2018-2019学年广东省韶关市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年广东省韶关市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，1，，，，则　　

A．， B．， C．，， D．

2．（5分）复数在复平面内对应的点所在象限为　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分），两名同学在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若，两人的平均成绩分别是，，观察茎叶图，下列结论正确的是　　

A．，比成绩稳定 B．，比成绩稳定 

C．，比成绩稳定 D．，比成绩稳定

4．（5分）已知三棱柱的底面边长和侧棱长都相等，侧棱底面，则直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．

5．（5分）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”．如图，若在圆内任取一点，则此点不落在圆内接正方形内部的概率为　　

A． B． C． D．

6．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，则图象的一个对称中心是　　

A．， B．， C．， D．，

7．（5分）在中，为边的中点，若，则　　

A．， B．， C．， D．，

8．（5分）设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中，为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为　　

A．2 B． C． D．

9．（5分）某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有　　

A．720种 B．600种 C．360种 D．300种

10．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

11．（5分）设抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，若，则的值为　　

A． B． C． D．

12．（5分）巳知定义域为的函数满足（1），是是的导函数），且的图象关于直线对称．则不等式的解集为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

二、填空题：共4小题，每小题5分．

13．（5分）若实数，满足，则的最大值为　　

14．（5分）已知直线是曲线在点处的切线，则直线的方程为　　．

15．（5分）在中，、、分别是内角、、的对边，且，则　　

16．（5分）在三棱锥中，平面，且，，，当三棱锥的体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为　　．

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一]必考题：共60分．

17．（12分）已知数列的前项和为，满足，且数列各项为正数．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．（12分）如图，四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

19．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的一个顶点为，右焦点到直线的距离为．

（1）求椭圆的标准方程‘

（2）若过作两条互相垂直的直线，，且交椭圆于，两点，交椭圆于、两点，求四边形的面积的取值范围．

20．（12分）现有6人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性．主办方制作了一款电脑软件：按下电脑健盘“”键则会出现模拟抛两枚质地均匀的骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数和．并在屏幕的下方计算出的值，主办方现规定：每个人去按“”键，当显示出来的小于时则参加甲游戏，否则参加乙游戏．

（1）求这6个人中恰有2人参加甲游戏的概率；

（2）用，分别表示这6个人中去参加甲，乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．

21．（12分）已知函数（其中是自然对数的底数）

（1）证明：①当时，；

②当时，；

（2）是否存在最大的整数，使得函数在其定义域上是增函数？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为．为参数

（1）当时，求直线的的普通方程和曲线的普通方程；

（2）过点的直线交曲线于，两点，若，求线段的长．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（1）解不等式：；

（2）若，，，证明：

2018-2019学年广东省韶关市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【解答】解：，

，

，解得，

解得，或3，

，．

故选：．

【解答】解：，

复数在复平面内对应的点的坐标为，

所在象限为第四象限．

故选：．

【解答】解：由茎叶图知，的成绩为81、82、85、94、118，平均成绩为92；

的成绩为88、98、97、104、103，平均成绩为98；

从茎叶图上可以看出的数据比的数据集中，比成绩稳定，

故选：．

【解答】解：以为原点，在平面中，过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，1，，，2，，，0，，，2，，

