还剩20页未读，
继续阅读
2021年云南省曲靖市罗平县中考数学二模试卷 解析版
展开
这是一份2021年云南省曲靖市罗平县中考数学二模试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年云南省曲靖市罗平县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）据统计，新冠病毒全球感染总数突破1亿3000万人，死亡超过300万人，其中1亿3000万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.3×107 B．0.13×108 C．1.3×108 D．1.3×109
2．（4分）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列4个数中，是负数的是（ ）
A． B．﹣（﹣3） C． D．
4．（4分）现有4条线段，长度依次是2、5、7、8，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如果正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
6．（4分）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH3nOH B．∁nH2n﹣1OH C．∁nH2n+1OH D．∁nH2nOH
7．（4分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A．6πcm2 B．5πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBn∁nDn的面积是（ ）
A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）使代数式有意义的a的取值范围是 ．
10．（3分）因式分解：3ab2﹣6ab+3a＝ ．
11．（3分）已知，x﹣3＝2021，则（x﹣3）2﹣2021（x﹣3）+1的值为 ．
12．（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A，B的对应点分别为A1、B1，当点A1恰好落在线段AB上时，弧BB1与线段A1B、A1B1围成的阴影部分的面积为 ．
14．（3分）在半径长为的圆中，圆内接△ABC的边AB长为，则∠C的度数为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（6分）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
16．（6分）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠D＝∠AEC，求证：AD＝AE．
17．（8分）某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”．为了让同学们理解这次活动的重要性，珍惜粮食．校学生会在某天午餐后，随机抽查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制了如图所示不完整的统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量为 人，“剩一半左右”所占圆心角的度数为 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供100人用一餐．据此估算，该校15000名学生一餐浪费的食物可以供多少人食用一餐？
18．（6分）为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
19．（7分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏．游戏规则如下：
a．四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；
b．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张；
c．若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．
（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为 ．
（2）求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝kx+3．
（1）求直线BC的解析式和抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值，并指出m的取值范围．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB＝6OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AO＝3，求AC的长度．
22．（9分）某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表
时间t/天
1
3
10
20
日销售量m/件
98
94
80
60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
23．（12分）（1）如图1，矩形ABCD中，点P、Q分别在线段AD、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，连接BP、EQ、PQ交BE于点O．求证：四边形PBQE是菱形；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝3，点P、Q分别在线段AB、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，AE＝，求AP的长；
（3）如图3，有一块矩形空地ABCD，AB＝60m，BC＝80m，点P是一个休息站且在线段AB上，AP＝40m，点Q在线段BC上，现要在点B关于PQ对称的点E处修建一口水井，并且修建水渠AE和CE，以便于在四边形空地AECD上种植花草，余下部分贴上地砖．种植花草的四边形空地AECD的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
2021年云南省曲靖市罗平县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）据统计，新冠病毒全球感染总数突破1亿3000万人，死亡超过300万人，其中1亿3000万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.3×107 B．0.13×108 C．1.3×108 D．1.3×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1亿3000万＝130000000＝1.3×108．
故选：C．
2．（4分）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的定义判断即可．
【解答】解：这个几何体从正面看到的图形是C，
故选：C．
3．（4分）下列4个数中，是负数的是（ ）
A． B．﹣（﹣3） C． D．
【分析】根据绝对值、立方根、相反数、算术平方根、有理数的乘方、负整数指数幂解决此题．
【解答】解：A．根据绝对值以及立方根，＞0，那么是正数，故A不符合题意．
