模块综合练01 导数及其应用-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

一、单选题

1．（2021·天津高二期末）下列求导运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则，对四个选项一一验证即可.

【详解】

对于A：，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确.

故选：D

2．（2021·甘肃兰州市·兰州一中高二月考（理））函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值

【详解】

解：由，得，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

因为，

所以函数的最大值为，

故选：B

3．（2021·河南南阳市·高二其他模拟（理））已知函数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

依题意求出函数的导函数，再解方程即可；

【详解】

解：由题意可得，因为，所以．

故选：B

4．（2021·江苏苏州市·高二期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求得函数的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】

由题意，函数，

可得，

所以曲线在点处切线的斜率为,

所以切线方程为，即.

故选：B.

5．（2021·北京石景山区·高二期末）设函数，则（    ）

A．时取到极大值 B．时取到极小值

C．时取到极大值 D．时取到极小值

【答案】D

【分析】

求出的导函数，再利用导函数求出的单调区间，即可得出答案.

【详解】

解：，

所以当时，；当时，，

故函数在上递减，在递增，

所以时取到极小值.

故选：D.

6．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求得导函数，根据函数单调性与导数的关系得到,对于上恒成立，利用正弦函数的性质得到的取值范围.

【详解】

解：由已知得，即,对于上恒成立，

∴，

故选：D.

【点睛】

本题考查导数与函数的单调性的关系，涉及三角函数的性质，不等式恒成立问题，属基础题.

7．（2021·全国高二期末）已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断与、与，及其与0的大小关系.

【详解】

由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：，而，

故选：B.

8．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得m的取值范围.

【详解】

函数在上无极值在上无变号零点，故选D.

9．（2021·江西赣州市·高二期末（理））函数的图象如图所示，其导函数为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

首先根据函数图象判断的单调区间，进而得到或时，；时，，然后将转化为或，解不等式组即可.

【详解】

由函数的图象可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

所以或时，；时，，

又因为或，

解得：或，

故选：C.

10．（2021·云南昆明市·昆明一中高二期末（理））已知定义在上的函数满足：函数为奇函数，且对，恒成立（是函数的导函数），则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

构造函数，根据对，恒成立，得到在上单调递减，再根据函数为奇函数，得到，然后将转化为，利用单调性定义求解.

【详解】

因为函数为奇函数，所以，

令，则，

因为对，恒成立，所以，

所以，对单调递减，又不等式即，

即，所以，

故选：A

11．（2021·四川雅安市·雅安中学高二期中（理））函数在[1，＋∞)单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A．(0，2] B．(2，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，2)

【答案】C

【分析】

由题意，在上恒成立，再参变分离转化为，即求的最小值，可得的范围.

【详解】

由题意得，在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为在的最小值为2，

所以.

故选：C

12．（2021·江西赣州市·高二期末（理））若不等式恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，，研究函数的单调性，利用数形结合及分类讨论进行转化求解即可．

【详解】

由题意知：，所以，

当时，不等式的解集为，不合题意；

令，，则，

所以在单调递减，在单调递增.

当时，，的大致图像如图：

由图可得满足的整数解只有一个，即，所以不合题意；

当时，，的大致图像如图：

由图可得若满足的整数解恰好有两个，则应该为和，

所以，代入得，解得，

，

故选：．

【点睛】

方法点睛：利用转化思想将问题转化为研究两个函数与的图像问题，利用导函数研究函数的单调性，数形结合进行分析求解．

二、填空题

13．（2021·江西赣州市·高二期末（理））函数在处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】

利用导数的几何意义求切线的斜率，然后根据直线方程的点斜式写出切线方程.

【详解】

因为，所以，

所以，，

所以切线方程为，即.

故答案为：.

14．（2021·天津高二期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】

首先求出函数的导函数，依题意在恒成立，参变分离，即在恒成立，令，利用导数说明其单调性，即可求出其最大值，即可得解；

【详解】

解：因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在恒成立，

即在恒成立，

令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以

所以，即

故答案为：

15．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】

采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.

【详解】

令，则，

令，则由知，

在上单调递减，在上单调递增，

且，，.

，，，

作出函数的图像，如下图所示：

所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.

故答案为：.

16．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】

首先根据题意得到是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.

【详解】

因为，，

所以，所以是偶函数.

因为

当时，，所以在上单调递增.

又因为是偶函数，所以在上单调递减.

所以，即，

所以，即，解得或.

故答案为：.