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初中数学25.4 相似三角形的判定优秀达标测试
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这是一份初中数学25.4 相似三角形的判定优秀达标测试，共24页。
2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在△ABC和△A'B'C'中，有下列条件：①＝，②＝，③∠A＝∠A′，④∠C＝∠C'，如果从中任取两个条件组成一组，能判断△ABC∽△A'B'C'的共有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（ ）
A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF
3．如图，AB⊥BD，PD⊥BD，垂足分别为点B，D，点C是线段BD上的动点，点E是射线DP上的动点，增加下列条件，不能得到△ABC与△CDE相似的是（ ）
A．∠A＝∠ECD B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
9．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，CE、BF是锐角△ABC两边AB、AC上的高，它们交于点D，图中共有几对相似三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为 ．
12．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①∠A＝∠BHE；②△BHE≌△DCE；③△BHE∽△GAB；④△BHD∽△BDG；其中正确的结论是 （只填写正确的序号）．
13．已知三角形纸片（△ABC）中，如图，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形折叠，使点B落在射线CA上，记为点B'，折痕为EF，点E、F分别在边AB和BC上，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有 对．
15．已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝9当BD 时，△ABD∽△DBC．
16．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为 秒．
17．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PS⊥AC于S，PR⊥AB于R，则以下结论中：（1）AS＝AR；（2）△BRP∽△QSP；（3）PQ∥AB中，正确的有 ．（填序号）
18．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△ABE∽△ACD；②△AED≌△AEF；③BE＜EF﹣DC；④BE2+DC2＝DE2．
其中正确的选项是： （填序号）．
19．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
20．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，点P从A点出发，以2cm/S的速度沿AB方向向B运动，同时点Q从C点出发，以1cm/S的速度沿CA方向向点A运动，当一点到达终止，当一点也停止，连接PQ．设运动时间为ts，当t＝ S时，△ABC与△APQ相似．
三．解答题（共10小题，满分60分）
21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA向终点A运动速度为5cm/s，一个点到达终点时另一个点也随之停止．设它们运动的时间为x（s），请求出x为何值时，△EFC和△ACD相似．
22．如图，在正方形ABCD中，P是AB边上的一个动点（P与A，B均不重合），将线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点M，过点E作EF⊥AB的延长线于点F，连接DM，CF．
（1）求证：CF＝PE且CF⊥PE；
（2）当点P在何处时，△MDP∽△MPB？请说明理由．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？
（2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
24．如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；
（1）求AE的长．
（2）求证：△ADE∽△DFE．
25．已知：点E为AB边上的一个动点．
（1）如图1，若△ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边△DEC，连接AD．试比较∠DAC与∠B的大小，并说明理由；
（2）如图2，若△ABC中，AB＝AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰△DEC，且△DEC∽△ABC，连接AD．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
26．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为AB，BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设点P，Q移动的时间为t秒．△PBQ能否与△ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．
（1）求证：△BAD∽△CAD；
（2）若点O是AC边上一点，连接BO交AD于E，OF⊥OB交BC边于点F，求证：△ABE∽△COF．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，向终点C边以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着终点B边以2cm/s的速度运动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
（1）如果P与Q同时出发，经过多少秒后，可以使△PQC的面积为Rt△ABC面积的三分之一．
