专题05函数的基本性质 （文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题05  函数的基本性质

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常考点归纳

常考点01 函数的单调性

【典例1】

1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

2．(2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

【考点总结与提高】

1．函数单调性的定义

设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.

2．单调区间的定义

若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．

注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．

（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.

（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

3．函数单调性的常用结论

（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；

（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；

（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；

（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；

（6）一些重要函数的单调性：

①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；

②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．

4．函数的最值

注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

【变式演练1】

1．下列函数中，定义域是且为增函数的是

A．      B．         C．       D．

2．函数的单调递减区间是

A．      B．        C．        D．

常考点02 函数的奇偶性

【典例2】

1．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)

A． B． C． D．

2．设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是 (　　)

A．是偶函数 B．||是奇函数

C．||是奇函数 D．||是奇函数

【考点总结与提高】

1．函数奇偶性的定义及图象特点

判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

2．函数奇偶性的几个重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：

（3）若奇函数的定义域包括，则．

（4）若函数是偶函数，则．

（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．

（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：

①函数为偶函数，函数为奇函数．

②函数（且）为奇函数．

③函数（且）为奇函数．

④函数（且）为奇函数．

注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.

【变式演练2】

1．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知是奇函数，且当时，．若，则　  　．

2．(2015高考数学新课标1理科)若函数为偶函数，则       

常考点03 函数的对称性

【典例3】

1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是

A． B． C． D．

2．偶函数的图像关于直线对称，，则=________．

【考点总结与提高】

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）

（2）关于轴对称

   在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便

（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：

若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有

② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。

3、中心对称的等价描述：

（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）

（2）关于中心对称

   在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便

（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。

① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：

若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有

② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。

4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：

（1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像

（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

【变式演练3】

1.函数的定义域为，若与都是奇函数，则（     ）

A.  是偶函数                        B.  是奇函数

C.                       D. 是奇函数

2.已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（      ）

A.                B.               C.                D. 

常考点04 函数的周期性

【典例4】

1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 (　　)

A． B．0 C．2 D．50

2．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 (　　)

A． B． C． D．

【考点总结与提高】

1．周期函数

对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.

注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

3．函数周期性的常用结论

设函数，.

①若，则函数的周期为；

②若，则函数的周期为；

③若，则函数的周期为；

④若，则函数的周期为；

⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；

⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；

⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；

⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；

⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.

注意：（1）判断函数的周期，只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且)也是函数的周期.

（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.

【变式演练4】

1．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则

A．      B．       C．      D．

2.定义在实数集上的函数满足，且，现有以下三种叙述：

①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数．

其中正确的序号是         ．

常考点05 函数性质的综合运用

【典例5】

1．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 (　　)

A． B．

C． D．

【考点总结与提高】

函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：

（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

【变式演练5】

1．(2014高考数学课标2理科)已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．

2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f(x) (　　)

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【冲关突破训练】

1．已知函数为奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C．4 D．

2．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知奇函数的定义域为，且当时，，若，则实数的值为（    ）

A．0 B．2 C． D．1

4．若是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．0 D．

5．已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为（    ）

A．    B．    C．       D．

6．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（    ）

A． B． C． D．

7．已知是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且函数.若实数满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

二、填空题

9．已知是定义在上的周期为3的奇函数，且，则___________.

10．函数的单调递减区间为___________.

11．已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值为_______．

12．已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则______.