九年级上册第4章 锐角三角函数4.3 解直角三角形精品复习练习题

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一、选择题
1．（2023·丽水）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为（ ）
A．12B．1C．32D．3
2．（2023·玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（ ）
A．tanB=baB．tanB=cbC．sinB=abD．sinB=ba
3．（2023·永康模拟） 一沙滩球网支架示意图如图所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，则最高点A离地面BC的高度为（ ）
A．acsα米B．asinα米C．acsα米D．asinα米
4．（2023·拱墅模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，点F在边AB上，且AF=BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF=4GH，则DGCG= （ ）
A．53B．145C．34D．57
5．（2023·淮北模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，CD平分∠ACB交AB于点D，分别过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则四边形CEDF的面积为（ ）
A．12B．16C．247D．57649
6．（2023九上·中卫期末）如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=35，则下列结论正确的个数有（ ）
①DE=3cm，②BE=1cm，③菱形的面积为15cm2，④BD=210cm.
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023·黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（ ）
A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤
8．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”.若点A(3，4)，则直线y=kx+1(k≠0)的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12B．314C．42D．32
二、填空题
9．（2023·深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB=∠BOC=30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB=3，反比例函数y=kx(k≠0)恰好经过点C，则k= ．
10．（2023·武汉）如图，将45°的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
11．（2023·雅安）如图．四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠C=60°，AE∥CD交BC于点E，BC=8，AE=6，则AB的长为 ．
12．（2023七下·长沙期中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，则∠DBC= °．
13．（2023·南充）如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB=2．给出下列四个结论：①CN+NB′为定值；②当BN=2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M=18°；④当AB′最短时，MN=72120．其中正确的结论是 （填写序号）
三、解答题
14．（2023·徐汇模拟）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，sinA=513．点D为边AC上一点，∠BDC=45°，AD=7，求CD的长．
15．（2023·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务．
四、综合题
16．（2023·抚顺）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF．交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2．当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC=6，CE=2时，请直接写出AM的长．
17．（2023八下·江北期末）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°．等腰△MEF的两个顶点E，F分别在AB，AD上，且∠EMF=120°，点A，M在EF的异侧．
（1）如图2，当EF⊥AC于点K时，
①求证：AE=AF，且点M在菱形ABCD的对角线AC上．
②如图3，若EH∥AC交BC于点H，FG∥AC交CD于点G，连结GH．当ABEM= 时，四边形EHGF为正方形．
（2）如图1，
①判断：点M ▲ 菱形ABCD的对角线AC上．（填“在”或“不在”）
②若AB=63，EM=4，请求出CM的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD，
∴∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA
∴∠AOB=90°，
∴AO=ABcs30°=1×32=32
∴AC=2OA=3
故答案为：D
【分析】连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA；再利用解直角三角形求出AO的长，即可得到AC的长.
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】在△ABC中，∠A＝90°
tanB=ACAB=bc，sinB=ACBC=bc
∴四个选项中，只有D选项符合题意
【分析】根据正切是对边与另外一条直角边的比值，正弦是对边与斜边的比值进行逐一判断即可．
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AD=ABsin∠B=asinα.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADB=90°，再利用锐角三角函数的定义可求出AD的长.
4．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点E作EQ∥AC，
设GH=x，则DF=4x，
∵正方形ABCD，AF=BE
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，
在△DAF和△ABE中
AB=AD∠ABE=∠DAFBE=AF
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE，
在△ABG和△ADG中
AB=AD∠BAG=∠DAGAG=AG
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴∠ABG=∠ADF=∠BAE，
∴AH=BH，
∵∠ABG+∠HBE=90°，∠HEB+∠BAE=90°，
∴∠HBE=∠HEB，
∴AH=BH=HE=2x，
∵QE∥AC，
∴AHHE=QHGH=1，
∴HQ=GH=BQ=x，
∴BG=DG=x+2x=3x，FG=4x-3x=x
∵AF∥CD，
∴△AFG∽△DCG，
∴AFDC=FGDG=AGCG=x3x=13，
设AF=a，则CD=AD=3a，
∴AC=32a，CG=34AC=34×32a=942a
在Rt△ADF中，AF2+AD2=FD2，
∴a2+9a2=16x2，
解之：x=104a，
∴DG=3104a，
∴DGCG=3104a942a=53.
