数学必修 第一册3.3 函数的应用(一)第1课时课后测评

一　集合的概念

【基础全面练】　(15分钟·30分)

1．a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)

A．矩形    B．平行四边形

C．菱形    D．梯形

【解析】选D.由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．

2．(多选题)设a，b，c为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)

A．－4∈M　　 B．0∈M

C．4∈M     D．以上都不正确

【解析】选ABC.因为a，b，c为非零实数，

所以a>0，b>0，c>0时，

＋＋＋＝1＋1＋1＋1＝4；

当a，b，c中有一个小于0时，

不妨设a<0，b>0，c>0，

此时＋＋＋＝－1＋1＋1－1＝0；

当a，b，c中有两个小于0时，不妨设a<0，b<0，c>0，

此时＋＋＋＝－1－1＋1＋1＝0；

当a<0，b<0，c<0时，

＋＋＋＝－1－1－1－1＝－4.

3．设集合A是由1，k2两个元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．

【解析】因为1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.

答案：k≠±1

4．已知集合A中含有3个元素a＋2，2，a2＋3a＋3，若1∈A，则2 019a的值为________．

【解析】(1)若a＋2＝1，即a＝－1，则2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；

(2)若2＝1，则a＝－2或a＝0，

当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；

当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，满足题意；

(3)若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，

由(1)(2)，可知均不满足集合中元素的互异性．

综上，知实数a的值为0，故2 019a的值为1.

答案：1

5．若集合A是由元素－1，3组成的集合，集合B是由方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且A＝B，求实数a，b.

【解析】因为A＝B，

所以－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的解．

则解得

【综合突破练】　(20分钟·40分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．“booknote”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是(　　)

A．5    B．6    C．7    D．8

【解析】选B.根据集合元素的互异性可知，booknote中的不同字母共有“b，o，k，n，t，e”6个，故该集合的元素个数为6.

2．(2021·盐城高一检测)若集合A中的元素x满足x－1<，且x∈R，则下列各式正确的是(　　)

A．3∈A，且－3∉A　　 B．3∈A，且－3∈A

C．3∉A且－3∉A      D．3∉A，且－3∈A

【解析】选D.因为3－1＝2>，－3－1＝－4<，所以3∉A，－3∈A.

3．(多选题)(2021·深圳高一检测)由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)

A．－1　　　B．－2　　　C．6　　　D．2

【解析】选AC.因为由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，

所以只需解得a≠±2且a≠1，

因此排除BD.

4．设数集M同时满足条件

①M中不含元素－1，0，1，②若a∈M，则∈M.

则下列结论正确的是 (　　)

A．集合M中至多有2个元素

B．集合M中至多有3个元素

C．集合M中至少有4个元素

D．集合M中有无穷多个元素

【解析】选C.由题意，若a∈M，则∈M，

则＝－∈M，＝∈M，

则＝＝a∈M，若a＝，则a2＝－1，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M中至少有4个元素．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．设P，Q为两个数集，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数为______．

【解析】当a＝0时，由b∈Q可得a＋b的值为1，2，6；

当a＝2时，由b∈Q可得a＋b的值为3，4，8；

当a＝5时，由b∈Q可得a＋b的值为6，7，11.

由集合元素的互异性可知，P＋Q中的元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个．

答案：8

6．已知集合A中含有3个元素a，0，－1，集合B中含有3个元素c＋b，，1，且A＝B，则a＝________，b＝________，c＝________．

【解析】因为A＝B，又因为≠0，

所以a＝1，c＋b＝0，＝－1，

所以b＝－2，c＝2.

答案：1　－2　2

三、解答题

7．(10分)写出由方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合A中的元素．

【解析】由方程x2－(a＋1)x＋a＝0得(x－a)(x－1)＝0，得x＝a或x＝1.

(1)当a＝1时，方程有两个相同的解x＝1，则集合A中只有一个元素1.

(2)当a≠1时，方程有两个解1和a，即集合A中有两个元素1和a.

【补偿训练】

定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．

【解析】①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5∉Z，故N，Z不是“闭集”．

②数集Q，R是“闭集”．

由于两个有理数a与b的和，差，积，商，

即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，

所以Q是“闭集”，同理R也是“闭集”．