B．根据相反数的定义，﹣（﹣3）＝3＞0，那么﹣（﹣3）是正数，故B不符合题意．
C．根据算术平方根以及有理数的乘方，＝3＞0，那么是正数，故C不符合题意．
D．根据负整数指数幂，＜0，那么是负数，故D符合题意．
故选：D．
4．（4分）现有4条线段，长度依次是2、5、7、8，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有24种等可能的结果，能组成三角形的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有24种等可能的结果，能组成三角形（两边之和大于第三边）的结果有12种，
∴能组成三角形的概率为＝，
故选：A．
5．（4分）如果正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．
【解答】解：360°÷（180°﹣140°）
＝360°÷40°
＝9．
答：这个正多边形的边数是9．
故选：B．
6．（4分）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH3nOH B．∁nH2n﹣1OH C．∁nH2n+1OH D．∁nH2nOH
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an＝2n+1”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝3＝2×1+1，a2＝5＝2×2+1，a3＝7＝2×3+1，…，
∴an＝2n+1．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+1OH．
故选：C．
7．（4分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A．6πcm2 B．5πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2
【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．又已知底面半径可求出母线长以及侧面积、底面积后即可求得其表面积．
【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为2cm，母线长为4cm，
因此侧面面积为2×π×4＝8π（cm2），底面积为π×（2）2＝4π（cm2）．
表面积为8π+4π＝12π（cm2）；
故选：D．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBn∁nDn的面积是（ ）
A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1＝45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
【解答】解：∵直线l为正比例函数y＝x的图象，
∴∠D1OA1＝45°，
∴D1A1＝OA1＝1，
∴正方形A1B1C1D1的面积＝1＝（）1﹣1，
由勾股定理得，OD1＝，D1A2＝，
∴A2B2＝A2O＝，
∴正方形A2B2C2D2的面积＝＝（）2﹣1，
同理，A3D3＝OA3＝，
∴正方形A3B3C3D3的面积＝＝（）3﹣1，
…
由规律可知，正方形AnBn∁nDn的面积＝（）n﹣1，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）使代数式有意义的a的取值范围是 a≥2021 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出a﹣2021≥0且a﹣2020≠0，再求出即可．
【解答】解：要使代数式有意义，必须a﹣2021≥0且a﹣2020≠0，
解得：a≥2021，
故答案为：a≥2021．
10．（3分）因式分解：3ab2﹣6ab+3a＝ 3a（b﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝3a（b2﹣2b+1）
＝3a（b﹣1）2．
故答案为：3a（b﹣1）2．
11．（3分）已知，x﹣3＝2021，则（x﹣3）2﹣2021（x﹣3）+1的值为 1 ．
【分析】将x﹣3＝2021代入计算即可得答案．
【解答】解：∵x﹣3＝2021，
∴（x﹣3）2﹣2021（x﹣3）+1
＝20212﹣2021×2021+1
＝1，
故答案为：1．
12．（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于 ﹣6 ．
【分析】由A、B两点的坐标，可得出△AOB是等腰直角三角形，再根据ABCD是矩形，进而可得出△BEC也是等腰直角三角形，由相似比为2，可求出点C的坐标，从而确定k的值即可．
【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E，
∵A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），
∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BCE，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝＝，
又∵BC＝2AB，
∴BE＝CE＝2，OE＝OB+BE＝1+2＝3，
∴点C（﹣2，3），代入反比例函数关系式得，
k＝﹣2×3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A，B的对应点分别为A1、B1，当点A1恰好落在线段AB上时，弧BB1与线段A1B、A1B1围成的阴影部分的面积为 2π﹣ ．
【分析】解直角三角形求出AB和BC，求出∠ACA1＝60°，可得等边△CA1A，根据面积差得阴影部分的面积．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，∠A＝60°，
由旋转得：CA＝A1C，
∴△CA1A是等边三角形，
∴∠ACA1＝60°，
∴∠A1CB＝30°，
∴∠B1CB＝60°，
∴弧BB1与点A1构成的阴影部分的面积＝S△ABC+S﹣S△ACB﹣S＝S﹣S＝﹣×2×＝2π﹣，
故答案为：2π﹣．
14．（3分）在半径长为的圆中，圆内接△ABC的边AB长为，则∠C的度数为 45°或135° ．
【分析】如图，先判断△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠C＝45°，∠C′＝135°，从而确定圆内接三角形△ABC的内角∠C的度数．
【解答】解：如图，∵OA＝OB＝4，AB＝4，
∴OA2+OB2＝48+48＝96＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝∠AOB＝45°，
∴∠C′＝180°﹣45°＝135°，
即圆内接三角形△ABC的∠C的度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（6分）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【分析】先把分式进行化简，再求出不等式组的解集，取x＝1，代入求出答案即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝﹣，
解不等式组得：﹣2≤x≤2，
∵x+1≠0且x+2≠0且x﹣2≠0，
∴x不能为﹣1，﹣2，2，
即取不等式组的整数解是x＝1，
代入分式得：原式＝﹣＝﹣＝．