（2）如果P与Q同时出发，经过多少秒后，可以使△PQC和△ABC相似．
29．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米．点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积．
（3）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
30．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC分别交AC、BC于点E和F
（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；
（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；
（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有：①②，②④，③④，
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
故选：C．
2．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAF，
∴△ABD∽△AEF．
故选：D．
3．解：∵AB⊥BD，PD⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
A、∵∠A＝∠ECD，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△EDC，
故A选项不合题意，
B、∵，
∴△ACB∽△ECD，
故B选项不合题意，
C、∵，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
故C选项不合题意，
若，不能判定△ABC与△CDE相似，
故选：D．
4．解：在△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝，
选项A中三角形三边为1，，，而≠，所以A选项中的三角形与△ABC不相似；
选项B中三角形三边为1，，2，而≠，所以B选项中的三角形与△ABC不相似；
选项C中三角形三边为1，，，因为＝＝，所以C选项中的三角形与△ABC相似；
选项D中三角形三边为，，，而≠，所以D选项中的三角形与△ABC不相似．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM＝∠DCA，∠MGC＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∴∠CMG＝∠CFB，
∵CD∥AB，
∴∠CMG＝∠ABG，
∴∠CFB＝∠ABG，
又∵∠CAB＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；
∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°，
∴∠ABF+∠CBG＝45°，
∴∠ABF≠∠CBG，
∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意；
故选：D．
6．解：设运动时间为t秒．
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，
即＝，
解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，
即＝，
解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE，
∴CE2＝AB•CF．
∵AB＝2CE，
∴CF＝，
故②正确，③错误，
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝，．
∴，
∵∠ABE＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
故选：B．
8．解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，且∠APD＝∠B+∠PFB＝∠APC+∠CPD，
∴∠APC＝∠BFP，且∠A＝∠B，
∴△APG∽△BFP，故选项C不合题意，
∵∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD，故选项B不合题意，
∵∠B＝∠CPD，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP，故选项D不合题意，
由条件无法证明△CGE∽△CBP，
故选项A符合题意，
故选：A．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，
由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，
则△EDC∽△CBF，
故图中相似的三角形有3对．
故选：B．
10．解：图中有△ABF∽△ACE，△BDE∽△CDF，△CDF∽△ACE，△CDF∽△ABF，△BDE∽△BFA，△BDE∽△CAE，6对三角形相似．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．解：设AP＝x．
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝3．
②当时，，解得x＝1或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为1或3或8．
12．解：∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠DEC＝∠HFD＝90°，
∴∠DHF+∠EDC＝90°，∠EDC+∠C＝90°，
∴∠DHF＝∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠DHF＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，
故①正确；
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
故②正确；
∵∠A＝∠BHE，∠G＝∠HBE，
∴△BHE∽△GAB，
故③正确；
在△BHD和△BDG中，∠DBH＝∠DBG，而∠G＝∠CBH＜∠BCD，
