2018-2019学年吉林省高中高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年吉林省高中高三（上）期末数学试卷（理科），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）
A．B．C．D．
2．（5分）已知集合，，则
A．B．C．D．
3．（5分）
A．B．C．D．
4．（5分）双曲线的左焦点为，且的离心率为，则的方程为
A．B．C．D．
5．（5分）曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是
A．B．C．2D．
6．（5分）设，满足约束条件，则的最小值为
A．3B．C．D．6
7．（5分）函数的图象大致为
A．B．
C．D．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．B．C．D．
9．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）．”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为
A．B．C．D．
10．（5分）已知在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则面积的最大值是
A．B．C．D．
11．（5分）设，，则
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数的图象经过点和．若函数在区间上有唯一零点，则的取值范围是
A．，B．C．，D．，
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知向量，的夹角为，且，，，则 ．
14．（5分）在空间直角坐标系中，，2，，，1，，，1，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
15．（5分）已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从中选4个球，规定每种球至少选1个，则不同的选法共有 ．（请用数字作答）
16．（5分）已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（12分）在递增的等比数列中，，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（12分）2018年是中国改革开放的第40周年．为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）现从年龄在，，，，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在，内的人数，求的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在，的概率为，1，2，，．当最大时，求的值．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）在直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点．
（1）若，求；
（2）若点的坐标为，且，证明：．
21．（12分）已知函数，．
（1）当，时，求的最小值；
（2）当时，若存在，使得对任意的，，都有恒成立，求的取值范围．
选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程](共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.)
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）判断曲线，是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，，且的最小值为．若，求的最小值．
2018-2019学年吉林省高中高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【解答】解：．
故选：．
【解答】解：，；
．
故选：．
【解答】解：．
故选：．
【解答】解：的左焦点为，
可得，且的离心率为，所以，则．
所以双曲线方程为：．
故选：．
【解答】解：因为，所以，所以在点处的切线斜率为7，
切线的方程为，即，在，轴上的截距分别为和，
所以与坐标轴围成的三角形面积．
故选：．
【解答】解：画出，满足约束条件的可行域，如图，
由图可知，当直线过点时，
取得最小值．
故选：．
【解答】解：当时，，当时，（1），故排除，
由于恒成立，故排除，
当时，，故排除，
故选：．
【解答】解：由三视图知该几何体是长方体与半圆柱体的组合体，
如图所示；
则该组合体的表面积为
．
故选：．
【解答】解：由题意已知一个圆中弓形所对应的弦长，，且圆中弓形面积为，可求得：弓形的面积．
设圆的半径为，则，解得，所以圆的面积，
由几何概型中的面积型得：
即质点落在弓形内的概率为．
故选：．
【解答】解：由题意得：，
由，
故，
由余弦定理，得：，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号．
故选：．
【解答】解：依题意，可得，
则
．
故选：．
【解答】解：由题意得，，得，故，
因为，，所以．由，得，
因为，故，
所以，
从而当时，，
令，则由题意得在上有唯一解，
故由正弦函数图象可得或，
解得，．
故选：．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
【解答】解：，又，．
故答案为：．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
，2，，，1，，，1，，
，，
所以．
故异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，选出的4个球为1个排球、1个足球、2个篮球，有种选法；
②，选出的4个球为1个排球、2个足球、1个篮球有种选法，
则一共有16种选法；
故答案为：16．
【解答】解：设直线，代入，得，
因为直线与交于不同的两点，，所以△，
解得且．
设，，，，则，，
，
因为为钝角，所以，解得，．
综上所述：．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
【解答】解：（1）设公比为，由，得，
化简得，解得或，
因为等比数列是递增的，所以，，
所以．
（2）由（1）得，
所以，
则，
所以．
【解答】解：（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，
年龄在，内的人数为人，
年龄在，内的人数为人，
年龄在，内的人数为人．
所以的可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为
．
（2）设在抽取的20名市民中，年龄在，内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在，内的频率为，
所以，
所以，1，2，，．
设，
若，则，；
若，则，．
所以当时，最大，即当最大时，．
【解答】（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是的中点，
又点为的中点，所以是的中位线，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：由，，，可得，
分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，0，，，，，
所以，，，
设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
则，即，令，得，
所以．
【解答】（1）解：设，，，，
由得，则，，
从而．
故，，．
（2）证明：设线段的中点为，，
，，．
，，则，即．
设，则是增函数，，且，，
故．
【解答】解：（1）因为的定义域为，
．
①当时，因为，，
所以在，上为增函数，
（2）；
②当时，在，上为减函数，在，上为增函数，
；
③当时，在，上为减函数，
．
（2）当时，若存在，使得对任意的，都有恒成立，
则．
由（1）知，当时，．
因为，令，则，
令，得；令，得，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
，所以在，上单调递增．
所以，则，
解得，又，，
所以，即实数的取值范围是．
选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程](共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.)
【解答】解：（1）将，消去参数，得曲线的直角坐标方程为，
将展开整理，得，
因为，，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）由（1）知曲线是过定点的直线，因为点在曲线的内部，所以曲线与曲线相交．将代入并整理，得，
设曲线，的两交点为，，，，则，，
故曲线，两交点间的距离．
[选修4-5：不等式选讲]
【解答】解：（1）当时，，原不等式可化为，①
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时，
综上，原不等式的解集为．
（2）由题意得，，
因为的最小值为，所以，由，得，
所以，
当且仅当，即，时，的最小值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/12/17 21:18:11；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：197372670
1
2