16．（6分）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠D＝∠AEC，求证：AD＝AE．
【分析】证明△ABD≌△ACE（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝AE．
【解答】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD＝AE．
17．（8分）某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”．为了让同学们理解这次活动的重要性，珍惜粮食．校学生会在某天午餐后，随机抽查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制了如图所示不完整的统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量为 1000 人，“剩一半左右”所占圆心角的度数为 90° ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供100人用一餐．据此估算，该校15000名学生一餐浪费的食物可以供多少人食用一餐？
【分析】（1）根据样本容量的定义，圆心角＝360°×百分比，求解即可．
（2）求出剩少量的人数，画出条形图即可．
（3）用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）祥本容量：400÷40%＝1000（人），圆心角：90°；
故答案为：1000，90°；
（2）1000﹣400﹣250﹣150＝200（人），
如图所示
（3）（人），
答：据估算，该校15000名学生一餐浪费的食物可以供1500人食用一餐．
18．（6分）为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
【分析】设二班单独整理这批器材需要x分钟，由题意：一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设二班单独整理这批器材需要x分钟．
依题意得：，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
答：二班单独整理这批器材需要60分钟．
19．（7分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏．游戏规则如下：
a．四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；
b．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张；
c．若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．
（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为 ．
（2）求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为＝，
故答案为：；
（2）把“创建”、“为民”、“惠民”分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有8个，
∴欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率为＝．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝kx+3．
（1）求直线BC的解析式和抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值，并指出m的取值范围．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝kx+3中秋出k得到直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再确定C点坐标为（0，3），接着设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线的解析式；
（2）过P点作PE∥y轴交BC于E，如图，设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+3），于是可表示出PE＝﹣m2+3m，利用三角形面积公式得到S＝×PE×OB＝（﹣m2+3m），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝kx+3得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得3＝a×1×（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P点作PE∥y轴交BC于E，如图，
设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+3），
∴PE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴S＝×PE×OB＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），
∵a＝﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值，最大值为．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB＝6OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AO＝3，求AC的长度．
【分析】（1）连接OC，设OB＝OC＝3k，用k表示OC，CD，DO的长，由勾股定理逆定理可证∠OCD＝90°，可证CD是⊙O的切线；
（2）证明△ACB∽△AEC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
设OB＝OC＝3k，
∵BE＝2OE，
∴OE＝k，BE＝2k，
∴．
∵DE＝BD+BE＝AB+BE＝8k，
∴，
∵OC2+DC2＝9k2+72k2，OD2＝81k2，
∴OC2+DC2＝OD2，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AO＝BO＝3，AB＝6OE，
∴OE＝1，BE＝2，AB＝6，
∴AE＝4，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACB∽△AEC，
∴，
∴，
∴．
22．（9分）某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表
时间t/天
1
3
10
20
日销售量m/件
98
94
80
60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标即可求解；
（3）根据销售利润减去捐赠数等于单件利润乘以销售量列出解析式，并结合二次函数的性质和a＜4即可求解．
【解答】解：（1）设日销售量m关于时间t的一次函数为m＝kt+b，
将（1，98）（3，94）代入，得
，解得k＝﹣2，b＝100，
答：m关于t的函数关系式为m＝﹣2t+100．
（2）设日销售利润为w元，根据题意，得
w＝（t+25﹣20）（﹣2t+100）
＝﹣（t﹣15）2+612.5
∵﹣＜0，当t＝15时，w有最大值为612.5，
