专题09导数及其应用（文科专用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题09  导数及其应用（文科）

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常考点归纳

常考点01 导数的几何意义（切线方程）

【典例1】

1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线在点处的切线方程为___________．

2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.

【典例2】

1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A．     B．    C．   D．

【考点总结与提高】

求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

【变式演练1】

1．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A． B． C． D．

2．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.

3．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．

4．已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ________.

常考点02 利用导数研究函数的单调性

【典例3】

1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

【考点总结与提高】

1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：

（1）求f ′(x)；

（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；

（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．

注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.

3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.

4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.

【变式演练2】

1．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.

2．已知函数．

（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

常考点03 利用导数研究函数的极值、最值

【典例4】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（    ）

A． B． C． D．

2..（2020·北京卷）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

【考点总结与提高】

1．函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

（2）求函数极值的方法：

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.

2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法

（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．

（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．

注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.

（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.

（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.

【变式演练3】

1.若函数在时有极值，则_________

2.设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.

【冲关突破训练】

1．直线是曲线的一条切线，则实数k的值为（    ）

A． B． C．1 D．

2．若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=

A．2    B．     C．1    D．

3．函数在处导数存在，若p:是的极值点，则

A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

4．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（    ）

A． B． C．e2 D．

5．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（    ）

A．    B．       C．     D．

6．曲线在点处的切线方程为__________．

7．曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．

8．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______．

9．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则________．

10．曲线在点(1,1)处的切线方程为________

11．设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.

12．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.