2021年黑龙江省齐齐哈尔市九年级上学期数学期中试题含答案

这是一份2021年黑龙江省齐齐哈尔市九年级上学期数学期中试题含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.下面服装品牌 LOGO中，是中心对称图形的为〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
2.以下事件中，必然事件是〔   〕
A. 掷一枚硬币，正面朝上                                       B. a是实数，︱a︱≥0
C. 某运发动跳高的最好成绩是20.1米                      D. 从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
3.如图，⊙O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，那么劣弧BC的长是〔   〕

A.                                       B.                                       C.                                       D.  
4.一元二次方程 根的情况是〔     〕
A. 有两个不相等的实数根          B. 有两个相等的实数根          C. 只有一个实数根          D. 没有实数根
5.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，假设∠AOB=120°，那么大圆半径R与小圆半径r之间满足〔   〕

A.                                B. R=3r                               C. R=2r                               D. 
6.假设二次函数 的x与y的局部对应值如下表，那么当 时，y的值为 　　
x






y



3
5
3
A. 5                                      B.                                       C.                                       D. 
7.如图，⊙O的半径为1，点 O到直线 a的距离为2，点 P是直线a上的一个动点，PA切⊙O于点 A，那么 PA的最小值是〔    〕

A. 1                                         B.                                          C. 2                                         D. 
8.某品牌服装原价173元，连续两次降价 后售价价为127元，下面所列方程中正确的选项是〔 〕
A.                                            B. 
C.                                           D. 
9.如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板 的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，那么三角板平移的距离为〔 〕

A. 6㎝                          B. 4㎝                          C. 〔6－ 〕㎝                          D. 〔 〕㎝
10.二次函数 的图象如下列图，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数为〔    〕

A. 4个                                       B. 3个                                       C. 2个                                       D. 1个
二、填空题
11.从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是________．
12.的图象不经过________象限；
13.关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么m的值是________．
14.在平面直角坐标系中有一个对称图形，点 A〔3，2〕与点 B〔3，-2〕是此图形上的互为对称点，那么在此图形上的另一点 C〔-1，-3〕的对称点坐标为________；
15.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，那么图中阴影局部的面积是________；〔结果保存 〕

16.如图， A、B 两点的坐标分别为〔2，0〕、〔0，2〕，⊙C的圆心坐标为〔-2，0〕，半径为2．假设D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，那么△ABE面积的最小值是________；

17.如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点B．以A为圆心，以AB为半径作弧交x轴于点A1；过点A1作x轴的垂线，交直线 AB于点B1 ， 以A为圆心，以AB1为半径作弧交x轴于点 A2；…，如此作下去，那么点 的坐标为________；

三、解答题
18.解以下方程：
〔1〕      
〔2〕
19.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为( ) ，正六边形的边长为( )cm〔其中 )，求这两段铁丝的总长

20.一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同。

〔1〕求摸出1个球是白球的概率；

〔2〕摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球。求两次摸出的球恰好颜色不同的概率〔要求画树状图或列表〕；

〔3〕现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为。求n的值。

21.如图， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点 D，AC平分∠DAB．

〔1〕求证：直线CD是⊙O的切线；
〔2〕假设 AB=4，∠DAB=60°，求AD的长．
22.阅读与理解：
图1是边长分别为a和b〔a＞b〕的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起〔C与C′重合〕的图形．

〔1〕操作与证明：
操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
　
〔2〕操作：假设将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
〔3〕猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？
23.如图，二次函数 的图象与x轴的两个交点为A〔4，0〕与点C，与y轴交于点B．

〔1〕求此二次函数关系式和点C的坐标；
〔2〕请你直接写出△ABC的面积：
〔3〕在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？假设存在，请你直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此判断即可.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故不符合题意，
B、是必然事件，符合题意，
C、是不可能事件，故不符合题意，
D、是随机事件，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；据此解答即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接OB，OC．

∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
那么劣弧BC的长是：  = π．
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC,根据圆周角定理可求得圆心角∠BOC的度数，根据公式弧长=可求劣弧BC的长。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：由 得：x=0或2x﹣1=0，
解得：x1=0，x2= ，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】利用因式分解法先求出方程的根，然后判断即可.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OC，∵C为切点，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴∠COB= ∠AOB=60°，
∴∠B=30°，
∴OC= OB，
∴R=2r．
应选C．

【分析】首先连接OC，根据切线的性质得到OC⊥OB，再根据等腰三角形的性质可得到∠COB=60°，从而进一步求出∠B=30°，再利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可得到R与r的关系．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 ，
当 或 时， ，由抛物线的对称性可知 ， ，
，
把 代入得， ，
二次函数的解析式为 ，
当 时， ．
故答案为：D．
【分析】设二次函数的解析式为 ， 利用表格中数据根据抛物线的对称性可得 ， ，把 代入二次函是解析式中，求出a值即得， 将x=1代入求出y值即可.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：作OP⊥a于P点，

