2021学年第26章 解直角三角形综合与测试达标测试

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第26章解直角三角形》同步达标测评（附答案）

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（　　）

A． B． C． D．

2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　）

A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° 

C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°

3．若∠α为锐角，且tanα是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（　　）

A．1 B． C． D．

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝（　　）

A． B． C． D．

5．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（　　）

A．70° B．60° C．50° D．30°

6．下面四个数中，最大的是（　　）

A． B．sin88° C．tan46° D．

7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tanA＝，则BC的长是（　　）

A．2 B．8 C．2 D．4

8．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°

9．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ 

C．atanα+atanβ D．+

10．如图，要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离，可以在小河边PA的垂线PB上取一点C．测得PC＝80米，∠PCA＝32°，则PA的长为（　　）

A．80sin32°米 B．80tan32°米 C．米 D．米

二．填空题（共5小题，满分30分）

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝8，sinA＝，则AC＝　 　．

12．若锐角α满足sinα≥cosα，则α的取值范围是　          　．

13．如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝　   　度．

14．在△ABC中，sinB＝cos（90°﹣C）＝，则∠A的大小是　     　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分60分）

16．计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°．

17．计算：

18．在锐角三角形ABC中，已知AB＝8，AC＝10，△ABC的面积为20，求∠A的余弦值．

19．磬是我国古代的一种打击乐器和礼器（如图），据先秦文献《吕氏春秋•古乐篇》记载：尧命击磬“以象上帝”“以致舞百兽”，描绘出一幅古老的原始社会的乐舞生活场景．20世纪70年代在山西夏县出土了一件大石磬，上部有一穿孔，击之声音悦耳，经测定，此磬据今约4000年，属于夏代的遗存，这是迄今发现最早的磬的实物．从正面看磬是一个多边形图案（如图2），已知MN为地面，测得AB＝30厘米，BC＝20厘米，∠BCN＝60°，∠ABC＝95°，求磬的最高点A到地面MN的高度h．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，≈1.73，结果保留一位小数）

20．步行是全世界公认的有效、科学的健身方法．为了方便市民步行健身，某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡AB改造成AC．已知原坡角∠ABD＝30°，改造后的斜坡AC的坡度为1：3，BC＝30米，求原斜坡AB的长．（精确到0.1米，参考数据：≈1.732）

21．如图，在笔直的公路AB上观察点C，在A点观察是北偏东60°，在B点观察是北偏西45°，已知A、B两点距离为10千米，求点C到AB的最短距离．（结果保留根号）

22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．

23．如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．

（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）

参考答案

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．解：A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴sinA＝＝，故A不合题意；

