2018-2019学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）设全集，2，3，4，5，，，2，3，4，，，4，5，，则　　

A．， B．，2， C．，2，3，4， D．，2，3，4，

2．（5分）若满足，约束条件，则的最大值为　　

A． B．1 C． D．

3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为　　

A．8 B．4 C． D．

4．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

5．（5分）“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则具有的性质是　　

A．图象关于直线对称且最大值为1 

B．图象关于点，对称且周期为 

C．在区间上单调递增且为偶函数 

D．在区间上单调递增且为奇函数

7．（5分）已知双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为　　

A． B． C． D．

8．（5分）如图，圆是边长为4的正方形的内切圆，是圆的内接正三角形，当绕着圆心旋转时，的最大值是　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

9．（5分） 为虚数单位，计算　 　．

10．（5分）在的展开式中，的系数为　　（用数字作答）．

11．（5分）已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为　　．

12．（5分）已知直线为参数）与轴交于点，点是圆上的任一点，则的最大值为　　

13．（5分）已知，，二次函数的值域为，，则的最小值为　　．

14．（5分）已知函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

15．（13分）在中，．

（Ⅰ）求角的大小

（Ⅱ）求的取值范围．

16．（13分）4月23日是“世界读书日”，天津市某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生中抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：

（Ⅰ）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

（Ⅱ）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

17．（13分）如图，三棱柱，平面，，，为的中点

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若点在线段上，且平面，确定点的位置并求线段的长．

18．（13分）已知数列是等比数列，是等差数列，且，，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

19．（14分）已知椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于，两点．

证明：平分线段（其中为坐标原点）；

当取最小值时，求点的坐标．

20．（14分）已知函数，其中

当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数，是函数的导函数，若存在两个极值点，，且满足，求实数的取值范围．

2018-2019学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

【解答】解：全集，2，3，4，5，，，2，3，4，，

，4，5，，则，，

，．

故选：．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数为，

由图可知，当直线过时，目标函数有最大值，

由：，可得，的最大值为．

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算并输出

．

故选：．

【解答】解：，；

．

故选：．

【解答】解：若“”，则，不一定等于；

而若“”则，

“”是的必要而不充分条件

故选：．

【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后得到：

的图象，

所以：当时，，

所以函数图象关于直线对称．

由于为任意实数，

所以函数的最大值为1．

所以：选项正确，

①对于选项：图象不关于点，对称．

②对于选项在区间上单调递增错误．

③对于选项，函数为奇函数错误．

故选：．

【解答】解：圆的圆心，，半径为．

双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，切点在原点处的切线，

可得这条渐近线的斜率为：，

可得，一条渐近线方程为：，

且双曲线的一个焦点到渐近线的距离为2，可得，

解得，，

则曲线的方程为：．

故选：．

【解答】解：分别过点作直线，直线，以点为坐标原点，直线、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，

则点、，设点，则点，

，，

所以，

，

因此，的最大值为，

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

【解答】解：，

故答案为：．

【解答】解：的展开式的通项公式为，令，求得，

可得的展开式中的系数为，

故答案为：240．

【解答】解：由已知可得，长方体的对角线长为，

则长方体外接球的半径．

长方体外接球的表面积为．

故答案为：．

【解答】解：直线为参数）与轴交于点，

直线的普通方程为，

令，得，，

点是圆上的任一点，

点到圆心的距离，

圆半径，

的最大值为：．

故答案为：．

【解答】解：二次函数的值域为，，

△且，

，

则，当且仅当时取得最小值1，

故答案为：1．

【解答】解：函数，

当时，方程，可得，解得，函数有一个零点；

时，函数只有一个零点，即，在时只有一个解，

因为开口向上，对称轴为，时，函数是减函数，

所以（1），

可得，解得．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ），

由正弦定理可得：，

由正弦定理可得：，

，

．（6分）

（Ⅱ）（7分）

；  （9分）

，

，，，．（11分）

的取值范围为，．  （12分）

【解答】解：（Ⅰ）由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，

从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种，

这两名学生来自同一小组的取法共有，

所以这两名学生来自同一个小组的概率．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在参加问卷调查的10名学生中，

来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．的可能取值为0，1，2，

．，

．

的分布列为：

．

【解答】（1）证明：连接，交于点，

则为的中点，为中点，，

又平面，平面，

；

（2）解：平面，，，面，

则平面，，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，1，，，0，，，0，．

，．

设平面的法向量为，，．

则，取，则，2，．

又平面的法向量为，0，．

．

二面角的余弦值为；

（3）解：设，，1，，，．

，，，

又，0，，，，，面，

，解得，．

，点位置是在线段上且．

【解答】解：（Ⅰ）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，

，，，，

可得，，

解得，

则，；

（Ⅱ），

前项和，

，

相减可得

，

化简可得．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，即，

短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得

，即有，，

解得，，

则椭圆方程为；

（Ⅱ）设，，，，，

的中点为，，

证明：由，

当直线为时，此时平分线段，

设直线的方程为，

代入椭圆方程可得，

，，

，

于是，，

则直线的斜率，

，

，得，

，

，

，，三点共线，即有平分线段；

当直线为时，此时，，

，，

由两点间距离公式得，

由弦长公式得

令，

则（当且仅当时，取“”号），

，

当最小，由，得或，

此时点的坐标为或．

【解答】解：当时，，（1）．

，（1）．

曲线在点，（1）处的切线方程为：，化为：．

（Ⅱ），．

不等式，即，化为：．

令在上恒成立，（1）．

在上恒成立，化为：．

的取值范围是．

（Ⅲ）设函数，

，．

存在两个极值点，，

在上有两个不等实数根，．

因此，且，．

解得．

，，满足，

．

化为：．

，．

化为：，

令（a），，（1）．

，

（a）在上单调递增，

．

实数的取值范围是．

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日期：2019/12/17 21:16:14；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267