2018-2019学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，，0，1，，则　　

A．，0，1， B．，1， C．，1， D．，

2．（5分）复数，则在复平面上对应的点所在象限是　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式　　

A． B． C． D．

4．（5分）星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车共有1、10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是　　

A． B． C． D．

5．（5分）某批次产品测量数据茎叶图如图，这组数据的众数、中位数、平均数分别为，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

6．（5分）在中，为中点，，，则　　

A．1 B． C． D．

7．（5分）如图，一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图、侧视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为，则　　

A．3 B．4 C．5 D．6

8．（5分）已知变量，，，且，若恒成立，则的最大值为　　

A． B． C． D．1

9．（5分）是奇函数，是偶函数，且，则与在同一个坐标系的图象为　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）过双曲线右焦点的直线交两渐近线于，两点，，为坐标原点，且内切圆半径为，则双曲线的离心率为　　

A．2 B． C． D．

11．（5分）已知定点及抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为　　

A．2 B． C． D．3

12．（5分）直三棱柱外接球表面积为，．若，矩形外接圆的半径分别为，，则的最大值为　　

A． B．3 C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．（5分）若实数，满足不等式组，则目标函数的最小值为　　．

14．（5分）若数列满足：，，则　　．

15．（5分）在的展开式中，二项式系数之和为，所有项的系数之和为，若，则　　．

16．（5分）已知，将的图象向右平移个单位，得到的图象与的图象关于对称，且函数在，上不单调，则的最小值为　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，．

（1）求；

（2）当的面积为时，求．

18．（12分）五面体中，是等腰梯形．，，，，平面平面．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

19．（12分）高三某次数学考试，实验班共50人的成绩的频率分布直方图如图所示，分段区间为，，，，，，．

（1）求；

（2）从全班50份试卷中抽取10份，表示分数在，上的份数，

①求取最大值时的值；

②甲、乙两位老师用分布列计算的值，甲老师求得，乙老师求得，从概率角度说明，哪一个更接近（即差的绝对值最小）．

20．（12分）圆上的动点在轴、轴上的射影分别是，，点满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）点，，过点的直线与轨迹交于点，，且直线、的斜率，存在，求证：为常数．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，比较与的大小；

（2）若有两个极值点，，求证：．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，直线，为参数，．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于不同的两点，，且，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（10分）设函数．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，若存在，使关于的不等式有解，求实数的取值范围．

2018-2019学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【解答】解：集合，

，0，1，，

，．

故选：．

【解答】解：，

．

在复平面上对应的点的坐标为，所在象限是第二象限．

故选：．

【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为，

若满足，①，

则，②

①②可得：，解可得；

当时，有，即，解可得，

则；

故选：．

【解答】解：由题意可知：小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟，设“小张坐1路车回家”为事件，

则（A），

故选：．

【解答】解：由茎叶图得：

，，

．

．

故选：．

【解答】解：如图，

为中点，；

；

又，且不共线；

根据平面向量基本定理得，；

．

故选：．

【解答】解：由题意知该几何体是圆柱体，从上部挖去半球体，

则该几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半球的表面积，

即，

解得．

故选：．

【解答】解：对不等式两边同时取对数得，

即，

即恒成立，

设，，

，，则函数在上为增函数，

函数的导数，

由得得，

得，

即函数的最大增区间为，

则的最大值为

故选：．

【解答】解：是奇函数，是偶函数；

由①得，；

②；

联合①②得，，；

，时，；

在上单调递增，且的图象是直线；

与在同一个坐标系的图象为．

故选：．

【解答】解：，

双曲线的渐近线方程，如图所示，

设内切圆圆心为，则在平分线上，

过点分别作于点，于，

由得四边形为正方形，

由焦点到渐近线的距离为得，

又，

，，

，

，

，

故选：．

【解答】解：作准线于点，则，

设的倾斜角为，

则，

当与相切时，取最大值，

由的方程为可得，

代入抛物线得，

即，

△，可得，解得或，

故的最大值为4，

即的最大值为5，

即的最大值为．

故选：．

【解答】解：直三棱柱外接球表面积为，直三棱柱外接球半径

设中点为，，矩形的外接圆的圆心分别为，，球心为，

则由平面与平面，得是矩形，

，

，

，，

当且仅当时，取得等号，

的最大值为．

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

【解答】解：实数，满足不等式组表示的可行域如图：

当直线经过图中时，最小，由得到，

所以的最小值为；

故答案为：．

【解答】解：根据题意，数列满足：，即，

则有，

又由，则数列为首项为1，公比为3的等比数列，

则，

则；

故答案为：234．

【解答】解：在的展开式中，二项式系数之和为，

令，可得所有项的系数之和为，若，

即，求得，，

故答案为：4．

【解答】解：由题意与的图象关于对称，

可得：，

故：有一条对称轴为，

所以：，，

故：存在，满足，

可得：，

时，，无整数解；

，3，4，5时均无整数解；

时，，可得：．

故答案为：5．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

【解答】解：（1），，

．即．，

，则；

（2），，

，．

，

可设，，

由．

．

【解答】证明：（1）连结，取中点，则，

是平行四边形，，

，

是等边三角形，，

，，

平面平面，且交线为，

平面，，

又，，

平面．

解：（2）以为原点，为轴，为轴，在平面内过点且与垂直的直线为轴，

建立空间直角坐标系，由题意知，

则，，，2，，，0，，

，，

由（1）知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量，，，

则．取，得，，

设二面角的平面角为，

则，

二面角的余弦值为．

【解答】解：（1）由频率分布直方图得：

，

解得．

（2）分数在，上的试卷总份数为：

，

①从全班50份试卷中抽取10份，其中份在，的概率为：

，，1，2，3，4，5，6，7，8，，

，

由，得，

时，，

由，得，

时，，

时，取最大值．

②从概率的角度，分数在，上的试卷所占比例为，

故取出10份试卷，其中能取到，的试卷份数为．

故更接近于．

【解答】解：（1）设，，，

则，，，

由．

得

代入

（2）当的斜率不存在时，，的斜率也不存在，故不适合题意；

当的斜率存在时，设斜率为，

则直线的方程为代入椭圆方程整理得

，△

设，，，，

则，，

则

，

故为常数

【解答】解：（1）令，

，

故在时是增函数，（1），

即；

（2），

，

则在上有2个零点，，

令，

即在上有2个零点，，

，

当时，，在递增，不可能有2个零点，

故，

此时，

即，

整理得，

而

，

故要证，

只需证明，

不妨设，

只需证明，

令，原不等式转化为，

由（1）得当时，，

故只需证明，

化为

，

故原不等式得证．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（1）直线，为参数，．

当时，直线，

当时，直线，

直线的普通方程为或或．

曲线，，

曲线的直角坐标方程为．

（2）由题意知，

直线的方程为或．

圆的圆心，

圆心到直线的距离，

，

，

，且，

或．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（1）当时，，

所以不等式等价于或或，

解得：或或，

综上可得，原不等式的解集为：，，；

（2）当，时，存在，使关于的不等式有解，

等价于   ，，

①当，且，时，，

解不等式得：或，

②当，且，时，，

解不等式得：或，

③当，且，时，

解不等式得：或，

综上得：

当时，实数的取值范围为：或，

当时，实数的取值范围为：或，

当时，实数的取值范围为：或．

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日期：2019/12/17 21:27:25；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267