模块综合练02 立体几何-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

模块综合练02立体几何

1．（2021·全国高三专题练习（理））埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（    ）

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米

【答案】B

【分析】

由题设条件求出建成时的高度，从而得出答案.

【详解】

，（米）

故选：B

2．（2021·安徽高三一模（理））某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积等于（    ）

A．8 B． C． D．

【答案】D

【分析】

由三视图得到几何体的直观图，然后求其体积

【详解】

解：由题意可知，该几何体是从棱长为2的正方体中截得的，如图所示，底面是等腰直角三角形的三棱锥，

所以该几何体的体积为，

故选：D

3．（2021·天津市南开区南大奥宇培训学校高三其他模拟）高为1的圆锥内接于半径为1的球，则该圆锥的体积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

作出草图，由题意可知该圆锥的底面即为其外接球的大圆，即可求出圆锥底面的半径，再根据圆锥的体积公式即可求出结果.

【详解】

如图

由题意可知，圆锥的高为，

又圆锥内接于半径1为的球，所以圆锥的底面即为该球的大圆，所以,

即该圆锥的高和底面的半径均为1，

所以该圆锥的体积为.

故选：B.

4．（2021·浙江高三开学考试）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B．

C．2 D．

【答案】B

【分析】

根据三视图还原几何体即可求解.

【详解】

解：该几何体的直观图为如图所示的三棱锥，底面是等腰直角三角形，高为2，

则体积.

故选：B.

5．（2021·江苏省前黄高级中学高三其他模拟）已知，是异面直线，平面，平面．若直线满足，，，，则（   ）

A．， B．与相交，且交线平行于

C．， D．与相交，且交线垂直于

【答案】B

【分析】

如图所示：设，由已知得平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线，；构造与的平行线构成的面，然后说明，即可得结论.

【详解】

如图所示：设，

由于，为异面直线，平面，平面，

若，则，与，是异面直线矛盾，所以平面与平面必相交，

但未必垂直，且交线垂直于直线，，故A，C错误；

因为平面，平面，，

所以且，作，使得与相交，记与与构成面，

易知，

又直线满足，，，则，

故而，所以交线平行于，

故选项D错误，选项B正确；

故选：B.

6．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在圆柱中，正三棱柱的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，为上一点，，为的中点，则下列关系正确的是（    ）

①平面；②平面；③平面；④平面．

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

【答案】B

【分析】

由重心性质和得，由此得到，由线面平行判定可知①正确；

由与相交可知与平面相交，知②错误；

由三线合一性质和平行关系可得，由线面垂直性质可得，根据线面垂直的判定可知③正确；

由可确定异面直线与所成角为，由此可知④错误.

【详解】

对于①，为的重心，，，又，，

又平面，平面，平面，①正确；

对于②，由①知：，又，与相交，

又平面，与平面相交，②错误；

对于③，为等边三角形，为中点，；

由①知：，；

平面，平面，；

又，平面，平面，③正确；

对于④，由①知：，又为等边三角形，，

异面直线与所成角为，即与不垂直，

平面不成立，④错误.

故选：B.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（    ）

A．线段，的中点连接而成的线段

B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段

C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段

D．线段靠近点的三等分点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段

【答案】A

【分析】

利用面面平行得到线面平行，即可.

【详解】

解：如图所示，P、Q分别为线段，的中点，

所以,平面,

平面，所以平面，

同理平面，,

所以平面平面，若平面,则会有平面，

故点的轨迹为线段，的中点连接而成的线段，

故选A.

8．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，四边形，，均为正方形．动点E在线段上，F，G，M分别是，，的中点，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．平面

C．存在点E，使得平面平面

D．存在点E，使得平面平面

【答案】B

【分析】

取BC的中点N，连接CE，利用反证法判断选项A；利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理即可判断选项B；利用直线BF与平面CC1D1D有交点，即可判断选项C；连结BD，记AC∩BD＝H，利用面面垂直的性质定理证明BH⊥平面AA1C1C，且H不在平面BEF，即可判断选项D．

【详解】

解：对于A，取的中点N，连接，因为G是的中点，所以，

若，则，这与矛盾，故选项A错误；

对于B，因为平面平面，平面平面，，

所以平面，又平面，所以，

又，且，，平面，

则平面，故选项B正确；

对于C，因为直线与平面有交点，所以不存在点E，使得平面平面，故选项C错误；

对于D，连接，因为四边形为正方形，

所以，因为平面，平面，所以平面平面，

又平面平面，，则平面，

记，则平面，且H不在平面，

所以不存在点E，使得平面平面，故选项D错误．

故选：B．

9．（2021·江西高二期末（理））如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ）

A． B．直线与平面所成角为

C．平面 D．异面直线与所成角为

【答案】D

【分析】

连接，由中位线性质知，由线面平行的判定知C正确；根据线面垂直性质知，由知A正确；根据和平面知直线与平面所成角为，可知B正确；根据知与所成角为，可知D错误.