∴∠BDH≠∠G，
故△BHD与△BDG不相似，
故④错误．
故答案为①②③．
13．解：由题意得：BF＝B′F，∠C＝∠C，
若＝＝，
则△CB′F∽△CAB，
设BF＝x，则FC＝BC﹣BF＝8﹣x，
∴＝，
解得：x＝；
若＝＝，
则△CB′F∽△CBA，
设BF＝y，则FC＝BC﹣BF＝8﹣y，
∴＝，
解得：y＝4．
∵此时CB′＝6.4，
即点B′在射线AC上；
∴BF的长为或4．
故答案为：或4．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABG∽△FHG，△ABE∽△DHE∽△CHB，
∴图中的相似三角形共有4对．
故答案为：4．
15．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴，
∵AB＝4，BC＝9，
∴，
解得BD＝6；
故答案为：6．
16．解：当△ACD∽△MNA时，
则，即，
∴36﹣12t＝3t．
∴t＝2.4秒．
当△ACD∽△NMA时，则，即．
∴6t＝18﹣6t．
∴t＝1.5秒．
答：以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为2.4秒或1.5秒．
故答案为2.4或1.5．
17．解：∵PS⊥AC于S，PR⊥AB于R，
∴∠PRA＝∠PSA＝90°．
又PS＝PR，AP＝AP，
∴△APR≌△APS．
∴AS＝AR．故①正确；
∵△APR≌△APS，
∴∠PAQ＝∠PAR．
∵AQ＝PA，
∴∠PAQ＝∠APQ，
∴∠PAQ＝∠PAR，
∴PQ∥AB．故③正确；
∵PQ∥AB，
∴∠PQS＝∠BAC，而∠BAC和∠B不一定相等，故②错误．
所以正确的结论是：①③．
18．解：∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠BAF＝CAD，AF＝AD，BF＝CD，∠ABF＝∠C＝45°，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAD，∠EBF＝90°，
∴△AED≌△AEF，BE2+BF2＝EF2，BE＞EF﹣BF，
∴BE2+DC2＝DE2；
∴BE＞EF﹣DC．
∴正确的选项是：②④．
19．解：∵正方形ABCD边长是2
∴BE＝CE＝1，∠B＝∠D＝90°
∴在Rt△ABE中，AE＝＝
第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN＝AB：DM，即：1＝2：DM，∴DM＝；
第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN＝BE：DM，即：1＝1：DM，∴DM＝．
所以DM＝或．
20．解：根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（5﹣t）cm，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当时，，
解得：t＝；
②当时，，
解得：t＝；
综上所述：t＝s或s时，△ABC与△APQ相似；
故答案为：或．
三．解答题（共10小题）
21．解：（1）如图1中，
点F在AC上，点E在BD上时，
①当时，△CFE∽△CDA，
∴，
∴t＝，
②当时，即，
∴t＝2，
当点F在AC上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，
综上所述，t＝s或2s时，△EFC和△ACD相似．
22．解：（1）证明：在正方形ABCD中，P在边AB上，且∠DPE＝∠A＝90°，
∴∠APD+∠ADP＝∠APD+∠FPE＝90°，
∴∠ADP＝∠FPE，
∵EF⊥AB，
∴∠PFE＝∠A＝90°，
在△PEF和△DPA中，
，
∴△PEF≌△DPA（AAS），
∴PF＝AD＝AB＝DC，
又AF∥CD，
∴四边形PFCD是平行四边形，
∴CF＝PD＝PE，CF∥PD，
∵DP⊥PE，
∴CF⊥PE．
（2）当点P是AB的中点时，△MDP∽△MPB．
理由：∵△MDP∽△MPB，
∴，
∵∠ADP＝∠BPM，∠A＝∠PBM，
∴△PDA∽△MPB，
∴，
∴，
∴PA＝PB，
即点P是边AB的中点，
∴当点P恰好是AB边的中点时，△MDP∽△MPB．
23．解：（1）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t．
∴S△PBQ＝PB•BQ
＝ （6﹣t）•2t
＝﹣t2+6t，
由题意得﹣t2+6t＝9，
解得t1＝t2＝3，
所以运动时间t为3s；
（2）若当△PBQ∽△ABC时，＝．
即＝，
解得t＝；
当△PBQ∽△CBA时，＝．
即＝，
解得t＝．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是或．
24．（1）解：∵∠C＝∠EDF，∠C+∠CFD+∠CDF＝180°，∠EDF+∠ADE+∠CDF＝180°，
∴∠ADE＝∠CFD，
∵∠C＝∠A，
∴△ADE∽△CFD，
∴，
∵CF＝4，CD＝AD＝6，
∴，
∴AE＝9．
（2）证明：∵AE＝9，AD＝6，
∴，
∵△ADE∽△CFD，
∴，
∴，
∵∠A＝∠EDF，
∴△ADE∽△DFE．
25．解：（1）∠DAC＝∠B．
理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD．
在△BEC和△ADC中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠B＝∠DAC．
（2）AD∥BC．
理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，
且△DEC∽△ABC，
∴＝．
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCA＝∠ECB，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠EBC＝∠ACB，
∴AD∥BC．
26．解：能，
理由：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴BP＝5﹣t，BQ＝t．
当△PBQ∽△ABC时，，即 ，
解得t＝（秒）；
当△PBQ∽△CBA时，＝，即＝，
解得t＝（秒），
即：△PBQ与直角三角形ABC相似时，t的值为秒或秒．
27．（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝∠CBA，