，1，，，2，，

，．

直线与所成角的余弦值是．

故选：．

【解答】解：设正方形的边长为，则圆的半径为，

设事件为“在圆内任取一点，此点不落在圆内接正方形内部”，

由几何概型中的面积型可得：

（A），

故选：．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；

再将各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

若，即，可以取，

则图象的一个对称中心是，，

故选：．

【解答】解：，为边的中点，

，，

即，．

故选：．

【解答】解：，

圆必过双曲线的两个焦点，，

，，

则，，

故双曲线的离心率为．

故选：．

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有种情况，

②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，

则有种不同的顺序，

故选：．

【解答】解：已知

，

，，

则，

故选：．

【解答】解：设，，，

由已知，得：，即，①

，则的方程：，

与联立，得：，则，②

由①②得，则，

．

故选：．

【解答】解：定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，

的图象关于轴对称，

是偶函数，

当时，，

，

设，

在上恒成立，

在上单调递增，

为偶函数，

也为偶函数，

在上单调递减，

（1），

（1），

，

，

（1），

，

或，

故选：．

二、填空题：共4小题，每小题5分．

【解答】解：由实数，满足作出可行域如图，

联立，解得，，

化目标函数，得，

由图可知，当直线过点，时，直线在轴上的截距最大，有最大值为．

故答案为：．

【解答】解：求导得：，把代入导函数得：，

切线的斜率，又，

直线的方程为，即，

故答案为：．

【解答】解：，

由正弦定理可得，整理可得，

又由余弦定理可得，

，可得，

又由正弦定理，可得，

，可得，

，

．

故答案为：．

【解答】解：设，，

则

（当且仅当时取等号），

此时，，

由，，

可作菱形如图，

可知为的外心，且，

设外接球球心为，则平面，

为的中点），

在中，求得外接球半径，

故，

故答案为：．

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一]必考题：共60分．

【解答】解：（Ⅰ）数列的前项和为，满足①，且数列各项为正数．

当时，求出，整理得，

当时②，

①②得，化简得（常数），

所以．

（Ⅱ）由于，

所以，

所以．

【解答】证明：（1）取中点连结，，，．

又四边形为菱形，，故是正三角形，

又点是的中点，．

又，、平面，平面，

又平面，．

解：（2），点是的中点，．

又平面平面，平面平面，平面，平面，

又，平面，，．

又，所以，，两两垂直．

以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．

设，则各点的坐标分别为，0，，，，，0，，，0，．

故，，，，

设，，，，，分别为平面，平面的一个法向量，

由，可得，令，则，，故．

由，可得，令，则，，故，，．

．

又由图易知二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值是．

【解答】解：（1）设椭圆的方程为 ，则，设，

则到直线的距离，解得或（舍，则，

所以椭圆的方程为；

（2）法一：①当 的斜率不存在时，则 的斜率为0，此时，，

则四边形的面积为；

②当 的斜率不存在时，则 的斜率为0，同理可得四边形面积的面积，

③当 的斜率存在，且时，则，将直线的方程代入椭圆中，化简整理，

可得，

则△，

设， 、， ，则有，

所以，

同理可得，

则的面积，

令，则

，

令，则，，

所以，综上，．

法二：设直线 的倾斜角为，则直线 的倾斜角为，

由焦点弦公式得 为焦准距），

同理，

所以的面积，，

综上，，．

【解答】解：（1）依题意得由屏幕出现的点数和形成的有序数对一共有种等可能的基本事件，

符合的基本事件有24个，分别为：

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

选择甲游戏的概率，选择乙游戏的概率，

这6个人中恰有2人参加甲游戏的概率为．

（2）依题意得的可能取值为0，2，4，6，

，

，

，

，

的分布列为：

．

【解答】解：（1）①令，，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

，

故，当时，；

②令，由①知

，

为增函数，当时，，

故，；

（2）由题意，函数，，

，

，

对于一切有，

令，

，

，

为增函数，

又，，

因此在区间，上有唯一的零点，记作，

在，上单调递减，在，上单调递增，

，因此，其中，，

由（1）知恒成立，且当时，成立，

故，

当且仅当 时等号成立，

因此，

又，

因此，

即存在最大的整数28，使得函数在其定义域上是增函数．

故答案为：28．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（1）当时，直线的参数方程为，消去参数，可得直线的普通方程为；

由曲线的参数方程为参数），消去参数，可得曲线的普通方程为；

（2）把直线的参数方程代入，

得．

由，得，得．

．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（1），

，或，

或，

不等式的解集为或；

（2）证明：因为，，，

，

当且仅当，即时取等号，

．

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日期：2019/12/17 21:23:47；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267