专题07函数的图像、函数与方程 （文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题08  函数的图像、函数与方程

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常考点归纳

常考点01 函数图像的识辨

【典例1】

1．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为 (　　)

A． B．

C． D．

2．如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为              (　　)

 (　　)

【答案】1.B   2.B

【解析】1.设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又，排除选项A、D，故选B．

【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。

2.由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，，当时，；当点在边上运动时，即时，，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．

考点：函数的图象和性质．

【考点总结与提高】

寻找函数图像与解析式之间的6种对应关系

①从函数的定义域，判断图像的左右位置，

②从函数的值域(或有界性)，判断图像的上下位置；

③从函数的单调性，判断图像的升降变化趋势；

④从函数的奇偶性，判断图像的对称性：

奇函数的图像关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，

偶函数的图像关于y轴对称，在对称的区间上单调性相反；

⑤从函数的周期性，判断图像是否具有循环往复特点；

⑥从特殊点出发，排除不符合要求的选项，如f(0)的值，当x>0时f(x)的正负等．

【变式演练1】

1．函数的图象大致为 (　　)

2．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是 圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（  ）

【答案】1.D   2.C

【解析】易知函数为偶函数，而

，所以当时，；当时，，所以函数在、上单调递增，在、上单调递减，故选D．

2.由题意知，，

当时，；

当时，，故选C．

常考点02 函数图像的应用

【典例2】

1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数，．若存在个零点，则的取值范围是 (　　)

A．    B．     C．      D．

2．(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】1.C    2.2

【解析】1.由得，作出函数和的图象如图

当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选C．

2.由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以．

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2．

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．

故答案为：2．

【考点总结与提高】

1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系。

2.利用函数的图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法求解.但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解。

3.利用函数的图象研究方程的根

当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数的图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象的交点的横坐标。

【变式演练2】

1.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（       ）

A.         B.             C.          D.

2.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为(     )

A.               B.

C.      D.

【答案】1.D   2.D

【解析】1.函数有三个零点，等价于方程有三个不同实数根，进而等价于与图像有三个不同交点，作出的图像，则的正负会导致图像不同，且会影响的位置，所以按进行分类讨论，然后通过图像求出的范围为。

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【名师点睛】（1）本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点方程的根函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。

（2）本题所求在图像中扮演两个角色，一方面决定左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的位置与轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。

2.由图像可得：时，，时，，所以所解不等式为：或，可得：，故选D

常考点03 函数的零点与方程的根

【典例3】

1.(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为_____．

2.（2019全国Ⅰ理11改编）关于函数在有_______个零点.

【答案】1.3     2.3

【解析】1.由题意知，，所以，，

所以，，当时，；当时，；

当时，，均满足题意，所以函数在的零点个数为3．

2.，则函数是偶函数，

，
由得,得或，
由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在上有3个零点

【考点总结与提高】

1.确定函数零点所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上。

(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0。若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。

2.判断函数零点个数的方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。

3.函数零点的应用问题类型及解题思路

(1)已知函数零点情况求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：

①判断函数的单调性；

②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；

③解不等式，即得参数的取值范围。

(2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法。

【变式演练3】

1.已知函数有唯一零点，则

A．  B．   C．  D．1

2.设函数，已知在有且仅有5个零点．的取值范围是____________.

【答案】1.C    2.

【解析】1.令，则方程有唯一解，

设，，则与有唯一交点，

又，当且仅当时取得最小值2．

而，此时时取得最大值1，

有唯一的交点，则．选C．  

2.当时，，

因为在有且仅有5个零点，所以，
所以，

【冲关突破训练】

1.函数的图像可能是（      )

【答案】B

【解析】观察解析式可判断出为奇函数，排除A,C. 当时，,故选B

【名师点睛】有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，只需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的解析式。

2.函数 的图像可能为（   ）

【答案】D

【解析】观察4个选项的图像，其中A，B图像关于轴对称，C,D图像关于原点中心对称。所以先判断函数奇偶性，可判断出

所以为奇函数，排除A，B，再观察C,D的区别之一就是的符号，经过计算可得，所以排除C，故选D

3.函数的图象大致为 (　　)

【答案】B

【解析】因为，，所以为奇函数，排除A；，排除D；

因为，当时，，函数单调递增，排除C．故选B．

4.已知为的导函数，则的图像是(    )

【答案】A

【解析】，，可判断为奇函数，图像关于原点中心对称，排除。因为，排除。故正确。

【名师点睛】可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于选项而言，其不同之处有两点，一点是从处开始的符号，解析的思路也源于此，但需要代入特殊角进行判断，A选项的图中发现在轴正半轴中靠近轴的函数值小于零，从而选择最接近0的特殊角。

5.函数在的图象大致为 (　　)

【答案】D

【解析】显然为奇函数，故排除A，当在轴右侧开始取值时，，排除C，

又，故选D．

6．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

【答案】D

【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；

当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.

7.下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是(　　 )

A．①②     B．③④      C．①③           D．①④

【答案】B

【解析】如图所示：在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的，即单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间上导函数的值为负值，而该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，所以③不正确；在④图象显示在区间上导函数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，所以不正确.故选B.

8．若函数在R上为减函数，则函数的图象可以是

A．    B．   C．  D．

【答案】D

【解析】由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，

得0＜a＜1．

函数y＝loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为x＞1或x＜﹣1，

函数y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到的，

综上，选D．

9.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（     ）

  A.              B.              C.             D.

【答案】B

【解析】为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点。观察图像可得有5个交点：关于对称，，且满足方程即，解得：，关于轴对称，

答案：B

10.若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是

【答案】B

【解析】由题图可知的图象过点(3,1)，则，即.

A项，在上为减函数，错误；

B项，，符合；

C项，在上为减函数，错误；

D项，在(－∞，0)上为减函数，错误．

故选B.

11．已知函数．

(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围．

【解析】（1）的定义域为，

，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减．

（ⅱ）若，则由得．

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增．

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点．

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，

最小值为．

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即．

又，

故在有一个零点．

设正整数满足，

则．

由于，因此在有一个零点．

综上，的取值范围为．

12.（2019全国Ⅰ理20（2））已知函数，为的导数．证明：（2）有且仅有2个零点．

【解析】的定义域为.

（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.

（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.

又，，所以当时，.

从而 在没有零点.

（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.

（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.

综上，有且仅有2个零点.