2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合，，则
A．B．C．D．，
2．（5分）设向量，，则与垂直的向量的坐标可以是
A．B．C．D．
3．（5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则等于
A．3B．C．D．
4．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则等于
A．1B．2C．3
5．（5分）已知，满足不等式组，则的最大值等于
A．1B．2C．3D．6
6．（5分）设，，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为
A．1B．C．2D．
8．（5分）设函数图象上不同两点，，，处的切线的斜率分别是，，规定为线段的长度）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数图象上两点与的横坐标分别为1和，则；
②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；
③设， 是抛物线 上不同的两点，则；
④设，是曲线是自然对数的底数）上不同的两点，则．
其中真命题的个数为
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）复数的共轭复数是 ．
10．（5分）设等比数列的公比，前项和为，则 ．
11．（5分）已知角的终边与单位圆的交点为，则 ．
12．（5分）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．（5分）直线为参数）与曲线为参数）的公共点个数为 ．
14．（5分）已知函数若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）如图，在中，，，，点在边上，且．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求的面积．
16．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：
（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；
（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为元，求的分布列；
（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．试比较和的方差和大小．（结论不需要证明）
17．（14分）如图，在三棱柱中，底面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使平面？说明理由．
18．（14分）已知椭圆过点，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率为1的直线交椭圆于，，，两点，且．若直线上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．
19．（13分）已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，若曲线，有公共点，且在点处的切线相同，求的最大值．
20．（13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，中所有不大于的项的和为．
（Ⅰ）求和（5）；
（Ⅱ）判断和的大小，不用证明；
（Ⅲ）设，求证：，，使得．
2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【解答】解：集合，
，，
，，
故选：．
【解答】解：；
可看出，，；
．
故选：．
【解答】解：根据题意，当时，，则（2），
又由函数为上的奇函数，
则（2）；
故选：．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为，所以，双曲线的焦点坐标为，所以，，
，解得，
故选：．
【解答】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；
三个顶点坐标为，，；
将三个代入得的值分别为3，2，6；
直线过点时，取得最大值为6．
故选：．
【解答】解：，，
，
，
是的充分必要条件，
故选：．
【解答】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；
在此四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面是，
它的面积为．
故选：．
【解答】解：对于①，由，得，
则，，则，即，①正确；
对于②，如时，，则，②正确；
对于③，抛物线的导数为，，，
，
则，，③正确；
对于④，由，得，，，
由不同两点，，，，可得，，④错误；
综上所述，正确的命题序号是①②③．
故选：．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
【解答】解：，
复数的共轭复数是，
故答案为：．
【解答】解：．
故答案是：15．
【解答】解：由三角函数的定义有：，由，
得：，
由二倍角公式得：，
故答案为：．
【解答】解：的展开式的通项公式为，
令，求得，故展开式中的系数为，
故答案为：15．
【解答】解：直线为参数）的直角坐标方程为：；
与曲线为参数）的直角坐标方程：．
圆的圆心到直线的距离为：；
所以直线与圆相切，有1个交点．
故选：1．
【解答】解：作出与的函数图象如图所示：
直线过，
联立，得．
由△，得．
又过与两点的直线的斜率．
有图可知，若关于的方程有且只有一个实数根，
则实数的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
【解答】解：（Ⅰ）在中，因为，
所以．
由正弦定理得．
（Ⅱ）因为，
所以．
所以．
在中，由余弦定理，
得，
解得或（舍．
所以的面积．
【解答】解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件，
在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，
事件中基本事件数为．
所以两站间票价不足5元的概率（A）． （3分）
（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为元，元．
的所有可能取值为6，7，8，9，10．（4分）
，（5分）
，（6分）
，（7分）
，（8分）
． （9分）
所以的分布列为
（10分）
（Ⅲ）甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元，
乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．
和的方差和大小，． （13分）
【解答】证明：（Ⅰ）在三棱柱中，
因为平面，所以．
又为等边三角形，为的中点，
所以． （2分）
因为，
所以平面； （3分）
解：（Ⅱ）取中点，连结，
因为，分别为，的中点，
所以．由（Ⅰ）知，，
如图建立空间直角坐标系．（4分）
由题意得，0，，，0，，，
，3，，，3，，，，0，，，
，． （5分）
设平面法向量，，，
则，即，
令，则，．即，，． （6分）
平面法向量． （7分）
因为，，，
所以，． （8分）
由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（9分）
解：（Ⅲ）在线段上不存在点，使平面．理由如下．
假设线段上存在点，使平面．
则，，使得．
因为，所以．（10分）
又，所以． （11分）
由（Ⅱ）可知，平面法向量，，，
平面，当且仅当，
即，使得．（12分）
所以，解得． （13分）
这与，矛盾．
所以在线段上不存在点，使平面．（14分）
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆过点，且椭圆的离心率为．
所以由题意得（3分）
解得．
所以椭圆的方程为． （4分）
（Ⅱ）设直线的方程为，，（5分）
由，得．（7分）
令△，得． （8分）
，． （9分）
因为是以为顶角的等腰直角三角形，
所以平行于轴． （10分）
过做的垂线，则垂足为线段的中点．
设点的坐标为，，则． （12分）
由方程组，解得，解得．（13分）
而，
所以直线的方程为． （14分）
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为．
．
令，得．
当时，；当时，．
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（Ⅱ）设点的横坐标为，则，．
，，，．
由题意得
由②得或（舍．
把代入①，可得．
设，则．
令，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
在上的最大值为，
即的最大值为．
【解答】解：（Ⅰ），（5）；
（Ⅱ）当时，，（1），（1）；
当时，，（2），（2）；
当时，，（3），（3）；
当时，，（4），（4）．
当时，．
当时，，（5），（5）．
不难看出，当时，；
证明：（Ⅲ），，，，，
当时，，使得；
当时，，使得；
当时，，使得；
当时，，使得
时，命题成立．
当时，设是使得成立的最大自然数，只需证．
，，
由（Ⅱ）可知，当时，，
，从而．
，即．
综上可知，命题成立．
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日期：2019/12/17 21:25:37；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267四惠
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