∵AD⊥BC，
∴∠CDA＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△BAD∽△CAD；
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，
∵OF⊥OB，
∴∠BOA+∠COF＝90°，
∵∠BOA+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠COF，
∴△ABE∽△COF．
28．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴＝＝24（cm2），
∵△PQC的面积为Rt△ABC面积的三分之一，
∴△PCQ的面积为8cm2，
设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x）•2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的三分之一．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，，
即，
解得：t＝．
当△PCQ∽△BCA时，，
即，
解得：t＝．
综上所述，经过秒或秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
29．解：（1）∵AB＝12厘米，BC＝6厘米，
∴t秒时，DQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，
∵∠QAP＝90°，
∴当AQ＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，
即6﹣t＝2t，
解得t＝2；
（2）由题得：t秒时，DQ＝t，AP＝2t，则BP＝12﹣2t，
∴S四边形QAPC＝S矩形ABCD﹣S△DQC﹣S△PBC
＝．
（3）由题可得：t秒时，DQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，
∵∠QAP＝∠ABC＝90°，
∴当或，△QAP与△ABC相似，
当时，即，
解得t＝1.2（秒）；
当时，即，
解得t＝3（秒）．
故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．
30．（1）证明：∵DE‖BC，DF‖AC，
∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，
∴△ADE∽△DBF；
（2）解：设DE＝x，
∵四边形DECF是菱形，
∴DE＝DF＝CF＝CE＝x，
∴AE＝5﹣x，BF＝6﹣x，
∵△ADE∽△DBF，
∴＝，即＝，解得x＝，
即DE的长为；
（3）解：设AD＝AE＝t，则CE＝5﹣t，
∵DE‖BC，DF‖AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DF＝CE＝5﹣t，DE＝CF，
∵DE∥BC，
∵＝，即＝，则DE＝t，
∴CF＝t，
∴BF＝6﹣t，
∵∠EDF＝∠BFD，
∴当＝，△EDF∽△BFD，即BF＝DE，6﹣t＝t，解得t＝；
当＝，△EDF∽△DFB，即＝，解得t＝5（舍去）或t＝，
综上所述，AD的长为或．
2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在△ABC和△A'B'C'中，有下列条件：①＝，②＝，③∠A＝∠A′，④∠C＝∠C'，如果从中任取两个条件组成一组，能判断△ABC∽△A'B'C'的共有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（ ）
A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF
3．如图，AB⊥BD，PD⊥BD，垂足分别为点B，D，点C是线段BD上的动点，点E是射线DP上的动点，增加下列条件，不能得到△ABC与△CDE相似的是（ ）
A．∠A＝∠ECD B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
9．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，CE、BF是锐角△ABC两边AB、AC上的高，它们交于点D，图中共有几对相似三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为 ．
12．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①∠A＝∠BHE；②△BHE≌△DCE；③△BHE∽△GAB；④△BHD∽△BDG；其中正确的结论是 （只填写正确的序号）．
13．已知三角形纸片（△ABC）中，如图，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形折叠，使点B落在射线CA上，记为点B'，折痕为EF，点E、F分别在边AB和BC上，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有 对．
15．已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝9当BD 时，△ABD∽△DBC．
16．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为 秒．
17．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PS⊥AC于S，PR⊥AB于R，则以下结论中：（1）AS＝AR；（2）△BRP∽△QSP；（3）PQ∥AB中，正确的有 ．（填序号）
18．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△ABE∽△ACD；②△AED≌△AEF；③BE＜EF﹣DC；④BE2+DC2＝DE2．
其中正确的选项是： （填序号）．
19．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
20．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，点P从A点出发，以2cm/S的速度沿AB方向向B运动，同时点Q从C点出发，以1cm/S的速度沿CA方向向点A运动，当一点到达终止，当一点也停止，连接PQ．设运动时间为ts，当t＝ S时，△ABC与△APQ相似．