【详解】

连接，则，

四边形为正方形，为中点，又为中点，，

平面，平面，平面，C正确；

平面，平面，，

又，，A正确；

平面，，与平面所成角即为，

，与平面所成角为，B正确；

，与所成角即为，

，与所成角为，D错误.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查立体几何中的线线关系、线面关系的判定，异面直线所成角和直线与平面所成角的求解问题；求解角度的关键是能够通过平行关系将进行平移，将问题转化为与有关的角度问题的求解.

10．（2021·江苏高三其他模拟）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是，的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

取AC中点Q，连接PQ、BQ，根据线面垂直的判定定理，可证平面BPQ，即可得，结合题意，根据线面垂直的判定及性质定理，可证，同理，将补成一个正方体，根据条件，求得正方体边长，根据正方体体对角线为外接球直径，即可求得外接球半径r，即可得答案.

【详解】

取AC中点Q，连接PQ、BQ，如图所示

因为PA=PC，Q为AC中点，

所以，

又是正三角形，

所以，

又，平面BPQ，

所以平面BPQ，又平面BPQ，

所以，

因为，分别是，的中点

所以为中位线，所以

又因为，所以，且，，平面

所以平面，

所以，同理，

则，，两两垂直

如图将补成一个正方体，如图所示，

由题意得：，则，

又正方体的体对角线为外接球的直径，

所以外接球半径，

所以，

故选：A.

【点睛】

解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定、性质定理，并灵活应用，对于侧棱两两垂直的三棱锥，外接球即为所在正方体的外接球，考查空间想象能力，属中档题.

11．（2021·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别在线段，，上，，分别是，的中点，，则（    ）

A．直线与直线平行 B．直线与直线相交

C．直线与直线相交 D．直线与平面平行

【答案】D

【分析】

在平面中找到一条与直线平行的直线，进而判断直线与，，，平面的位置关系．

【详解】

如图，连接，交于点，由四边形是平行四边形，得为，的中点，

因为，分别是，的中点，所以，

连接，交于点，可得，

取线段的中点，连接，则，

又，所以，连接，则，所以，

因此直线不与直线平行，与直线异面，与直线异面，与平面平行，故选：D．

12．（2021·全国高三其他模拟）如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

取的中点，劣弧的中点，根据平行关系可确定所求角为或其补角；在中，利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可求得结果.

【详解】

取的中点，劣弧的中点，的中点，连接，，

分别为中点，，

，，，

又，为中点，，，

则异面直线与所成的角是或其补角.

连接，，，易得，

不妨设，则，，，，

，则，

在中，，

异面直线所成角范围为，

异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A.

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

13．（2021·河南高二其他模拟（理））已知正四棱锥的底面边长为，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为___________.

【答案】或

【分析】

现根据条件求得外接球的半径和底面正方形的外接圆的半径，设正四棱锥的高为，根据勾股定理可求得，再根据椎体的体积公式即可求出答案．

【详解】

解：∵正四棱锥的外接球的表面积为，

∴其外接球的半径为，

∵底面正方形正方形的边长为，

∴底面正方形的外接圆的半径，

设正四棱锥的高为，

则，解得或，

∴正四棱锥的体积

或，

故答案为：或．

14．（2021·全国高三其他模拟）已知长方体木块中，，从该木块中挖去一个圆锥，使得圆锥的顶点为正方形的中心，底面圆为正方形的内切圆，则剩余部分的表面积为_____________．

【答案】

【分析】

由题意可以剩余部分的表面积是在长方体的表面积基础上减去一个圆的面积，再加上圆锥侧面积，计算即可得到结果.

【详解】

剩余部分的表面积为长方体木块的表面积减去一个半径为的圆的面积，再加上一个底面半径为，高为的圆锥的侧面积，即．

故答案为：

15．（2021·全国高三其他模拟）已知圆柱O1O2的高为底面半径的2倍，其外接球的半径为R1，以圆O2为底面，点O1为顶点的圆锥外接球的半径为R2，则_________.

【答案】

【分析】

根据，，为勾股数，求的值；根据，，为勾股数求的值，从而求的值.

【详解】

设圆柱O1O2的底面半径为，则

所以，即，

又因为，，所以，

解，得.

所以.

故答案为：.

16．（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示，在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，使得面面，则三棱锥的外接球的体积是______．

【答案】

【分析】

取中点为，过作平面的垂线，设的外接圆圆心为，由题意可知，直线在平面内，且经过，也是三棱锥的外接球球心，利用正弦定理求出外接圆半径，即外接球半径，代入体积公式，即可得到答案；

【详解】

因为为等腰直角三角形，

取中点为，过作平面的垂线，设的外接圆圆心为，

由题意可知，直线在平面内，且经过，

也是三棱锥的外接球球心，

设外接球半径为，则外接圆半径也为，

，，，，

．

故答案为：