答：这20天中15天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元．
（3）根据题意，得
w＝（t+25﹣20﹣a）（﹣2t+100）
＝﹣t2+（15+2a）t+100（5﹣a）
∵二次函数开口向下，对称轴是t＝15+2a，
要使每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，
必须15+2a＞19.5，
∴a＞2.25，
又a＜4，
∴2.25＜a＜4
答：a的取值范围是2.25＜a＜4．
23．（12分）（1）如图1，矩形ABCD中，点P、Q分别在线段AD、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，连接BP、EQ、PQ交BE于点O．求证：四边形PBQE是菱形；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝3，点P、Q分别在线段AB、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，AE＝，求AP的长；
（3）如图3，有一块矩形空地ABCD，AB＝60m，BC＝80m，点P是一个休息站且在线段AB上，AP＝40m，点Q在线段BC上，现要在点B关于PQ对称的点E处修建一口水井，并且修建水渠AE和CE，以便于在四边形空地AECD上种植花草，余下部分贴上地砖．种植花草的四边形空地AECD的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明PE＝BQ，又PE∥BQ，推出四边形PBQE是平行四边形，由翻折的性质可知PB＝PE，推出四边形PBQE是菱形．
（2）如图2中，连接PE，由对称知，PB＝PE．设AP＝x，在Rt△APE中，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
（3）连接PE，AC，过点E作EG⊥AC于G，S四边形＝S△ACD+S△ACE＝＝＝2400+50EG，推出当EG最小时，四边形AECD的面积最小，由对称可知，PB＝PE，推出点E是以点P为圆心，PB＝20为半径的一段弧上的一点，推出点P，E，G在同一条线上时，EG最小．
【解答】（1）证明：如图1中，
由对称可知：OB＝OE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EPO＝∠OQB，
∵∠POE＝∠BOQ，
∴△POE≌△QOB（AAS），
∴PE＝BQ，
∵AD∥BC，
∴四边形PBQE是平行四边形，
∵PB＝PE，
∴平行四边形PBQE是菱形．
（2）解：如图2中，连接PE，由对称知，PB＝PE．
设AP＝x，
∴PB＝PE＝3﹣x，
根据勾股定理得，x2+5＝（3﹣x）2，
∴，
∴．
（3）解：如图3中，连接AC，PE，过点E作EG⊥AC于G，
在Rt△ACD中，AD＝80，CD＝60，
∴AC＝＝＝100，
∴S四边形＝S△ACD+S△ACE＝＝＝2400+50EG，
∴EG最小时，四边形AECD的面积最小，
由对称可知，PB＝PE，
∴点E是以点P为圆心，PB＝20为半径的一段弧上的一点，
∴点P，E，G在同一条线上时，EG最小，
∴∠AGP＝∠ABC＝90°，∠PAG＝∠CAB，
∴△PAG∽△CAB，
∴，
∴PG＝32，
∴EG最小＝PG﹣PE＝32﹣20＝12，
∴S四边形AECD最小＝2400+50EG最小＝2400+50×12＝3000（m2）．
2021年云南省曲靖市罗平县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）据统计，新冠病毒全球感染总数突破1亿3000万人，死亡超过300万人，其中1亿3000万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.3×107 B．0.13×108 C．1.3×108 D．1.3×109
2．（4分）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列4个数中，是负数的是（ ）
A． B．﹣（﹣3） C． D．
4．（4分）现有4条线段，长度依次是2、5、7、8，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如果正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
6．（4分）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH3nOH B．∁nH2n﹣1OH C．∁nH2n+1OH D．∁nH2nOH
7．（4分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A．6πcm2 B．5πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBn∁nDn的面积是（ ）
A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）使代数式有意义的a的取值范围是 ．
10．（3分）因式分解：3ab2﹣6ab+3a＝ ．
11．（3分）已知，x﹣3＝2021，则（x﹣3）2﹣2021（x﹣3）+1的值为 ．
12．（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A，B的对应点分别为A1、B1，当点A1恰好落在线段AB上时，弧BB1与线段A1B、A1B1围成的阴影部分的面积为 ．
14．（3分）在半径长为的圆中，圆内接△ABC的边AB长为，则∠C的度数为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（6分）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
16．（6分）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠D＝∠AEC，求证：AD＝AE．
17．（8分）某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”．为了让同学们理解这次活动的重要性，珍惜粮食．校学生会在某天午餐后，随机抽查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制了如图所示不完整的统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量为 人，“剩一半左右”所占圆心角的度数为 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供100人用一餐．据此估算，该校15000名学生一餐浪费的食物可以供多少人食用一餐？
18．（6分）为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
19．（7分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏．游戏规则如下：
a．四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；
b．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张；
c．若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．
