2018-2019学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（3分）设全集为，集合，，则集合　　

A． B．或 C． D．或

2．（3分）设实数，满足条件，则的最大值是　　

A． B． C．4 D．7

3．（3分）在中，“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（3分）执行如图所示的程序框图，若输出的为4，则输入的应为　　

A． B．16 C．或8 D．或16

5．（3分）设，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

6．（3分）将函敬的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是　　

A． B． C． D．

7．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为　　

A． B． C．2 D．

8．（3分）已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当，时，．若函数，则函数在区间，上零点的个数是　　

A．7 B．8 C．9 D．10

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）若复数，则的共轭复数等于　　．

10．（5分）如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面，则

三棱锥的体积为　　．

11．（5分）已知偶函数在，单调递减，（2），若，则的取值范围是　　．

12．（5分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点，为抛物线上的一点，且满足，则　 　．

13．（5分）在平行四边形中，点满足，，若，，且，则实数　　．

14．（5分）若，均为正实数，则的最大值为　　．

三、解答题：

15．已知函数的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值和函数的单调增区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

16．在中，内角，，对边的边长分别是，，，已知，．

（1）若，求，；

（2）若，求的值．

17．如图，四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的度数．

18．已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且，，．

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

19．如图，是椭圆的左焦点，椭圆的离心率为．，为椭圆的左顶点和上顶点，点在轴上，，的外接圆恰好与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线与已知椭圆交于，两点，且，求直线的方程．

20．已知函数．

（1）求曲线与直线垂直的切线方程；

（2）求的单调递减区间；

（3）若存在，，使函数成立，求实数的取值范围．

2018-2019学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【解答】解：，，或；

；

，或．

故选：．

【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：

联立可得，即

由图可知：当过点时，取最大值4．

故选：．

【解答】解：当时，成立．

若当时，满足．

所以，“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

【解答】解；由程序框图知：算法的功能是求的值，

当时，输出的；

当时，输出的．

故选：．

【解答】解：，，，

则，，的大小关系是．

故选：．

【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度得到．

故选：．

【解答】解：由双曲线的定义可得，

根据点在双曲线的左支上，可得，，

双曲线离心率的最大值为，

故选：．

【解答】解：对任意，有；

若，，则，，此时，

当，，则，，此时，

当，，则，，此时，

当，，则，，此时，

作出函数与的图象，

由图象可知，两个图象有10个交点，

即函数在区间，上零点的个数是10个，

故选：．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

【解答】解：复数．

则复数的共轭复数为：．

故答案为：．

【解答】解：三棱柱的所有棱长均为1，且底面，

，

点到平面的距离，

三棱锥 的体积：

．

故答案为：．

【解答】解：偶函数在，单调递减，（2），

不等式等价为（2），

即（2），

，

解得，

故答案为：

【解答】解：过点作准线，交准线于，

由抛物线定义知，

在中，，

，

，

．

故答案为：．

【解答】解：

平行四边形中，点满足，

，

，

，，，

，

，

解得，或（舍

故答案为：2．

【解答】解：，当且仅当时取等号，

，当且当且仅当时取等号，

，当且仅当，时取等号，

故的最大值为，

故答案为：

三、解答题：

【解答】解：（Ⅰ）           （2分）

                             （4分）

函数的最小正周期为，

．                                            （5分）

．

由，

得，

函数的单调增区间为，，．     （8分）

（Ⅱ），

在区间，单调递增，在区间，单调递减，（10分）

，，，

因此的取值范围为，．                            （13分）

【解答】解：（1），，

由余弦定理得：，即①，

，由正弦定理化简得：②，

联立①②解得：，；

（2），为三角形内角，

，

，，

．

【解答】（Ⅰ）解：四棱锥中，底面，，，

，，为上一点，

且，

，

，

．

（Ⅱ）证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，1，，，0，，，，0，，

，，0，，

，1，，

，，

，，

又，平面．

（Ⅲ）解：，1，，，0，，，1，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，0，，

设二面角的度数为，

则，．

，

二面角的度数为．

【解答】解：（1）为公差为的等差数列，前项和为，

是首项为2，公比设为的等比数列，且，，，

可得，，，

解得，，

则，；

（2），

可得，

即有数列的前项和为

．

【解答】解：（Ⅰ），，，

又，，

在中，，

，．

，，．

的外接圆的圆心坐标为：，，半径，

又圆与直线相切，

圆心到直线的距离等于，即，

又，，，

椭圆的方程为：；

（Ⅱ）由知，，

设直线的斜率为，则直线的方程方程为，

联立，消去得：，

由韦达定理可得：，，

，

则，，

，

，，解得，

直线的方程为：．

【解答】解：（1），，

设出切点坐标，

而曲线与直线垂直的切线的斜率，

故，解得：，

故切点坐标是：，，

故切线方程是：，

即；

（2），

由，得或，

所以函数的单调递减区间为和；

（3）因为，

由已知，若存在，，使函数成立，

则只需满足当，，即可，

又，

则，

，则在，上恒成立，

在，上单调递增，

（e），

，

，

，

，则在，上单调递减，在，上单调递增，

在，上的最小值是（a），

（a）（e），，满足题意，

综上所述，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2019/12/17 21:17:39；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267