故答案为：A
【分析】过点E作EQ∥AC，设GH=x，则DF=4x，利用正方形的性质可证得AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，利用SAS证明△DAF≌△ABE，利用全等三角形的性质可证得DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE；利用SAS证明△ABG≌△ADG，利用全等三角形的性质可得到∠ABG=∠ADF=∠BAE，利用等角对等边可推出AH=BH，利用余角的性质可得到∠HBE=∠HEB，利用等角对等边可知AH=BH=HE=2x，利用平行线等分线段定理可证得HQ=GH=BQ=x，可表示出DG，FG的长；由AF∥CD，可证得△AFG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得到AF与DC的比值，设AF=a，可表示出AD的长，利用解直角三角形表示出AC，CG的长，在Rt△ADF中，利用勾股定理建立方程，解方程求出x，可得到DG的长；据此可求出DG与CG的比值.
5．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ACB=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠FCD=45°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴CE=ED，
∴四边形CEDF是正方形，
∵AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∴tan∠A=34，
设CE=ED=x，则AE=8−x，
在Rt△AED中，x8−x=34，
解得：x=247，
∴四边形CEDF的面积为247×247=57649，
故答案为：D．
【分析】设CE=ED=x，则AE=8−x，再结合tan∠A=34，可得x8−x=34，求出x的值，再求出四边形的面积即可。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵菱形ABCD 的周长为20cm，
∴AD=DC=AB=BC=20÷4=5cm，
∵sinA=35，
∴DE=35×AD=3cm，故①正确；
∴AE=52−32=4cm ，
∴BE=AB−AE=5−4=1cm，故②正确
∴菱形的面积为5×3=15cm2③正确；
∴BD=32+12=10故④错误，
故答案为：C.
【分析】利用菱形的周长可求出菱形的边长，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出DE的长，可对①作出判断；利用勾股定理求出AE的长，即可得到BE的长，可对②作出判断；利用菱形的面积公式，可求出菱形ABCD的面积，可对③作出判断；然后在Rt△BED中，利用勾股定理求出BD的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AED=∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
∵∠ABF=∠DAE=90°，∠BFA=∠AED，AB=DA ，
∴△ABF≌△DAE (AAS)，
∴AF=DE，故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE，故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF=90°，
∵∠AMF=∠ABF=90°，
∴∠AMF +∠CMF=180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF=45°，
∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，
由翻折的性质可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，
∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∴BF=MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，
在Rt△AED中，DE=AD2+AE2=5a=AF，
∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴AEAF=EGBF=AGAB=a5a=55，
∴EG=55BF=55a，AG=55AB=255a，
∴DG=ED-EG=455a，GH=AH-AG=4515a，
∵∠BHF=∠DHA，
∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA=DGGH=3，故④错误；
∵△AHD∽△FHB，
∴BHDH=12，
∴BH=13BD=13×22a=223a，DH=23BD=23×22a=423a，
∵AF⊥EP，
根据翻折的性质可得EP=2EG=255a，
∴EP·DH=255a·423a=81015a2，2AG·BH=2×255a×223a=81015a2，∴EP·DH=2AG·BH，故⑤正确，
综上分析可知，正确的是①②③④⑤.
故答案为：B.
【分析】首先根据正方形的性质及垂直的定义，由同角的余角相等得∠AED=∠BFA，从而由AAS判断出△ABF≌△DAE，由全等三角形的对应边相等得AF=DE，故①正确；由翻折的性质得BM⊥AF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BM∥DE，故②正确；首先判断出A，M，C在同一直线上，由正方形的性质得∠MCF=45°，由三角形的内角和定理得∠MFC=90°-∠MCF=45°，则∠HMF=∠MFC=45°，∠HBC=∠MFC=45°，推出BC∥MH，HB∥MF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BHMF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BHMF是菱形，故③正确；当点E运动到AB的中点，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt△AED中，由勾股定理用含a的式子表示出DE，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△AHD∽△FHB，由相似三角形对应边成比例建立方程分别用含a的式子表示出EG、AG，进而再根据线段的和差分别表示出DG、GH，再由等角的同名三角函数值相等可判断出④；由相似三角形对应边成比例建立方程表示出BH、DH、由折叠得EP=2EG=255a，进而分别算出EP·DH与2AG·BH，即可判断⑤.
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图.
∵点A的坐标为(3，4)，
∴AC=AO=32+42=5，AF=3，OF=4.
∵点A(3，4)在直线y=kx+1上，
∴3k+1=4，
解得k=1.
