2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，，则　　

A．， B． C．， D．，

2．（5分）设复数满足，则　　

A．1 B． C． D．

3．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）函数函数的大致图象为　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）设，为两个不同平面，，为两条不同的直线，给出以下命题

（1）若，，则；（2）若，，则；

（3）若，，，则；（4）若，，，则；

则下列真命题个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是　　

A． B． C． D．

7．（5分）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是　　

A．， B．， C．， D．，

8．（5分）设向量，，都是单位向量，且，则，的夹角为　　

A． B． C． D．

9．（5分）已知实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C．， D．，

10．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是　　

A．8 B．4或 C． D．

11．（5分）已知数列为等差数列，，，若，则　　

A． B． C．  D．

12．（5分）已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当，时，都有成立，若，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．，

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）

13．（5分）一串数字代码是7个1和3个0组成，则这样的不同数字代码的个数为：　　（用数字作答）

14．（5分）命题“，，”是真命题，则实数的取值范围为：　　

15．（5分）在三棱锥中，顶点在底面的投影是的垂心，，侧面与底面所成二面角的大小为，则三棱锥的体积为：　　

16．（5分）已知函数，其中，，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知等比数列的公比，，是，的等差中项，数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18．（12分）已知，，，分别是的内角，，，所对的边，．

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求周长的最小值．

19．（12分）为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由以下两部分组成：①根据行驶里数按1元公里计费；②当租车时间不超过40分钟时，按0.12元分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元分钟计费；③租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间，（单位：分钟）．由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间是一个随机变量，现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：

将上述租车时间的频率视为概率．

（1）写出张先生一次租车费用（元与租车时间（分钟）的函数关系式；

（2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？

（3）若张先生一次租车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”

的次数，求的分布列和期望；

20．（12分）如图（1），在中，，，，，，将沿折到如图（2）中△的位置，点在上．

（1）求证：平面平面；

（2）若，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

21．（12分）已知函数，．

讨论函数的单调性；

若函数有两个极值点，，求证：．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，有且只有一个公共点．

（1）求的值

（2）设点的直角坐标为，若曲线与为参数）的交点为，两个不同的点，求的值

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数，．

（1）当时，解不等式；

（2）若不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

【解答】解：，1，2，，；

，．

故选：．

【解答】解：由，得．

故选：．

【解答】解：由于，①，

故①转换为，

整理得：，

则：，

故选：．

【解答】解：当时，为增函数，排除，，

当时，恒成立，排除，

故选：．

【解答】解：，为两个不同平面，，为两条不同的直线，

（1）若，，由线面平行的性质可得，过的平面与交于，

可得，由，则，故（1）正确；

（2）若，，由面面平行的性质可得，故（2）正确；

（3）若，，，则，平行、相交或异面，故（3）错误；

（4）若，，，可得，可能平行或相交，故（4）错误．

故选：．

【解答】解：设，则，

，

由几何概型得：

在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是：

．

故选：．

【解答】解：函数，

，

，

把函数的图象向左平移个单位，

得到函数的图象，

令，

解得：，

当时，函数的对称中心为．

故选：．

【解答】解：由可得，

，

，

，，

，

，的夹角为．

故选：．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

若恒成立即恒成立，

即平面区域在直线的下方即可．

即在的下方或在直线上即可，

即，

故选：．

【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：两种情况，

是正方体的一部分，正方体的棱长为2，

几何体的体积为：．

或．

故选：．

【解答】解：，

，

数列为等差数列，，，

，

．

故选：．

【解答】解：令，

则，

，函数为上的偶函数．

当，时，都有成立，

，

函数在，上单调递减，在，上单调递增．

，即，

，因此，

，

化为：，

解得．

故选：．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）

【解答】解：依题意，一串数字代码公有10个数字构成，则取7个位置来排1，

剩下的位置排0，则这样的不同数字代码有个，

故答案为：120

【解答】解：设，

要使，，使，

据函数在区间上是增函数，

可得（2），

“，，”是真命题，

，

．

故答案为：．

【解答】解：如图，为在底面内的投影，

连接，并延长分别角，于，．

为垂心，

，，

（三垂线定理），

为二面角的平面角，为，

，

，，

在中，可得，

，

易知，

在中，，

，

故答案为：．

【解答】解：，，，

，

 由于（1），对于任意，不等式恒成立，

可得为极大值点，且为最大值点，

即有（1），即，

，

当，，，，，可得的最大值为（1）成立；

当时，，成立；

当时，①当即时，，递减，舍去；

②当即时，时，，，，，，

要使恒成立，可得，即；

③当即时，时，，，，，，

此时的最大值大于0，舍去．

故答案为：．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

【解答】解：（1）等比数列的公比，，是，的等差中项，

可得，，即，

解得舍去），，

可得；

（2）数列的前项和为，

设，可得；时，，

即有，，

前项和，

，

两式相减可得

，

化简可得．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）．

由正弦定理可得：．整理可得：，分

，

，

分

（2），

的面积为，解得：，分

，可得：，

对上述两个不等式，当且仅当时等号成立，此时周长取最小值为6．分

【解答】解：（1）根据题意知，当时，，

当时，，

与的函数关系式为

；

（2）由题意知，租赁一次该款汽车上下班的平均费用估计值为

；

则一个月上下班租车费用约为，

由，从经济收入的角度分析，上下班应该选择公司接送车；

（3）由题意知上下班一次“路段畅通”的概率为，

且，计算，

，

，

；

的分布列为，

数学期望为．

【解答】解：（1）证明：

在中，，

，

，

，，

平面，

平面，

平面平面；

（2）由（1）知平面，

，，

，

，

，，，

，

，

由余弦定理得，

，

，

以为原点，

建立空间坐标系如图，

则，0，，，3，，，0，，，，，2，，

设，

则，

则，

易知是平面的一个法向量，

则

，

解得，

，

设，，是平面的一个法向量，

则，，

，

得，

令，则，

，

二面角的余弦值为．

【解答】解：函数，．．

，

△．

①△时，解得时，，

函数在上单调递减．

②△时，解得时，令，解得，．

，

时，．

可得函数在，，上单调递减；在，上单调递增．

时，．可得函数在上单调递增，在，上单调递减．

综上可得：时，函数在上单调递减．

时，函数在，，上单调递减；在，上单调递增．

时，函数在上单调递增，在，上单调递减．

证明：函数有两个极值点，，由可知：．

且，．

．

令（a），，．

（a），函数（a）在上单调递增．

（a），

．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数，

曲线的直角坐标方程为，

曲线的极坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为，

曲线，有且只有一个公共点，曲线，相切，

圆心到直线的距离，

解得或（舍．

综上，．

（2）由（1）得，

为参数），的普通方程为：，

曲线的参数方程为，为参数），

曲线是过的直线，

把的参数方程代入曲线的普通方程，得：，

．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（1）当时，，

所以，

或或，

解得

所以不等式的解集为

（2）由题意对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立，

令，

所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得

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日期：2019/12/17 21:17:49；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267