数 （文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题06  指数函数与对数函数

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常考点归纳

常考点01 指数函数单调性的应用

【典例1】

1．若，，则（    ）

A． B． C． D．

2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知,,,则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】1.A   2.B

【解析】1.由，得，所以,又，所以，故选B．

2.因为,,故选A.

【考点总结与提高】

1．比较幂的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．

2．解指数方程或不等式

简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

【变式演练1】

1． 设，则的大小关系是

A．        B．      C．        D．

2．（2015·江苏高考真题）不等式的解集为________.

【答案】1.A    2.

【解析】1.对于函数，在其定义域上是减函数，

，，即.

在同一平面直角坐标系中画出函数和函数的图象，

可知，即.从而.故A正确.

【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分与两种情况讨论.

2.,是一个递增函数；

故答案为.

常考点02 指数函数的图像与性质

【典例2】

1.已知函数，则是（   ）

A．奇函数，且在上是增函数     B．偶函数，且在上是增函数

C．奇函数，且在上是减函数     D．偶函数，且在上是减函数

2.若存在正数x使成立，则a 的取值范围是（   ）

A．（-∞，+∞） B．(-2, +∞) C．(0, +∞) D．（-1，+∞）

【答案】1.C    2.D

【解析】1.易知函数的定义域为，关于原点对称，

且，则，

所以是奇函数，显然函数是减函数.故选C．

2.由题意知，存在正数，使，所以，而函数在上是增函数，所以，所以，故选D.

【考点总结与提高】

1．指数型函数中参数的取值或范围问题

应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论．

2．指数函数的综合问题

要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.

【变式演练2】

1．当时，，则a的取值范围是

A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)

2.函数的值域为________．

【答案】1.B     2.(0，2]

【解析】1.当时，显然不成立.

若时

当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.

2.设，又由指数函数为单调递减函数，即可求解．

由题意，设，

又由指数函数为单调递减函数，知当时，，

即函数的值域为．

常考点03 比较对数值大小

【典例3】

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 (　　)

Aa<b<c      B．b<a<c     C．b<c<a     D．c<a<b

2．（2021·天津高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【答案】 1.A    2.D

【解析】

1.由题意可知、、，

，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得．

综上所述，．故选：A．

2.，，

，，

，，

.故选：D.

【考点总结与提高】

比较对数式的大小：

①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；

②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；

③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

（2）解对数不等式：

①形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；

②形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解．

【变式演练3】

1．(2013高考数学新课标2理科)设则 (　　)

A． B． C． D．

2．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】1.D     2.D

【解析】1. ,显然

2.令,则,,

∴,则

,则,故选D．

常考点04 对数函数的图像与性质及其应用

【典例4】

1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））函数的单调递增区间是

A．      B．       C．        D．

2．（2019全国Ⅰ理5）函数的图像在，的大致为(   )

A．    B． C．    D．

【答案】1.D     2.D

【解析】

1.由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，

∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；

x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，

故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.

2.因为，，所以，
所以为上的奇函数，因此排除A；
又，因此排除B，C；故选D．

【考点总结与提高】

1．对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.

2．当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数和的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．

4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【变式演练4】

1．已知函数，则（    ）

A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减

C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称

2.已知函数；则的图 像大致为（   ）

【答案】1.C    2.B 

【解析】1.由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．

2.定义域为（－1,0）∪(0,+∞)，=

∴在(－1,0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项，

只有B符合，故选B.

【冲关突破训练】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由可得，所以，

所以有，故选：B.

2．函数的定义域为

A．(－，2 )   B．       C．       D．

【答案】A

【解析】由题意，函数有意义，需满足，

解得，

即函数的定义域为.

故选A．

3．设函数，则

A．9     B．11      C．13      D．15

【答案】B

【解析】∵函数，

∴=2+9=11．

故选B．

【名师点睛】本题主要考查了对数的运算求值，根据对数的运算公式，即可求解式子的数值．其中熟记对数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

4．设a=log32,b=log52,c=log23,则(    )

A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b

【答案】D

【详解】：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，

所以，所以c＞a＞b，故选D．

5．函数的单调递减区间为(   )

A．      B．       C．       D．

【答案】D

【解析】由题可得，即，所以函数的定义域为，

又函数在上单调递减，

根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为.

故选D．

【名师点睛】求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.

6．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

,即

又即故选B.

7．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

【答案】D

【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；

当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.

综上，选D.

【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.

8．若，则(   )

A．                               B．   

C．                     D．

【答案】C

【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，

，选项B错误，

，选项C正确，

，选项D错误.

故选C．

【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

9．若，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

选项C正确，故选C．

10．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】是上的偶函数，．

，又在(0，+∞)单调递减，，

，故选C．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键．

11．函数的定义域为________．

【答案】[2，+∞）

【解析】要使函数有意义，则需，

解得，即函数的定义域为.

【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

12．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．

【答案】

【解析】由题意知是奇函数，且当时，，

又因为，，

所以，

两边取以为底数的对数，得，

所以，即．

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．