设直线y=x+1与y轴相交于点G，
当x=0时，y=1，点G(0，1)，OG=1，
∴FG=4−1=3=AF，
∴∠FGA=45°，AG=32+32=32.
在RtΔGAB中，AB=AG·tan45°=32.
在RtΔABC中，BC=AC2−AB2=52−(32)2=7.
∴所求“理想矩形” ABCD面积为AB·BC=32×7=314；
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点A(3，4)代入y=kx+1中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=32，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
9．【答案】43
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥于x轴于点D，
在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=3，
∴OB=2AB=23，
在Rt△OBC中，∵∠BOC=30°，OB=23，
∴cs∠BOC=cs30°=OBOC=23OC=32，
∴OC=4，
∵∠COD=90°-∠AOB-∠BOC=30°，
又在Rt△OCD中，∠CDO=90°，
∴CD=12OC=2，OD=3CD=23，
∴C（23，2），
∴k=2×23=43.
故答案为：43.
【分析】在Rt△AOB中，由含30°角直角三角形的性质得OB=2AB=23，在Rt△OBC中，由∠BOC的余弦函数可求出OC＝4，在Rt△OCD中，由含30°角直角三角形的性质得CD=12OC=2，OD=3CD=23，从而得出点C的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于k即可得出答案.
10．【答案】2.7
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，
∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，
∴四边形BDEC是矩形，
∴BD=EC，
在Rt△BOD中，∠BOD=45°，
由题意可知CE=BD=2，
在Rt△OCE中，∠COE=37°，
tan∠COE=tan37°=CEDE即2OE≈0.75，
解之：OE=2.7，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.
故答案为：2.7
【分析】过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，易证四边形BDEC是矩形，利用矩形的性质可得到BD=EC；利用已知可得到CE的长，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长即可.
11．【答案】27
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，如图所示：
∵BC=DC，∠C=60°，
∴△DCB为等边三角形，
∴DC=CB=DB=8，
∵AB=AD，BC=DC，
∴DB⊥CA，DO=OB=4，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
∵AE∥CD，
∴∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，
∴CE=EA=6，
∴FC=EC·cs30°=33，FA=EA·cs30°=33，OC=BC·cs30°=43，
∴CA=63，
∴OA=CA-OC=23，
由勾股定理得AB=42+232=27，
故答案为：27
【分析】连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，先根据等边三角形的判定与性质即可得到DC=CB=DB=8，进而根据平行线的性质结合垂直平分线的性质即可得到∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，CE=EA=6，再运用解直角三角形求出FC、FA、OC，然后运用勾股定理即可求解。
12．【答案】15
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图
∵AB∥CF，∠A=60°，
∴∠ACM=∠A=60°，
∵∠BCA=0°，
∴∠BCD=30°，
∵∠EFD=90°，∠E=45°，
∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，
∴∠DBC=180°-30°-135°=15°
【分析】 根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
13．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB=AC=2，∠B=60°，
由折叠得B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，
∴CN+NB'=CN+NB=BC=2，
∴CN+NB′为定值，①正确；
∵BN=2NC，
∴cs∠B'NC=CNNB'=CNBN=12，
∴∠B'NC=60°=MB'N=∠B，
∴BM∥B'N，MB'∥BC，
∴四边形BMB′N为平行四边形，
∵B'N=BN，
∴四边形BMB′N为菱形，②正确；