（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为 ．
（2）求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝kx+3．
（1）求直线BC的解析式和抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值，并指出m的取值范围．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB＝6OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AO＝3，求AC的长度．
22．（9分）某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表
时间t/天
1
3
10
20
日销售量m/件
98
94
80
60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
23．（12分）（1）如图1，矩形ABCD中，点P、Q分别在线段AD、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，连接BP、EQ、PQ交BE于点O．求证：四边形PBQE是菱形；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝3，点P、Q分别在线段AB、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，AE＝，求AP的长；
（3）如图3，有一块矩形空地ABCD，AB＝60m，BC＝80m，点P是一个休息站且在线段AB上，AP＝40m，点Q在线段BC上，现要在点B关于PQ对称的点E处修建一口水井，并且修建水渠AE和CE，以便于在四边形空地AECD上种植花草，余下部分贴上地砖．种植花草的四边形空地AECD的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
2021年云南省曲靖市罗平县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）据统计，新冠病毒全球感染总数突破1亿3000万人，死亡超过300万人，其中1亿3000万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.3×107 B．0.13×108 C．1.3×108 D．1.3×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1亿3000万＝130000000＝1.3×108．
故选：C．
2．（4分）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的定义判断即可．
【解答】解：这个几何体从正面看到的图形是C，
故选：C．
3．（4分）下列4个数中，是负数的是（ ）
A． B．﹣（﹣3） C． D．
【分析】根据绝对值、立方根、相反数、算术平方根、有理数的乘方、负整数指数幂解决此题．
【解答】解：A．根据绝对值以及立方根，＞0，那么是正数，故A不符合题意．
B．根据相反数的定义，﹣（﹣3）＝3＞0，那么﹣（﹣3）是正数，故B不符合题意．
C．根据算术平方根以及有理数的乘方，＝3＞0，那么是正数，故C不符合题意．
D．根据负整数指数幂，＜0，那么是负数，故D符合题意．
故选：D．
4．（4分）现有4条线段，长度依次是2、5、7、8，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有24种等可能的结果，能组成三角形的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有24种等可能的结果，能组成三角形（两边之和大于第三边）的结果有12种，
∴能组成三角形的概率为＝，
故选：A．
5．（4分）如果正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．
【解答】解：360°÷（180°﹣140°）
＝360°÷40°
＝9．
答：这个正多边形的边数是9．
故选：B．
6．（4分）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH3nOH B．∁nH2n﹣1OH C．∁nH2n+1OH D．∁nH2nOH
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an＝2n+1”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝3＝2×1+1，a2＝5＝2×2+1，a3＝7＝2×3+1，…，
∴an＝2n+1．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+1OH．
故选：C．
7．（4分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A．6πcm2 B．5πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2
【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．又已知底面半径可求出母线长以及侧面积、底面积后即可求得其表面积．
【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为2cm，母线长为4cm，
因此侧面面积为2×π×4＝8π（cm2），底面积为π×（2）2＝4π（cm2）．
表面积为8π+4π＝12π（cm2）；
故选：D．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBn∁nDn的面积是（ ）
A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1＝45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
【解答】解：∵直线l为正比例函数y＝x的图象，
∴∠D1OA1＝45°，
∴D1A1＝OA1＝1，
∴正方形A1B1C1D1的面积＝1＝（）1﹣1，
由勾股定理得，OD1＝，D1A2＝，
∴A2B2＝A2O＝，
∴正方形A2B2C2D2的面积＝＝（）2﹣1，
同理，A3D3＝OA3＝，
∴正方形A3B3C3D3的面积＝＝（）3﹣1，
…
由规律可知，正方形AnBn∁nDn的面积＝（）n﹣1，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）使代数式有意义的a的取值范围是 a≥2021 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出a﹣2021≥0且a﹣2020≠0，再求出即可．
【解答】解：要使代数式有意义，必须a﹣2021≥0且a﹣2020≠0，
解得：a≥2021，
故答案为：a≥2021．
10．（3分）因式分解：3ab2﹣6ab+3a＝ 3a（b﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝3a（b2﹣2b+1）
＝3a（b﹣1）2．
故答案为：3a（b﹣1）2．
11．（3分）已知，x﹣3＝2021，则（x﹣3）2﹣2021（x﹣3）+1的值为 1 ．
【分析】将x﹣3＝2021代入计算即可得答案．
【解答】解：∵x﹣3＝2021，
