模块综合练02 解析几何-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

综合训练02解析几何

一、单选题

1．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知抛物线的焦点为F，直线l为准线，点E在拋物线上.若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】

根据题意先确定出点所在象限，然后作出图示，根据的长度以及抛物线的定义确定出点坐标，由此可求直线的斜率.

【详解】

因为在上的射影点在第四象限，所以在第一象限，设与轴的交点为点，如下图所示：

因为，，所以，所以，

又因为轴，所以，

又因为，所以为等边三角形，所以,

所以，所以直线的斜率为，

故选：A.

2．（2021·云南高三其他模拟（理））已知，，，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

建立直角坐标系，取AC中点N，得到M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，由B，N，M三点共线时，为最大值求解．

【详解】

如图所示，建立直角坐标系，取AC中点N，

∵，，

∴，

∴M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，

∴B，N，M三点共线时，取得最大值．

又因为，，

所以，，

∴的最大值为，

∴的最大值是，

故选：D．

3．（2021·广东揭阳·高三其他模拟）数学中有些优美的曲线显示了数学形象美､对称美､和谐美，曲线：就是四叶玫瑰线，则不等式表示区域所含的整点(即横､纵坐标均为整数的点)个数为（    ）

A．1 B．4 C．5 D．9

【答案】C

【分析】

由于，所以转化为，化简得，从而可求得整点的个数

【详解】

解：因为，所以可化为，

得，圆含9个整点，

经检验，只有和共5个整点满足.

故选：C

4．（2021·内蒙古呼和浩特·高三二模（理））设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（    ）

A．9 B．8 C．6 D．10

【答案】A

【分析】

求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．

【详解】

解：圆，即，所以圆心为，

所以，即，因为、，

则，

当且仅当时，取等号．

故选：．

5．（2021·陕西咸阳·高三其他模拟）已知函数，则的大致图象不可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

分类讨论的取值，在不同情况下的解析式不同，则图像也不同，则可以判断出结果.

【详解】

①当时，，则A符合，C不符合；

②当时，，

若，即或时，则，即，则其图象为双曲线在x轴上方的部分，

若，即时，则，即，则其图象为圆在x轴上方的部分，故B符合；

③当时，，即，其图象表示为双曲线的上支，故D符合.

故选：C

6．（2021·全国高三其他模拟（理））“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【分析】

分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致.

【详解】

若，则，即，所以，

由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，

不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；

若，则，即，所以，

由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，

不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；

综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或

故选：C.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知双曲线，过y轴正半轴上一点P的直线恰好经过右焦点F，直线PF分别与其中一条渐近线和双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线的离心率（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由，求得的坐标，代入渐近线方程得到，设，由，求得，代入双曲线的方程，结合离心率的定义，即可求解.

【详解】

设，

由，可得为的中点，所以，

又由点在渐近线上，可得，即，

设，因为，可得，

即，解得，

又由点在双曲线上，代入双曲线的方程可得，

解得，即.

故选：B.

8．（2021·四川内江·高三其他模拟（理））已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

联立方程组，结合根与系数的关系求得，根据，得到，代入抛物线，求得，即可得到抛物线的方程.

【详解】

设，联立方程组，整理得，

则，可得，

由点为的中点，所以

设，因为，可得，

又由点在抛物线上，可得，

即，解得或（舍去），

所以抛物线的标准方程为.

故选：B.

9．（2021·山东菏泽·高三二模）已知直线l与圆x2+y2=8相切，与抛物线y2=4x相交于A，B两点，（O为坐标原点）直线l方程为（    ）

A．x+y-4=0或x-y+4=0 B．x-y-4=0或x+y-4=0

C．x+2y+4=0或x-2y-4=0 D．x-2y+4=0或x+2y+4=0

【答案】B

【分析】

先讨论直线斜率不存在的情况得直线斜率必存在，进而设，，由圆与直线相切可知，直线与抛物线联立方程，并结合韦达定理和数量积运算得，进而解得答案.

【详解】

若直线斜率不存在，由题知，此时，

，不合题意，故斜率必存在；

设，

由圆与直线相切可知，圆心到直线的距离

所以①，

由消去得：，

所以，

由题，可得②

由①②可得：，，则直线为或.

故选：B

10．（2018·全国高三专题练习（理））已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题知，，所以==，解得，故选A.

考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

11．（2020·福建省福州第一中学高二期中）已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

求出各选项中椭圆或双曲线的、的值，假设点存在，根据以及椭圆或双曲线的定义求出，结合焦半径的取值范围即可得出结论.

【详解】

对于A选项，，、，，所以，，

到焦点距离的最小值为，最大值为，

假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，

所以A选项中的椭圆不存在“点”；

对于B选项，，、，，所以，，

到焦点距离的最小值为，最大值为，

假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，

所以B选项中的椭圆不存在“点”；

对于C选项，双曲线的方程为，则双曲线的两个焦点为、，，，

若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，

则，可得，

即双曲线存在“点”；

对于D选项，双曲线的标准方程为，则，，、，所以，，

若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，

则，解得，

所以D选项中的双曲线不存在“点”.

故选：C.

12．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高三其他模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为θ的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设，可得出，，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，结合可求得该双曲线的离心率.

【详解】

如下图所示，设，由双曲线的定义可得，

则，所以，，

在中，，

整理可得，即，，解得.

故选：D.

二、填空题

13．（2021·全国高三专题练习（理））已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．

【答案】

【分析】

将代入直线得，由即可得结果.

【详解】

由已知得，

代入直线得，

即，

由，解得，

直线必过定点，

故答案为:.

14．（2021·黑龙江哈九中高三三模（理））椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为______．

【答案】

【分析】

设出坐标，根据点在椭圆上利用点差法求解出的值，再利用直线的点斜式方程可求解出直线方程.

【详解】

设直线与椭圆的两个交点为，因为在椭圆上，

所以，所以，

所以，所以，

所以，所以，

所以的方程为：，即，

故答案为：.

15．（2021·江苏高三一模）直线与圆：交与，两点，则直线与的倾斜角之和为_____________．

【答案】

【分析】

由题意，作出图象，结合直线的倾斜角，由三角形内角和定理求解.

【详解】

如图所示：

直线的斜率是，则倾斜角为，

则 ，

因为，

所以，

所以，

即.

故答案为：

16．（2021·全国高三其他模拟（理））已知抛物线的焦点为，准线为，点是上一点，过点作的垂线交轴的正半轴于点，交抛物线于点，与轴平行，则___________.

【答案】6

【分析】

设，结合已知条件，求出点和点的坐标表示，由三点共线求出的值，再结合两点之间的距离公式求出结果.

【详解】

由抛物线的方程，可得焦点为，准线方程为，

设，则，因为，所以，

直线：，令，得，即，

设，由，，三点共线，得，

整理得，解得或(舍)，

所以，所以.

故答案为：6