那么OP=2．
根据题意，在Rt△OPA中，
AP= =
故答案为：B．
【分析】根据题意知当OP最小时，PA值就最小.作OP⊥a于P点，可得OP=2．在Rt△OPA中，利用勾股定理求出AP即可.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为173-173x%=173〔1-x%〕；
当商品第二次降价x%后，其售价为173〔1-x%〕-173〔1-x%〕x%=173〔1-x%〕2 ．
∴173〔1-x%〕2=127．
故答案为：C．
【分析】当商品第一次降价x%时，其售价为173〔1-x%〕；当商品第二次降价x%后，其售价为173〔1-x%〕2 ， 据此即得173〔1-x%〕2=127．
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，

∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，
∴BC= AB=6，AC=AB•sin30°= ．
由旋转的性质可知B′C=BC=6，
∴AB′=AC－B′C= ．
在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，
∴B′D=AB′•tan30°= 〔cm〕．
故答案为：C．
【分析】如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，在Rt△ABC中∠A=30°，可得BC= AB=6，AC=AB•sin30°= ．根据旋转的性质可得B′C=BC=6，从而求出AB′=AC－B′C= ， 在Rt△AB′D中，∠A=30°，由B′D=AB′•tan30°即可求出结论.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：①由图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，
∴abc＞0，故符合题意；
②∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故符合题意；
③∵x=-1时，y＞1，
∴a-b+c＞1，故符合题意；
④∵对称轴为直线x=-1，当x=0时，y=1，
∴x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0；故不符合题意
⑤∵- =-1，
∴b=2a，
∵a-b+c＞1，
∴a-2a+c＞1，
∴a+1＜c，故符合题意．
故答案为：A．
【分析】由图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＞1据此判断①②③；由于抛物线对称轴为直线x=-1，当x=0时，y=1，可得x=-2时，y=4a-2b+c＞0，据此判断④；由于抛物线对称轴为直线x=- =-1，可得b=2a，由③知a-b+c＞1，可得a-2a+c＞1，即得a+1＜c，据此判断⑤.
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知，这三个数相乘的积分别是 ，所以正数的概率是
【分析】先列举出所有三个数的乘积，再利用概率公式计算即得.
12.【答案】 第二
【解析】【解答】解：：对于 ，
∵a=﹣2﹤0，b=5，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线x= ，
∴当x﹤ 时，函数y随x的增大而增大，
又∵当x=0时，y=﹣1，
∴当x﹤0时，y﹤﹣1，即y﹤0，
∴函数图象不经过第二象限，
故答案为：第二．
【分析】由，可得a＜0，对称轴为直线x= ， 与y轴的交点为〔0，-1〕，据此解答即可.
13.【答案】 0或8
【解析】【解答】解：先根据关于x的一元二次方程x2+〔m﹣2〕x+m+1=0有两个相等的实数根，
可得△=〔m﹣2〕2﹣4〔m+1〕=0，即m2﹣8m=0，
解得m=0或m=8．
故答案为：0或8
【分析】根据原方程有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.
14.【答案】 〔-1，3〕
【解析】【解答】解：∵点A〔3，2〕与点B〔3，-2〕是此图形上的互为对称点，
∴点A与点B关于x轴对称，
∴此图形上的另一点C〔-1，-3〕的对称点坐标为〔-1，3〕，
故答案为：〔-1，3〕．
【分析】根据点A〔3，2〕与点B〔3，-2〕是此图形上的互为对称点，可得点A与点B关于x轴对称，根据关于x轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此解答即可.
15.【答案】 9 －3π
【解析】【解答】解：如图，连接CD．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，
∴∠BAC=60°，BC=6 ，
∵CA=CD，
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD=60°，∠ECD=30°，
∵AB=2AC=12，AC=AD，
∴AD=BD=6，
∴S阴= S△ABC-S扇形CDE= × ×6×6 － =9 －3π．
故答案为：9 －3π．
【分析】如图，连接CD．根据S阴= S△ABC-S扇形CDE进行解答即可.
16.【答案】 2－
【解析】【解答】解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，此时BE最小，以BE为底，OA为高，所以△ABE的面积最小，
连接CD，

那么CD⊥AD，
∴A、B两点的坐标是〔2，0〕，〔0，2〕，
在Rt△ACD中，CD=2，AC=OC+OA=4，
由勾股定理，得：AD= ，
∴S△ACD= AD•CD= × ×2= ，
在△AOE和△ADC中
∵∠OAE=∠DAC，∠EOA=∠CDA
∴△AOE∽△ADC，
∴ ，
∴S△AOE= =
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE= ×2×2- =2－ ．
故答案为：2－ ．
【分析】当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，此时BE最小，以BE为底，OA为高，所以△ABE的面积最小.连接CD，在Rt△ACD中,利用勾股定理求出AD= ， 从而求出S△ACD= AD•CD= 利用两角分别相等可证△AOE∽△ADC，可得， 即得S△AOE= = ， 利用S△ABE=S△AOB-S△AOE即可求出结论.
17.【答案】 〔2n﹣1，0〕
【解析】【解答】解：当x=0时，y= ，当y=0时，x=﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(0， )，
∴AA1=AB= ，那么点A1(1，0)，B1(1，2 )，
∴AA2=AB1= ，那么点A2(3，0)，B2(3，4 )，
∴AA3=AB2= ，那么点A3(7，0)，B3(7，8 )，
……
∴可以得到An的坐标为〔2n﹣1，0〕，
故答案为：〔2n﹣1，0〕．
【分析】利用勾股定理分别求出AA1 ， AA2 ， AA3的长，得到各点坐标，据此寻找出规律即得.
三、解答题
18.【答案】 〔1〕解：原方程可化为： ，
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3；