如图：点N与C重合，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
由折叠可知BC=B'C，
∴∠B'CA=30°，CB'=CA，
∴∠CB'A=∠B'AC=75°，
∴∠AB'M=15°，③错误；
当AB′最短时，DC⊥AB'，
过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，如图所示：
∵∠B'CA=30°，CA=2，
∴CB'=3，
∴由勾股定理得BB'=B'C2+BC2=7，
由折叠得MN⊥BB'，OB=72，
设NB=NB'=x，则NC=2-x，
由勾股定理得32+2-x2=x2，
解得x=74，
设BE为a，则EN=74-a，MB=2a，
由勾股定理得EM=3a，MN=4a2-72a+4916，
∴74×3a=72×4a2-72a+4916（等面积法），
解得a=710或a=-72（舍去），
∴MN=72120，④正确，
故答案为：①②④
【分析】①先根据等边三角形得到性质结合折叠的性质即可得到AB=CB=AC=2，∠B=60°，B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，进而结合题意即可求解；②先根据锐角三角函数的定义即可得到∠B'NC=60°=MB'N=∠B，再运用平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定即可求解；③根据折叠的性质即可得到BC=B'C，再结合题意即可求解；④当AB′最短时，DC⊥AB'，过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到CB'=3，再根据勾股定理即可求出BB'=B'C2+BC2=7，再运用折叠的性质即可得到MN⊥BB'，OB=72，设NB=NB'=x，则NC=2-x，运用勾股定理即可求出BN的长，设BE为a，则EN=74-a，MB=2a，根据勾股定理结合三角形的等面积法即可求出a的值，进而即可求解。
14．【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=BCAB=513，
设BC=5k，AB=13k，
∴AC=AB2−BC2=(13k)2−(5k)2=12k，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠BDC=45°，
∴∠CBD=∠BDC=45°，
∴BC=CD=5k．
∴AD=AC−CD=7k，
∵AD=7，
∴7=7k，
∴k=1，
∴CD=5k=5
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】设BC=5k，AB=13k，利用勾股定理可得AC=12k，利用线段的和差求出AD=AC−CD=7k，再结合AD=7，可得7=7k，求出k的值，最后求出CD的长即可。
15．【答案】解：任务1：如图1，过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J．
∵BD=1.7，AB=2.5，
∴AD=0.8，
∵AE=DE=0.5，
∴DI=12AD=0.4，
∴sin∠IDE=35．
∵∠FDG=∠DGJ=90°，
∴∠IDE+∠BDG=90°，∠BDG+∠DGB=90°，
∴∠IDE=∠DGB，
∵FH∥DG，四边形DGJF为矩形，
∴∠DGB=∠α，GJ=DF=2，
∴∠IDE=∠α，
∴sin∠α=sin∠IDE，
在Rt△GJH中，GH=GJsinα=2×53=103（米）．
任务2：方法1：
如图2，过点Q作PQ⊥BC交HF于点P．
∵∠a=60°．
由（1）知，∠IDE=∠α=∠DGB=60°，
∴在Rt△IDE中，DI=12DE=14，
∴AD=12，
∴BD=2．
在Rt△DBG中，BG=BD3=23=233，
在Rt△GJH中，GH=2GJ3=43=433，
∵在Rt△PQH中，当PQ=1时，QH=PQ3=13=33，
∴小明刚好被照射到时离B点的距离为233+433−33=533<3，
∴小明会被照射到．
方法2：
如图2，过点Q作PQ⊥BC交FH于点P．
与方法1同理得，得BG=233，GH=433，
∴QH=BH−BQ=23−3．
在Rt△PQH中，PQ=3QH=6−33<1．
∴小明会被照射到．
任务3：当时刻为15：00点时，此时∠α=45°时，BQmin=5−22．
当tanα=60°时，BQmax=53=533．
∴5−22【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】任务1：过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J，利用AB，BD的长可求出AD的长，利用等腰三角形的性质可求出DI的长，可求出sin∠IDE的值，利用余角的性质可证得∠IDE=∠DGB，利用平行线的性质和矩形的性质可证得∠DGB=∠α，同时可求出GJ的长；再利用解直角三角形求出GH的长.
任务2：方法1：过点Q作PQ⊥BC交HF于点P，可知∠IDE=∠α=∠DGB，利用直角三角形的性质可求出DI的长，可得到AD，BD的长；利用解直角三角形求出BG，GH，HQ的长，然后求出小明刚好被照射到时离B点的距离，即可作出判断；方法2：过点Q作PQ⊥BC交FH于点P，与方法1同理可求出BG，GH，QH的长；再利用解直角三角形求出PQ的长，可作出判断；
任务3：当∠α=45°时，可得到BQ的最小值，当tanα=60°时，可得到BQ的最大值，即可得到BQ的取值范围.