∴（x﹣3）2﹣2021（x﹣3）+1
＝20212﹣2021×2021+1
＝1，
故答案为：1．
12．（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于 ﹣6 ．
【分析】由A、B两点的坐标，可得出△AOB是等腰直角三角形，再根据ABCD是矩形，进而可得出△BEC也是等腰直角三角形，由相似比为2，可求出点C的坐标，从而确定k的值即可．
【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E，
∵A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），
∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BCE，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝＝，
又∵BC＝2AB，
∴BE＝CE＝2，OE＝OB+BE＝1+2＝3，
∴点C（﹣2，3），代入反比例函数关系式得，
k＝﹣2×3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A，B的对应点分别为A1、B1，当点A1恰好落在线段AB上时，弧BB1与线段A1B、A1B1围成的阴影部分的面积为 2π﹣ ．
【分析】解直角三角形求出AB和BC，求出∠ACA1＝60°，可得等边△CA1A，根据面积差得阴影部分的面积．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，∠A＝60°，
由旋转得：CA＝A1C，
∴△CA1A是等边三角形，
∴∠ACA1＝60°，
∴∠A1CB＝30°，
∴∠B1CB＝60°，
∴弧BB1与点A1构成的阴影部分的面积＝S△ABC+S﹣S△ACB﹣S＝S﹣S＝﹣×2×＝2π﹣，
故答案为：2π﹣．
14．（3分）在半径长为的圆中，圆内接△ABC的边AB长为，则∠C的度数为 45°或135° ．
【分析】如图，先判断△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠C＝45°，∠C′＝135°，从而确定圆内接三角形△ABC的内角∠C的度数．
【解答】解：如图，∵OA＝OB＝4，AB＝4，
∴OA2+OB2＝48+48＝96＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝∠AOB＝45°，
∴∠C′＝180°﹣45°＝135°，
即圆内接三角形△ABC的∠C的度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15．（6分）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【分析】先把分式进行化简，再求出不等式组的解集，取x＝1，代入求出答案即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝﹣，
解不等式组得：﹣2≤x≤2，
∵x+1≠0且x+2≠0且x﹣2≠0，
∴x不能为﹣1，﹣2，2，
即取不等式组的整数解是x＝1，
代入分式得：原式＝﹣＝﹣＝．
16．（6分）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠D＝∠AEC，求证：AD＝AE．
【分析】证明△ABD≌△ACE（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝AE．
【解答】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD＝AE．
17．（8分）某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”．为了让同学们理解这次活动的重要性，珍惜粮食．校学生会在某天午餐后，随机抽查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制了如图所示不完整的统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量为 1000 人，“剩一半左右”所占圆心角的度数为 90° ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供100人用一餐．据此估算，该校15000名学生一餐浪费的食物可以供多少人食用一餐？
【分析】（1）根据样本容量的定义，圆心角＝360°×百分比，求解即可．
（2）求出剩少量的人数，画出条形图即可．
（3）用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）祥本容量：400÷40%＝1000（人），圆心角：90°；
故答案为：1000，90°；
（2）1000﹣400﹣250﹣150＝200（人），
如图所示
（3）（人），
答：据估算，该校15000名学生一餐浪费的食物可以供1500人食用一餐．
18．（6分）为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
【分析】设二班单独整理这批器材需要x分钟，由题意：一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设二班单独整理这批器材需要x分钟．
依题意得：，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
答：二班单独整理这批器材需要60分钟．
19．（7分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏．游戏规则如下：
a．四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；
b．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张；
c．若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．
（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为 ．
（2）求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为＝，
故答案为：；
（2）把“创建”、“为民”、“惠民”分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有8个，
∴欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率为＝．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝kx+3．
（1）求直线BC的解析式和抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值，并指出m的取值范围．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝kx+3中秋出k得到直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再确定C点坐标为（0，3），接着设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线的解析式；
