专题06指数函数与对数函数 （文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题06  指数函数与对数函数

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常考点归纳

常考点01 指数函数单调性的应用

【典例1】

1．若，，则（    ）

A． B． C． D．

2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知,,,则 (　　)

A． B． C． D．

【考点总结与提高】

1．比较幂的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．

2．解指数方程或不等式

简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

【变式演练1】

常考点02 指数函数的图像与性质

【典例2】

1.已知函数，则是（   ）

A．奇函数，且在上是增函数     B．偶函数，且在上是增函数

C．奇函数，且在上是减函数     D．偶函数，且在上是减函数

2.若存在正数x使成立，则a 的取值范围是（   ）

A．（-∞，+∞） B．(-2, +∞) C．(0, +∞) D．（-1，+∞）

【考点总结与提高】

1．指数型函数中参数的取值或范围问题

应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论．

2．指数函数的综合问题

要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.

【变式演练2】

1．当时，，则a的取值范围是

A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)

2.函数的值域为________．

常考点03 比较对数值大小

【典例3】

1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 (　　)

Aa<b<c      B．b<a<c     C．b<c<a     D．c<a<b

2．（2021·天津高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【考点总结与提高】

比较对数式的大小：

①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；

②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；

③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

（2）解对数不等式：

①形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；

②形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解．

【变式演练3】

1．(2013高考数学新课标2理科)设则 (　　)

A． B． C． D．

2．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则 (　　)

A． B． C． D．

常考点04 对数函数的图像与性质及其应用

【典例4】

1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））函数的单调递增区间是

A．      B．       C．        D．

2．（2019全国Ⅰ理5）函数的图像在，的大致为(   )

A．    B． C．    D．

【考点总结与提高】

1．对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.

2．当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数和的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．

4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【变式演练4】

1．已知函数，则（    ）

A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减

C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称

2.已知函数；则的图 像大致为（   ）

【冲关突破训练】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设，则（    ）

A． B． C． D．

2．函数的定义域为

A．(－，2 )   B．       C．       D．

3．设函数，则

A．9     B．11      C．13      D．15

4．设a=log32,b=log52,c=log23,则(    )

A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b

5．函数的单调递减区间为(   )

A．      B．       C．       D．

6．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设，，则

A． B．

C． D．

7．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

8．若，则(   )

A．                               B．   

C．                     D．

9．若，，则(    )

A． B． C． D．

10．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 (　　)

A． B．

C． D．

11．函数的定义域为________．

12．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．