2018-2019学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知为虚数单位，复数满足，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）设全集，集合，，则　　

A． B．， C．， D．，

3．（5分）如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是　　

A．这15天日平均温度的极差为 

B．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天 

C．由折线图能预测16日温度要低于 

D．由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数

4．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

5．（5分）设向量，，若，则　　

A． B． C．4 D．2

6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　

A． B． C． D．

7．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的，输出的，则判断框“”中应填入的是　　

A．？ B．？ C．？ D．？

9．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　

A． B． C． D．或

10．（5分）已知函数，则下列结论中正确的是　　

A．函数的定义域是， 

B．函数是偶函数 

C．函数在区间，上是减函数 

D．函数的图象关于直线轴对称

11．（5分）若函数的图象关于直线轴对称，则函数的最小值为　　

A． B． C．0 D．

12．（5分）已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是　　

A．，， B． 

C．，， D．，，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，满足约束条件，若，则的最大值为　　．

14．（5分）的展开式中的系数是　　．

15．（5分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则　　．

16．（5分）在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，以为折痕把折起，当时，四面体的外接球的体积为　　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列为等差数列，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．（12分）如图，在四棱锥中，为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）为直线的中点，且，求二面角的正弦值．

19．（12分）已知椭圆经过点离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．

20．（12分）微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，很多手机用户加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，运动的积极性明显增强．微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：

（Ⅰ）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；

（Ⅱ）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取3人，求至少2人步数多于1.2万步的概率；

（Ⅲ）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取2人，其中每日走路不超过0.8万步的有人，超过1.2万步的有人，设，求的分布列及数学期望．

21．（12分）函数．

（Ⅰ）若函数在点，（2）处的切线过点，求的值；

（Ⅱ）若不等式在定义域上恒成立，求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）点，直线与曲线交于，两点，若，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（Ⅰ）若函数的最小值为2，求的值；

（Ⅱ）若时，不等式成立，求的取值范围．

2018-2019学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【解答】解：，

故选：．

【解答】解：解对数不等式得：，即，，

又，

所以，，

故选：．

【解答】解：由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：

在中，这15天日平均温度的极差为：，故 错误；

在中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正确；

在中，由折线图无法预测16日温度要是否低于，故错误；

在中，由折线图无法预测本月温度小于的天数是否少于温度大于的天数，故错误．

故选：．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为，

由一条渐近线为，可得，

即，

即有．

故选：．

【解答】解：；

；

；

．

故选：．

【解答】解：几何体的三视图的直观图如图所示，

则该几何体的体积为：．

故选：．

【解答】解：，

则函数为奇函数，故排除，

当时，（1），故排除，

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行过程如下，

输入，，，

，，

，，

，，

此时不满足循环条件，输出；

则判断框中应填入的是？．

故选：．

【解答】解：，，，

由余弦定理可得：，

由正弦定理可得：，

，为锐角，

．

故选：．

【解答】解：函数

，

由，，可得，即定义域为，故错误；

由，定义域为，

且，即为偶函数，故正确；

由，，，，即，故错误；

由，可得的图象不关于直线对称，故错误．

故选：．

【解答】解：

，，

函数的图象关于直线轴对称，

，

，

，

，

，

结合二次函数的单调性可知，

当时，，

故选：．

【解答】解：有两个零点等价于的图象与直线有两个交点，

①当时，过点，的直线与切于点

，，

又，

即切线方程为：，

又此切线过点，，

所以解得：，

即，即，

②当时，设直线与曲线，相切，

得，

由△得，

由图知，

结合图象可知：

当的图象与直线有两个交点时，

实数的取值范围是：，，，

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

【解答】解：画出，满足约束条件的平面区域，

如图示：

将转化为：，

通过图象得出函数过时，取到最大值，

，

故答案为：7．

【解答】解：的展开式的通项为．

令，可得．

的展开式中的系数是．

故答案为：．

【解答】解：抛物线，焦点为，，准线为，

是抛物线上一点，则，

由题意可得，，

由于为等边三角形，则有，

即有：，可得．

故答案为：．

【解答】解：在四面体中，由已知条件可知，，，，则，所以，，

所以，和是公共斜边的直角三角形，则是四面体外接球的一条直径，

易知，，且，

设四面体的外接球的半径为，则，

因此，四面体的外接球的体积为．

故答案为：．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

【解答】解：（Ⅰ）数列为等差数列，，．

设数列的首项为，公差为，

则：，

解得：，，

故：，

（Ⅱ）由于：，

所以：，

所以：，

，

．

【解答】（Ⅰ）证明：为矩形，

平面平面，平面平面，

平面，则，

又，，

平面，而平面，

平面平面；

（Ⅱ）取中点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，

由，是以为直角的等腰直角三角形，

得：，，，，，，，，，，，，

，，．

设平面的一个法向量为，

由，取，得；

设平面的一个法向量为，

由，取，得．

．

二面角的正弦值为．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，，，

所以，椭圆的方程为，

将点的坐标代入椭圆的方程得，

解得，则，，

因此，椭圆的方程为；

（Ⅱ）设直线的方程为，设点，、，，

将直线的方程代入椭圆的方程，并化简得，

△，解得或．

由韦达定理可得，，

，同理可得，

所以，

，

解得，合乎题意！

因此，直线的方程为或．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，补充下表，

根据表中数据，作出频率分布直方图如下：

（Ⅱ）这100人中只有25人步数多于1.2万步，

在这100人中随机抽取3人，至少2人步数多于1.2万步的概率为．

（Ⅲ）由题知微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过0.8万步的概率为，超过1.2万步的概率为，

且当或时，，，

当，或，时，，，

当，或，时，，，

的分布列为：

．

【解答】解：（Ⅰ），

（2），（2），

，

整理可得，

解得，

（Ⅱ）由题意知，，

，

设，，

故在递增，

故时，，

当时，，

故在上有唯一实数根，

当时，，当，时，，

故时，取最小值，由，

得，故，

，

解得：，

故的范围是．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（Ⅰ）．

，

，

而直线的参数方程为为参数），

则的普通方程是：，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①，的参数方程为为参数）②，

将②代入①得：，

故，

由，即

解得：或1．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（Ⅰ）函数，

由，

可得的最小值为，

若函数的最小值为2，

即有，解得或；

（Ⅱ）若时，不等式成立，

即有，即，

即有，即，

由在递减，可得，

即有且，可得，

则的范围是，．

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日期：2019/12/17 21:07:34；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267