（2）过P点作PE∥y轴交BC于E，如图，设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+3），于是可表示出PE＝﹣m2+3m，利用三角形面积公式得到S＝×PE×OB＝（﹣m2+3m），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝kx+3得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得3＝a×1×（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P点作PE∥y轴交BC于E，如图，
设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+3），
∴PE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴S＝×PE×OB＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），
∵a＝﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值，最大值为．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，AB＝6OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC，BC，CD，PD，PE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AO＝3，求AC的长度．
【分析】（1）连接OC，设OB＝OC＝3k，用k表示OC，CD，DO的长，由勾股定理逆定理可证∠OCD＝90°，可证CD是⊙O的切线；
（2）证明△ACB∽△AEC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
设OB＝OC＝3k，
∵BE＝2OE，
∴OE＝k，BE＝2k，
∴．
∵DE＝BD+BE＝AB+BE＝8k，
∴，
∵OC2+DC2＝9k2+72k2，OD2＝81k2，
∴OC2+DC2＝OD2，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AO＝BO＝3，AB＝6OE，
∴OE＝1，BE＝2，AB＝6，
∴AE＝4，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACB∽△AEC，
∴，
∴，
∴．
22．（9分）某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表
时间t/天
1
3
10
20
日销售量m/件
98
94
80
60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标即可求解；
（3）根据销售利润减去捐赠数等于单件利润乘以销售量列出解析式，并结合二次函数的性质和a＜4即可求解．
【解答】解：（1）设日销售量m关于时间t的一次函数为m＝kt+b，
将（1，98）（3，94）代入，得
，解得k＝﹣2，b＝100，
答：m关于t的函数关系式为m＝﹣2t+100．
（2）设日销售利润为w元，根据题意，得
w＝（t+25﹣20）（﹣2t+100）
＝﹣（t﹣15）2+612.5
∵﹣＜0，当t＝15时，w有最大值为612.5，
答：这20天中15天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元．
（3）根据题意，得
w＝（t+25﹣20﹣a）（﹣2t+100）
＝﹣t2+（15+2a）t+100（5﹣a）
∵二次函数开口向下，对称轴是t＝15+2a，
要使每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，
必须15+2a＞19.5，
∴a＞2.25，
又a＜4，
∴2.25＜a＜4
答：a的取值范围是2.25＜a＜4．
23．（12分）（1）如图1，矩形ABCD中，点P、Q分别在线段AD、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，连接BP、EQ、PQ交BE于点O．求证：四边形PBQE是菱形；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝3，点P、Q分别在线段AB、BC上，点B与点E关于PQ对称，点E在线段AD上，AE＝，求AP的长；
（3）如图3，有一块矩形空地ABCD，AB＝60m，BC＝80m，点P是一个休息站且在线段AB上，AP＝40m，点Q在线段BC上，现要在点B关于PQ对称的点E处修建一口水井，并且修建水渠AE和CE，以便于在四边形空地AECD上种植花草，余下部分贴上地砖．种植花草的四边形空地AECD的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明PE＝BQ，又PE∥BQ，推出四边形PBQE是平行四边形，由翻折的性质可知PB＝PE，推出四边形PBQE是菱形．
（2）如图2中，连接PE，由对称知，PB＝PE．设AP＝x，在Rt△APE中，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
（3）连接PE，AC，过点E作EG⊥AC于G，S四边形＝S△ACD+S△ACE＝＝＝2400+50EG，推出当EG最小时，四边形AECD的面积最小，由对称可知，PB＝PE，推出点E是以点P为圆心，PB＝20为半径的一段弧上的一点，推出点P，E，G在同一条线上时，EG最小．
【解答】（1）证明：如图1中，
由对称可知：OB＝OE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EPO＝∠OQB，
∵∠POE＝∠BOQ，
∴△POE≌△QOB（AAS），
∴PE＝BQ，
∵AD∥BC，
∴四边形PBQE是平行四边形，
∵PB＝PE，
∴平行四边形PBQE是菱形．
（2）解：如图2中，连接PE，由对称知，PB＝PE．
设AP＝x，
∴PB＝PE＝3﹣x，
根据勾股定理得，x2+5＝（3﹣x）2，
∴，
∴．
（3）解：如图3中，连接AC，PE，过点E作EG⊥AC于G，
在Rt△ACD中，AD＝80，CD＝60，
∴AC＝＝＝100，
∴S四边形＝S△ACD+S△ACE＝＝＝2400+50EG，
∴EG最小时，四边形AECD的面积最小，
由对称可知，PB＝PE，
∴点E是以点P为圆心，PB＝20为半径的一段弧上的一点，
∴点P，E，G在同一条线上时，EG最小，
∴∠AGP＝∠ABC＝90°，∠PAG＝∠CAB，
∴△PAG∽△CAB，
∴，
∴PG＝32，
∴EG最小＝PG﹣PE＝32﹣20＝12，
∴S四边形AECD最小＝2400+50EG最小＝2400+50×12＝3000（m2）．
相关试卷
2023年云南省曲靖市中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年云南省曲靖市中考数学二模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
云南省曲靖市罗平县重点名校2021-2022学年中考数学押题试卷含解析： 这是一份云南省曲靖市罗平县重点名校2021-2022学年中考数学押题试卷含解析，共22页。试卷主要包含了有下列四种说法等内容，欢迎下载使用。
2022年云南省曲靖罗平县联考中考数学五模试卷含解析： 这是一份2022年云南省曲靖罗平县联考中考数学五模试卷含解析，共20页。试卷主要包含了的值等于等内容，欢迎下载使用。