三．解答题（共10小题，满分60分）
21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA向终点A运动速度为5cm/s，一个点到达终点时另一个点也随之停止．设它们运动的时间为x（s），请求出x为何值时，△EFC和△ACD相似．
22．如图，在正方形ABCD中，P是AB边上的一个动点（P与A，B均不重合），将线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点M，过点E作EF⊥AB的延长线于点F，连接DM，CF．
（1）求证：CF＝PE且CF⊥PE；
（2）当点P在何处时，△MDP∽△MPB？请说明理由．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？
（2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
24．如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；
（1）求AE的长．
（2）求证：△ADE∽△DFE．
25．已知：点E为AB边上的一个动点．
（1）如图1，若△ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边△DEC，连接AD．试比较∠DAC与∠B的大小，并说明理由；
（2）如图2，若△ABC中，AB＝AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰△DEC，且△DEC∽△ABC，连接AD．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
26．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为AB，BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设点P，Q移动的时间为t秒．△PBQ能否与△ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．
（1）求证：△BAD∽△CAD；
（2）若点O是AC边上一点，连接BO交AD于E，OF⊥OB交BC边于点F，求证：△ABE∽△COF．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，向终点C边以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着终点B边以2cm/s的速度运动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
（1）如果P与Q同时出发，经过多少秒后，可以使△PQC的面积为Rt△ABC面积的三分之一．
（2）如果P与Q同时出发，经过多少秒后，可以使△PQC和△ABC相似．
29．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米．点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积．
（3）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
30．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC分别交AC、BC于点E和F
（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；
（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；
（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有：①②，②④，③④，
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
故选：C．
2．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAF，
∴△ABD∽△AEF．
故选：D．
3．解：∵AB⊥BD，PD⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
A、∵∠A＝∠ECD，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△EDC，
故A选项不合题意，
B、∵，
∴△ACB∽△ECD，
故B选项不合题意，
C、∵，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
故C选项不合题意，
若，不能判定△ABC与△CDE相似，
故选：D．
4．解：在△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝，
选项A中三角形三边为1，，，而≠，所以A选项中的三角形与△ABC不相似；
选项B中三角形三边为1，，2，而≠，所以B选项中的三角形与△ABC不相似；
选项C中三角形三边为1，，，因为＝＝，所以C选项中的三角形与△ABC相似；
选项D中三角形三边为，，，而≠，所以D选项中的三角形与△ABC不相似．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM＝∠DCA，∠MGC＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∴∠CMG＝∠CFB，
∵CD∥AB，
∴∠CMG＝∠ABG，
∴∠CFB＝∠ABG，
又∵∠CAB＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；
∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°，
∴∠ABF+∠CBG＝45°，
∴∠ABF≠∠CBG，
∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意；
故选：D．
6．解：设运动时间为t秒．
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，
即＝，
解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，
