高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算教学设计

导数的计算

【学习目标】

1． 知识与技能

(1)了解求基本初等函数导函数的基本方法和步骤，掌握计算一般函数在处导数的步骤．

(2)熟练记忆8个基本初等函数的导数公式，并能应用公式求简单函数的导数．

(3)了解两个函数的和、差、积、商的求导公式，会运用上述公式，求含有和差积商综合运算的函数的导数．

(4)了解函数的复合过程，并能求复合函数的导数．

2． 过程与方法

(1)通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数在处的导数的步骤的过程以及由函数在处导数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会它们之间的联系与不同，体会算法思想在求导过程中的渗透．

(2)经历由两个函数的和差积商的运算法则的求导过程，培养推理、演绎、归纳、抽象的数学思维形式；并通过对基本初等函数间进行四则运算和复合后所得函数求导数，培养学生的运算能力．

3． 情感、态度与价值观

在本节的学习中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系；提高对导数重要性的认识，利用导数解决与切线的有关问题，体会导数在解决问题中的强大作用．

【要点梳理】

要点一：基本初等函数的导数

要点诠释：

1.常数函数的导数为0，即=0（为常数）．其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于轴．

2.有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即．

3.在数学中，“”表示以为底数的对数；“”表示以10为底的常用对数．

4.基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．

要点二：和、差、积、商的导数

要点诠释：  

1． 上述法则也可以简记为：  

（ⅰ）和（或差）的导数：，

         推广：．

    （ⅱ）积的导数：，

         特别地：（c为常数）．

    （ⅲ）商的导数：，

         两函数商的求导法则的特例

         ，

        当时，．

        这是一个函数倒数的求导法则．

    2．两函数积与商求导公式的说明

（1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分．

    （2）注意：且（v≠0）．

    3．求导运算的技巧

在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．例如，要对函数求导，可先因式分解将该函数化为，再利用加法和减法法则求导．

要点三：复合函数的导数

1．复合函数的概念

    对于函数，令，则是中间变量的函数，是自变量的函数，则函数是自变量x的复合函数．例如，函数是由和复合而成的．

  要点诠释： 常把称为“内层”， 称为“外层” ．

2．复合函数的导数

    设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作．

3．复合函数求导一般步骤

（1）分层：将复合函数分出内层、外层．

（2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到

（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数．

要点诠释：

1． 整个过程可简记为：分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．

2． 选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．

【典型例题】

类型一：导数的计算

例1． 求下列各函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【解析】

（1）．

（2）．

（3）法一：去掉括号后求导．

∵，

∴．

法二：利用两个函数乘积的求导法则

（4）

．

【变式1】求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）．

（2）法一：直接求导（利用乘法法则）：

．

法二：展开后求导（利用加法和减法法则）：

，

；

（3）．

（4）．

【变式2】求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】

（1）

        ．

（2）．

（3）∵，∴．

（4）

．

例2．求下列复合函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）

【解析】（1） 第一步：分层：令，则．

第二步：求导：，．

第三步：回代：．

（2） 第一步：分层：设，

第二步：求导：，

第三步：回代：．

（3）法一：．

法二：∵)，∴ ·2＝2．

【变式1】求下列函数导数．

（1）；

（2）；

（3）；

（4） ）．

【答案】

（1）令，，

∴

（2）令，，

∴

（3）令，，

∴．

（4）方法一：

                    ．

方法二：∵，

∴

      ．

【变式2】求下列函数导数：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】

（1）设，，，则

在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：

（2）

          ．

（3）=＝

【变式3】函数在处的导数等于(     )

A．1            B．2          C．3          D．4

【答案】D

法一：

∴．

法二：∵

∴

∴．

类型二：曲线的切线问题

例3． 曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（   ）

A．          B．          C．         D．

【答案】D

【解析】，

曲线在点处的切线斜率为，

所以切线方程为，

令得；令得，

所以．

【变式】已知直线是曲线的切线，则k的值为（   ）

A． e           B．–e         C．          D．

【答案】C

【解析】设切点，的导数为，

显然，

代入中得，再代入中得，

，故选C．

类型三：利用导数求解析式中的参数

例4． 设函数，曲线在点处的切线方程为，

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

【解析】（1）方程可化为，

当时，，

又，故，

所以，解得     故

（2）证明：设点为曲线上任一点．

由知，曲线在点处的切线方程为：

，即，

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为，

所以点处的切线与直线、所围成的三角形面积为．

故曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，此定值为．

【变式1】若函数满足，则＝（  ）

A．－1           B．－2          C．2           D．0

【答案】B

【解析】由题意知，若，

即，

故．

【变式2】已知是关于的多项式函数．

（1）若，求；

（2）若且，解不等式．

【答案】（1）显然是一个常数，所以，

所以，即，

所以．

（2）∵，∴可设，

∵   ∴，

由，解得．