16．【答案】（1）解∶∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠BAC=60°，∠BAE=12∠BAC，
∴∠BAE=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAD=∠DAE−∠BAE=60°−30°=30°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴DM=EM；
（2）解：如图l，DM=EM仍然成立，理由如下∶连接BD、DF，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=180°−∠ACB=120°，BD=CE，
∴∠DBE=∠ABD−∠ABC=120°−60°=60°，
∴∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，
∴BD∥EF，
∵CE=EF，
∴BD=EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM=EM；
（3）解：如图2，当点E在BC的延长线上时，作AG⟂BC于G，
∵∠ACB=60°，
∴CG=AC⋅cs60°=12AC=3，AG=AC⋅sin60°=32AC=33，
∴EG=CG+CE=3+2=5，
∴AE=AC2+EC2=(33)2+52=213．
由（2）知∶DM=EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME=90°，
∴∠AED=60°，
∴AM=AE⋅sin60°=213×32=39，
如图3，当点E在BC上时，作AG⊥BC于G，
由上知∶AG=33，CG=3，
∴EG=CG−CE=3−2=1，
∴AE=AG2+EG2=(33)2+12=27，
∴AM=27×32=21，
综上所述∶AM=39或21．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE=60°，同时可求出∠BAE=30°，AD=AE，再根据∠BAD=∠DAE-∠BAE，代入计算求出∠BAD的度数，可证得∠DAE=∠BAE，利用等角对等边可证得AM与EM的数量关系.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠ABD=120°，同时可证得BD=CE；再证明∠DBE+∠BEF=180°，可推出BD∥EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可证得AM与EM的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BE于点G，连接BD，利用解直角三角形可求出CG的长，根据EG=CG+CE，代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由（2）可知DM=EM，由AM⊥DE，可得到∠AME=90°，∠AED=60°，利用解直角三角形求出AM的长；当点E在BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，同理可求出AG，CG，EG的长，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.
17．【答案】（1）解：①连接BD，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AC平分∠BAD，即∠EAK=∠FAK，
又∵EF⊥AC，BD⊥AC，
∴EF∥BD，
∴∠AEF=∠ABD，∠AFE=∠ADB，
∵∠ABD=∠ADB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF.
又∵AK平分∠EAF，∴EK=FK，∴AC垂直平分EF，
∵ME=MF，∴M在EF的中垂线上，即M在AC上．
②3+1
（2）解：①在
②10≤CM<14
如图，作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，连结AC，
∵MG⊥AB，MH⊥AD，∴∠MGE=∠MHF=90°，
∵∠GAH=60°，∴∠GMH=120°，又∵∠EMF=120°，∴∠EMG=∠FMH，
又∵ME=MF，∴△MEG≌△FMH，∴MG=MH，
∴M在∠BAD的平分线上，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，
∴M在AC上．∵FM=4，∴HM≤4，∵∠MAH=30°，∴AM≤8，
∵∠MFA>∠MAF，∴AM>FM．
∴4 故答案为：10≤CM<14.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）②∵∠EMF=120°，EM=FM，∴EF=3EM，
∵∠EAF=60°，∴△EAF是正三角形，∴AE=EF=3EM，
∵EFGH是正方形，∴EH=EF=3EM，∵EH∥AC，∴∠BEH=∠BAC=30°，
∵ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠B=120°，∴EH=3BE，即BE=EM，
∴AB=AE+BE=3EM+EM=(3+1)EM
∴ABEM=3+1.
故答案为：3+1.
（2）①∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AC平分∠BAD，即∠EAK=∠FAK，
又∵EF⊥AC，BD⊥AC，
∴EF∥BD，
∴∠AEF=∠ABD，∠AFE=∠ADB，
∵∠ABD=∠ADB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF.
又∵AK平分∠EAF，∴EK=FK，∴AC垂直平分EF，
∵ME=MF，∴M在EF的中垂线上，即M在AC上．
∴点M在菱形ABCD的对角线AC上.
【分析】（1）根据菱形的性质和两直线平行即可求证AE=AF，利用菱形的性质对角线将角互相平分即可求出AC垂直平分EF，从而求证M在菱形ABCD的对角线上；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出EF与EM的关系，再根据第一问AE=AF和已知条件即可求证AE=EF和EM的关系，利用正方形的性质可知EH=EF与EM的关系，最后根据菱形ABCD的性质和特殊角的锐角三角函数可求出EB与EH的关系，通过等量转化，苛求抽AB与EM的关系；
（3）通过三角形全等解证明MG=MH，结合菱形的性质证明M在线段AC上，根据两点之间垂线段最短可知道HM的取值范围，从而知道AM取值安慰，最后利用勾股定理求出AC长度，从而求证CM取值范围.探究遮阳伞下的影子长度
素材1
图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE=DE=0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
素材2
时刻
12点
13点
14点
15点
16点
17点
太阳高度α（度）
90
75
60
45
30
15
参考数据：3≈1.7，2≈1.4．
某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表：
素材3
小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1
确定影子长度
某一时刻测得BD=1.7米，请求出此时影子GH的长度．
任务2
判断是否照射到
这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3
探究合理范围
小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算BQ的取值范围．