即＝，
解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴，
∵BE＝CE，
∴CE2＝AB•CF．
∵AB＝2CE，
∴CF＝，
故②正确，③错误，
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝，．
∴，
∵∠ABE＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
故选：B．
8．解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，且∠APD＝∠B+∠PFB＝∠APC+∠CPD，
∴∠APC＝∠BFP，且∠A＝∠B，
∴△APG∽△BFP，故选项C不合题意，
∵∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD，故选项B不合题意，
∵∠B＝∠CPD，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP，故选项D不合题意，
由条件无法证明△CGE∽△CBP，
故选项A符合题意，
故选：A．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，
由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，
则△EDC∽△CBF，
故图中相似的三角形有3对．
故选：B．
10．解：图中有△ABF∽△ACE，△BDE∽△CDF，△CDF∽△ACE，△CDF∽△ABF，△BDE∽△BFA，△BDE∽△CAE，6对三角形相似．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．解：设AP＝x．
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝3．
②当时，，解得x＝1或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为1或3或8．
12．解：∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠DEC＝∠HFD＝90°，
∴∠DHF+∠EDC＝90°，∠EDC+∠C＝90°，
∴∠DHF＝∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠DHF＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，
故①正确；
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
故②正确；
∵∠A＝∠BHE，∠G＝∠HBE，
∴△BHE∽△GAB，
故③正确；
在△BHD和△BDG中，∠DBH＝∠DBG，而∠G＝∠CBH＜∠BCD，
∴∠BDH≠∠G，
故△BHD与△BDG不相似，
故④错误．
故答案为①②③．
13．解：由题意得：BF＝B′F，∠C＝∠C，
若＝＝，
则△CB′F∽△CAB，
设BF＝x，则FC＝BC﹣BF＝8﹣x，
∴＝，
解得：x＝；
若＝＝，
则△CB′F∽△CBA，
设BF＝y，则FC＝BC﹣BF＝8﹣y，
∴＝，
解得：y＝4．
∵此时CB′＝6.4，
即点B′在射线AC上；
∴BF的长为或4．
故答案为：或4．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABG∽△FHG，△ABE∽△DHE∽△CHB，
∴图中的相似三角形共有4对．
故答案为：4．
15．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴，
∵AB＝4，BC＝9，
∴，
解得BD＝6；
故答案为：6．
16．解：当△ACD∽△MNA时，
则，即，
∴36﹣12t＝3t．
∴t＝2.4秒．
当△ACD∽△NMA时，则，即．
∴6t＝18﹣6t．
∴t＝1.5秒．
答：以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为2.4秒或1.5秒．
故答案为2.4或1.5．
17．解：∵PS⊥AC于S，PR⊥AB于R，
∴∠PRA＝∠PSA＝90°．
又PS＝PR，AP＝AP，
∴△APR≌△APS．
∴AS＝AR．故①正确；
∵△APR≌△APS，
∴∠PAQ＝∠PAR．
∵AQ＝PA，
∴∠PAQ＝∠APQ，
∴∠PAQ＝∠PAR，
∴PQ∥AB．故③正确；
∵PQ∥AB，
∴∠PQS＝∠BAC，而∠BAC和∠B不一定相等，故②错误．
所以正确的结论是：①③．
18．解：∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠BAF＝CAD，AF＝AD，BF＝CD，∠ABF＝∠C＝45°，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAD，∠EBF＝90°，
∴△AED≌△AEF，BE2+BF2＝EF2，BE＞EF﹣BF，
∴BE2+DC2＝DE2；
∴BE＞EF﹣DC．
∴正确的选项是：②④．
19．解：∵正方形ABCD边长是2
∴BE＝CE＝1，∠B＝∠D＝90°
∴在Rt△ABE中，AE＝＝
第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN＝AB：DM，即：1＝2：DM，∴DM＝；
第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN＝BE：DM，即：1＝1：DM，∴DM＝．
所以DM＝或．
20．解：根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（5﹣t）cm，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当时，，
解得：t＝；
②当时，，
解得：t＝；
综上所述：t＝s或s时，△ABC与△APQ相似；
故答案为：或．
三．解答题（共10小题）
21．解：（1）如图1中，
点F在AC上，点E在BD上时，
①当时，△CFE∽△CDA，
∴，
∴t＝，
②当时，即，
∴t＝2，
当点F在AC上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，