B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，

∴∠A＝∠COD，

∴sinA＝sin∠COD＝，故B不合题意；

C、无法得出sinA＝，符合题意；

D、∵∠BOE＝∠COD，

∴∠A＝∠BOE，

∴sinA＝sin∠BOE＝，故D不合题意；

​​​​​​​故选：C．

2．解：∵sin30°＝cos60°，

又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，

∴cos16°＞cos43°＞sin30°．

故选：C．

3．解：解方程x2﹣2x﹣3＝0，得

x＝﹣1或x＝3．

∵tana＞0，

∴tana＝3．

设α所在的直角三角形的对边是3，则邻边是1．

根据勾股定理，得斜边是．

所以sinα＝．

故选：D．

4．解：如图所示：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，

∴sinB＝＝．

故选：A．

5．解：∵sin（α﹣10°）＝，

∴α﹣10°＝60°，

∴α＝70°．

故选：A．

6．解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；

B、sin88°≈0.999；

C、tan46°≈1.036；

D、≈≈0.568．

故tan46°最大，

故选：C．

7．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tanA＝，

∴设BC＝a，则AC＝2a，

∴，

解得，a＝2或a＝﹣2（舍去），

∴BC＝2，

故选：A．

8．解：∵斜坡的坡比为1：，设坡角为α，

∴tanα＝＝，

∴α＝60°．

故选：D．

9．解：∵在Rt△ABC中，

BC＝AB•tanα＝atanα，

在Rt△ABD中，

BD＝AB•tanβ＝atanβ，

∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ．

故选：C．

10．解：由题意得：∠APC＝90°，

在Rt△APC中，PC＝80米，∠PCA＝32°，

∵tan∠PCA＝，

∴PA＝PC•tan∠PCA＝80tan32°（米）；

故选：B．

二．填空题（共5小题，满分30分）

11．解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝8，sinA＝，

∴＝＝，

∴AB＝10，

∴AC＝＝6，

故答案为：6．

12．解：∵cosα＝sin（90°﹣α），且sinα随α的增大而增大，

∴由sinα≥cosα，即sinα≥sin（90°﹣α）知α≥90°﹣α，

解得：a≥45°，

又α是锐角，

∴45°≤α＜90°，

故答案为：45°≤α＜90°．

13．解：∵sinα＝cos20°，

∴α＝90°﹣20°＝70°．

故答案为：70．

14．解：∵sinB＝cos（90°﹣C）＝，

∴90°﹣C＝60°，∠B＝30°，

∴∠C＝30°，

∴∠A的大小是：180°﹣30°﹣30°＝120°．

故答案为：120°．

15．解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，

∴AD＝CD＝BD，

∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，

∵AE⊥CD，

∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，

∴∠CAE＝∠B，

∴cot∠CAE＝cotB＝＝＝2，

故答案为：2．

三．解答题（共8小题，满分60分）

16．解：sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°

＝（sin2l°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin244°+sin246°）+sin245°

＝1+1+…+1+0.5

＝44.5．

17．解：原式＝

＝

＝

＝3+2．

18．解：过点B点作BD⊥AC于点D，

∵AC•BD＝20，

∴BD＝4，

由勾股定理得AD＝4，

所以cosA＝＝

19．解：过A作AG⊥MN于点G，过点B作BH⊥AG于点H，作BK⊥MN于点K，

∵BC＝20厘米，∠BCN＝60°，

∴HG＝BK＝BC•sin60°＝20×＝10≈17.3（厘米），∠HBC＝∠BCK＝60°，

∵∠ABC＝95°，

∴∠ABH＝95°﹣60°＝35°，

∴∠BAH＝55°，

∵AB＝30厘米，

∴AH＝AB•cos55°＝30×0.57＝17.1（厘米），

∴h＝AG＝AH+HG＝17.3+17.1＝34.4（厘米）．

答：磬的最高点A到地面MN的高度h为34.4cm．

20．解：设AD＝x米，

在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，

∴AB＝2AD＝2x，

∴BD＝＝x，

∵斜坡AC的坡度为1：3，

∴CD＝3AD＝3x，

由题意得，3x﹣x＝30，

解得，x＝15+5，

则AB＝2x＝30+10≈47.3，

答：原斜坡AB的长约为47.3米．

21．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，

∴BD＝CD，

在Rt△CAD中，tan∠ACD＝，

∴AD＝CD•tan∠ACD＝CD，

由题意得，CD+CD＝10，

解得，CD＝5﹣5，

答：点C到AB的最短距离为（5﹣5）千米．

22．解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，

∴∠C＝∠ANM＝90°，

又∵∠A＝∠A，

∴△AMN∽△ABC，

∴＝＝，

设AC＝3x，AB＝4x，

由勾股定理得：BC＝＝x，

在Rt△ABC中，cosB＝＝＝．

23．解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，

则四边形EHGB是矩形，

∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，

∴设EH＝5x，DH＝12x，

∵EH2+DH2＝DE2，

∴（5x）2+（12x）2＝132，

∴x＝1，

∴EH＝5，DH＝12，

∵EB∥DC，

∴∠ABE＝∠AGH＝90°，

∵∠AEB＝45°，

∴AB＝BE，

∴HG＝AB，

∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，

∵∠F＝31°，

∴tanF＝tan31°＝＝＝0.6，

∴AB＝13米，

答：铁塔AB的高度是13米．