模块综合练02 导数及其应用-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

 模块综合练02 导数及其应用

一、单选题

1．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（     ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】

根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.

【详解】

因为，所以，因此切线方程的斜率，

所以有，得，

又切点在切线上，可得切点坐标为，

将切点代入中，有，得，

所以.

故选：D.

2．（2021·江苏高三其他模拟）已知曲线上一点，则A处的切线斜率等于

A．9 B．1 C．3 D．2

【答案】A

【分析】

求出函数的导数，然后在导数中令，可得出所求切线的斜率.

【详解】

对函数求导得，故该曲线在点处的切线斜率为，

故选A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要熟知导数的几何意义，考查对导数概念的理解，属于基础题.

3．（2021·全国高三其他模拟）曲线在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据导数的几何意义，求处切线的斜率并求对应的函数值，直接写出切线方程即可.

【详解】

依题意，，则，而当时，，

故所求切线方程为，即，

故选：D.

4．（2021·四川自贡市·高三三模（理））已知点是曲线C：y＝+1上的点，曲线C在点P处的切线平行于直线6x﹣3y﹣7＝0，则实数a的值为（    ）

A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2

【答案】A

【分析】

求出导函数并把代入令其值等于2可求得可得答案.

【详解】

∵y＝+1，∴，

∵曲线C在点P处的切线平行于直线6x﹣3y﹣7＝0，

结合题意得：，解得：a＝2或，

当时，，

切点坐标为，代入，所以不合题意，舍去，

当时，，

切点坐标为，代入，

故选：A．

5．（2021·河南南阳市·高二其他模拟（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据导数的几何意义求解切线的斜率，最后写出切线方程即可.

【详解】

因为，所以．

因为，所以曲线在点处的切线方程为，

即．故选：A.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，导数在切点处的取值为切线的斜率，这类问题需要注意题目中的关键信息，是在这个点处还是过这个点，注意区别对待.

6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知实数满足则下列不等关系中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

构造函数，求导分析单调性可判断A，B；构造函数根据单调性可判断C，D．

【详解】

设，则，

当时，；当时，，

所以在上单调减，在上单调增，因为，故与大小不定，所以A，B错；

设 ，则，当时，

所以在上单调增，因为，所以，则

得，故D正确．

故选：D

7．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）无极大值，也无极小值

B．f（x）有极大值，也有极小值

C．f（x）有极大值，无极小值

D．f（x）无极小值，有极大值

【答案】C

【分析】

求导判断函数的单调性，但由于不容易判断正负，所以需要二次求导来判断.

【详解】

因为，所以，

令，

，

因为，所以，即，故，

所以在上单调递减，

又因为， ，

所以存在唯一的，使得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以f（x）有极大值，无极小值.

故选：C.

8．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数，，满足且，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

首先根据题中的条件得到，从而得到；再根据时得到，结合函数的单调性得到，从而得到.

【详解】

由得，————①

由得，————②

两式相加得，因为，，所以，又因为 ，所以；

因为，，所以，即，所以；

令，则，当时，，

所以在内单调递增，即，

所以，即，

又令，则，

当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.

所以.

故选：D.

9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，且，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

，且，即得，构造函数，求导后利用导数的正负求得函数单调递增，利用得，结合赋值法即可判断出结果.

【详解】

，且，即得

设，

则恒成立，

∴在上单调递增，

∵，

∴，即，

故，B正确；

令满足，但不成立，故A错误；

令满足，不成立，故C错误；

令满足，不成立，故D错误；

故选：B.

10．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由已知可知曲线在点处的切线与直线平行，利用导数求出点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.

【详解】

因为点是曲线任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的的距离最小，

因为直线的斜率等于，曲线的导数，

令，可得或（舍去），所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为，

所以点到直线的最小距离为.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查曲线上的点到直线距离的最小值的求解，解题的关键在于分析出曲线在点处的切线与直线平行，进而利用导数求解.

11．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

令可得，将所求不等式等价于，再根据为奇函数且为减函数，从而得到，解不等式即可得到答案；

【详解】

解：令，则，

∵，∴，

∵，∴是R上的奇函数，

∴可化为，

又∵，

所以在R上是减函数，∴，解得，，

故选：A．

12．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先分析极值点的最多个数，然后根据极值点的最多个数确定出极值点个数的分布情况，由此得到关于的不等式组，从而求解出的取值范围.

【详解】

设，，令，所以，

设，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，

且当时，，时，，

所以方程最多仅有两个解，

又因为在上最多仅有一个极值点，

所以有两个极值点，有一个极值点；

当方程有两个解时，，所以，

当在有一个极值点时，，所以，

综上可知，若要使在上恰有三个极值点，则，

故选：A.

二、填空题

13．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在点处的切线方程为，则t=___________.

【答案】

【分析】

求得在处导数，即可求出，再将代入切线求得.

【详解】

，，

，，即，

又为切点，，解得.

故答案为：.

14．（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）函数，的单调递增区间为__________．

【答案】；（区间两端开闭都可以）

【分析】

利用三角恒等变换得，再利用换元法设，利用导数和复合函数的单调性解不等式，即可得到答案；

【详解】

令，

设，则，

，

，，

，

，

在区间单调递增.

故答案为：.

【点睛】

本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则.

15．（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则________，其在点处的切线方程为________．

【答案】       

【分析】

利用复合函数的求导法则可求得，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程.

【详解】

，故，则.

故曲线在点处的切线方程为.

故答案为：；.

16．（2021·全国高三其他模拟（理））函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是_______________．

【答案】．

【分析】

将函数在内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数或恒成立即可求解.

【详解】

解：∵函数（）在内不存在极值点，

∴函数在内单调递增或单调递减，

∴或在内恒成立，

∵，

令，二次函数的对称轴为，

∴，

，

当时，需满足，即，

当时，需满足，即，

综上所述，a的取值范围为．

故答案为：．