〔2〕解：原方程可化为： ，
∴〔x+3〕(2x﹣1)=0，
∴x+3=0，2x﹣1=0，
解得：x1=﹣3，x2= ．
【解析】【分析】〔1〕利用因式分解法接一元二次方程即得；
〔2〕利用因式分解法接一元二次方程即得；
19.【答案】 解：由得．正五边形周长为 ，正六边形周长为 ．
因为正五边形和正六边形的周长相等．所以
整理得， ，配方得 ．解得 ， 〔舍去〕
故正五边形的周长为
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.
答：这两段铁丝的总长为420cm．
【解析】【分析】根据题意，即可表示出正五边形以及正六边形的周长代数式，根据两个图形的周长相等，即可将代数式联立，解出方程的解，即可得到两段线段的总长度。
20.【答案】 〔1〕解：∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，
∴摸出1个球是白球的概率为；

〔2〕解：画树状图如下

∴一共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；

〔3〕解：由题意得：，
解得：n=4．
经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，
∴n=4．

【解析】【分析】〔1〕由一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，利用概率公式求解即可求得答案；
〔2〕首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
〔3〕用白球总数除以总球数等于 ，列出方程即可求出n的值.

21.【答案】 〔1〕证明：连接 ，如图1所示：

∵ 中， ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ 于 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ 为 的半径，∴ 是 的切线

〔2〕解：连接BC，如图2所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴BC= AB=2，AC= BC=2 ，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴CD= AC= ，AD= CD=3．
【解析】【分析】〔1〕连接 OC ， 先证出∠OCA=∠DAC，从而得出OC∥AD，可得  ， 利用垂直可得∠OCD=90°，据此即得结论；
〔2〕连接BC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°， 由角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=30°，再由含30°角的直角三角形的性质先求出BC=  AB=2，AC=  BC=2 CD=  AC=   ， AD=  CD=3．
22.【答案】 〔1〕解：BE=AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，
∴∠BCE=∠ACD=30度，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．

〔2〕解：BE=AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．

〔3〕解：当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b；所以α=180°；
当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值为AC-CD=a-b．
【解析】【分析】〔1〕BE=AD．理由：根据旋转的性质可得∠BCE=∠ACD=30°，利用等边三角形的性质 CA=CB，CE=CD，进而证明△BCE≌△ACD，可得BE=AD；
〔2〕 BE=AD． 同〔1〕方法即证结论；
〔3〕 当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大；当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小 ，据此分别求值即可.
23.【答案】 〔1〕解：∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为 ，
∴ ，解得 ，
∴此二次函数关系式为： ，
当 时， 解得 ，
∴点C的坐标为 ．

〔2〕△ABC的面积为
〔3〕P的坐标为〔9，0〕或〔-1，0〕或〔-4，0〕或〔 ，0〕
【解析】【解答】解：〔1〕连接AB，

二次函数关系式为： ，令x=0，得y=3
∴B〔0，3〕由〔1〕得A〔4，0〕， ，
∴AC=4－〔 〕=
∴△ABC的面积= ×AC•OB= × ×3= ；〔3〕存在，设点P的坐标为〔x，0〕，
由题意得：AB2=42+32=25，AP2=〔x-4〕2 ， BP2=x2+9，
①当AB=AP时，那么25=〔x-4〕2 ， 解得x=9或-1，
∴P(9，0)或P〔﹣1,0〕；
②当AB=BP时，同理可得x=4〔舍去〕或-4，
∴P〔﹣4,0〕
③当AP=BP时，如下列图

∵OP=x，∴AP=BP=4－x
在Rt△OBP中，
∴
∴x=
∴P〔 ，0〕
综上点P的坐标为〔9，0〕或〔-1，0〕或〔-4，0〕或〔 ，0〕．
【分析】〔1〕根据待定系数法求出此二次函数关系式为： ， 再求出当y=0时x的值即得结论；
〔2〕连接AB，利用先求出点B的坐标，由〔1〕知C、A的坐标，可求出AC=4－〔 〕= ， 根据△ABC的面积= ×AC•OB即可求出结论；
〔3〕存在，设点P的坐标为〔x，0〕，分三种情况讨论①当AB=AP时②当AB=BP时③当AP=BP时，据此分别解答即可.