综上所述，t＝s或2s时，△EFC和△ACD相似．
22．解：（1）证明：在正方形ABCD中，P在边AB上，且∠DPE＝∠A＝90°，
∴∠APD+∠ADP＝∠APD+∠FPE＝90°，
∴∠ADP＝∠FPE，
∵EF⊥AB，
∴∠PFE＝∠A＝90°，
在△PEF和△DPA中，
，
∴△PEF≌△DPA（AAS），
∴PF＝AD＝AB＝DC，
又AF∥CD，
∴四边形PFCD是平行四边形，
∴CF＝PD＝PE，CF∥PD，
∵DP⊥PE，
∴CF⊥PE．
（2）当点P是AB的中点时，△MDP∽△MPB．
理由：∵△MDP∽△MPB，
∴，
∵∠ADP＝∠BPM，∠A＝∠PBM，
∴△PDA∽△MPB，
∴，
∴，
∴PA＝PB，
即点P是边AB的中点，
∴当点P恰好是AB边的中点时，△MDP∽△MPB．
23．解：（1）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t．
∴S△PBQ＝PB•BQ
＝ （6﹣t）•2t
＝﹣t2+6t，
由题意得﹣t2+6t＝9，
解得t1＝t2＝3，
所以运动时间t为3s；
（2）若当△PBQ∽△ABC时，＝．
即＝，
解得t＝；
当△PBQ∽△CBA时，＝．
即＝，
解得t＝．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是或．
24．（1）解：∵∠C＝∠EDF，∠C+∠CFD+∠CDF＝180°，∠EDF+∠ADE+∠CDF＝180°，
∴∠ADE＝∠CFD，
∵∠C＝∠A，
∴△ADE∽△CFD，
∴，
∵CF＝4，CD＝AD＝6，
∴，
∴AE＝9．
（2）证明：∵AE＝9，AD＝6，
∴，
∵△ADE∽△CFD，
∴，
∴，
∵∠A＝∠EDF，
∴△ADE∽△DFE．
25．解：（1）∠DAC＝∠B．
理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD．
在△BEC和△ADC中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠B＝∠DAC．
（2）AD∥BC．
理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，
且△DEC∽△ABC，
∴＝．
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCA＝∠ECB，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠EBC＝∠ACB，
∴AD∥BC．
26．解：能，
理由：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴BP＝5﹣t，BQ＝t．
当△PBQ∽△ABC时，，即 ，
解得t＝（秒）；
当△PBQ∽△CBA时，＝，即＝，
解得t＝（秒），
即：△PBQ与直角三角形ABC相似时，t的值为秒或秒．
27．（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝∠CBA，
∵AD⊥BC，
∴∠CDA＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△BAD∽△CAD；
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，
∵OF⊥OB，
∴∠BOA+∠COF＝90°，
∵∠BOA+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠COF，
∴△ABE∽△COF．
28．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴＝＝24（cm2），
∵△PQC的面积为Rt△ABC面积的三分之一，
∴△PCQ的面积为8cm2，
设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x）•2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的三分之一．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，，
即，
解得：t＝．
当△PCQ∽△BCA时，，
即，
解得：t＝．
综上所述，经过秒或秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
29．解：（1）∵AB＝12厘米，BC＝6厘米，
∴t秒时，DQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，
∵∠QAP＝90°，
∴当AQ＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，
即6﹣t＝2t，
解得t＝2；
（2）由题得：t秒时，DQ＝t，AP＝2t，则BP＝12﹣2t，
∴S四边形QAPC＝S矩形ABCD﹣S△DQC﹣S△PBC
＝．
（3）由题可得：t秒时，DQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，
∵∠QAP＝∠ABC＝90°，
∴当或，△QAP与△ABC相似，
当时，即，
解得t＝1.2（秒）；
当时，即，
解得t＝3（秒）．
故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．
30．（1）证明：∵DE‖BC，DF‖AC，
∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，
∴△ADE∽△DBF；
（2）解：设DE＝x，
∵四边形DECF是菱形，
∴DE＝DF＝CF＝CE＝x，
∴AE＝5﹣x，BF＝6﹣x，
∵△ADE∽△DBF，
∴＝，即＝，解得x＝，
即DE的长为；
（3）解：设AD＝AE＝t，则CE＝5﹣t，
∵DE‖BC，DF‖AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DF＝CE＝5﹣t，DE＝CF，
∵DE∥BC，
∵＝，即＝，则DE＝t，
∴CF＝t，
∴BF＝6﹣t，
∵∠EDF＝∠BFD，
∴当＝，△EDF∽△BFD，即BF＝DE，6﹣t＝t，解得t＝；
当＝，△EDF∽△DFB，即＝，解得t＝5（舍去）或t＝，
综上所述，AD的长为或．
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