初中冀教版第25章 图形的相似25.4 相似三角形的判定优秀习题

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A．CA平分∠BCDB．C．AC2＝BC•CDD．∠DAC＝∠ABC
2．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪个条件不能使△ADE与△ABC相似？（ ）
A．＝B．＝C．∠AED＝∠BD．∠AED＝∠C
3．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．AC2＝AD•ABD．
4．下列可以判定△ABC∽△A'B'C'的条件是（ ）
A．∠A＝∠B'＝∠C'
B．＝且∠A＝∠C'
C．＝且∠A＝∠A'
D．以上条件都不对
5．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（ ）
A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×ABD．AB×CP＝AP×AC
6．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD•AB，则（ ）
A．△ADC∽△CBDB．△BDC∽△BCAC．△ADC∽△ACBD．无法判断
7．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
8．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列关于相似三角形的说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形都相似 B．直角三角形都相似
C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似
D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
10．如图1，图2，根据图中所标注的数据，能够推得三角形①与②相似的是（ ）
A．都相似B．都不相似
C．只有图1相似D．只有图2相似
11．下列命题中正确的有（ ）①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB中点．若在AC边上取点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为 ．
13．一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形 （选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．
14．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是 ．
15．如图，∠DAB＝∠EAC，请补充一个条件： ，使△ADE∽△ABC（只写一个答案即可）．
16．如图，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．
17．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD•BC，求证：△ABC∽△DAC．
18．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
19．如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE，试说明△ACE∽△BAD．
20．如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．
21．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．
22．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，
（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；
（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；
（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．
23．如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
24．已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．
25．如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB．
参考答案
1．解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
2．解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当＝时，△ADE∽△ACB，所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
当∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，所以C选项不符合题意；
当∠AED＝∠C，△ADE∽△ABC，所以D选项不符合题意；
故选：A．
3．解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当AC2＝AD•AB时，即＝，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
4．解：A、只有一组角对应相等的两个三角形不一定相似；故A不符合题意；
B、两边对应成比例，但夹角不相等的两个三角形不一定相似，故B不符合题意；
C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C符合题意；
故选：C．
5．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
6．解：∵AC2＝AD•AB，
∴，
∵∠A＝∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，
∴△ADC∽△ACB．
故选：C．
7．解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴当添加条件∠D＝∠B时，则△ADE∽△ABC，故选项A不符合题意；
当添加条件∠E＝∠C时，则△ADE∽△ABC，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则△ADE∽△ABC，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
8．解：在△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝，
选项A中三角形三边为1，，，而≠，所以A选项中的三角形与△ABC不相似；
选项B中三角形三边为1，，2，而≠，所以B选项中的三角形与△ABC不相似；
选项C中三角形三边为1，，，因为＝＝，所以C选项中的三角形与△ABC相似；
选项D中三角形三边为，，，而≠，所以D选项中的三角形与△ABC不相似．
故选：C．
9．解：等腰三角形不一定都相似，如∠A＝∠B＝30°的△ABC和∠D＝∠E＝60°的△DEF，它们不相似，故选项A错误；
直角三角形不一定相似，如∠A＝60°，∠B＝30°的Rt△ABC和∠D＝40°，∠E＝50°的Rt△DEF，它们不相似，故选项B错误；
两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，但是两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项C错误；
一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项D正确；
故选：D．
10．解：如图1，∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，
但∠ADB不一定等于∠ADC，
∴三角形①与②不一定相似；
如图2，∵∠B＝70°，∠AOB＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠AOB＝35°，
∴∠A＝∠D，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴三角形①与②相似，
故选：D．
11．解：①如图，两三角形不相似，故本选项错误，不符合题意；
②腰与底边成比例的两个等腰三角形相似，所以错误，不符合题意；
③一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，例如顶角为40°的等腰三角形与底角为40°的等腰三角形不相似，所以原命题说法错误，不符合题意；
④底边对应相等的两个等腰三角形不一定相似，所以原命题说法错误，不符合题意，
正确的有0个，
故选：A．
12．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝，
当△ADE∽△ABC时，，即，
解得，AE＝2，
当△ADE∽△ACB时，，即，
解得，AE＝，
故答案为：2或．
13．解：这两个直角三角形不一定相似．
理由如下：
当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，由于，则两个直角三角形相似；
当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，根据勾股定理得另一直角边长＝4，则≠，所以这两个直角三角形不一定相似．
故答案为：不一定．
14．解：∵∠B＝∠D，
∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．
15．解：∵∠DAB＝∠CAE
∴∠DAE＝∠BAC
∴当∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE时两三角形相似．
故答案为：∠D＝∠B（答案不唯一）．
16．证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴，
∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
17．证明：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AC2＝CD•BC，
∴＝，
∴△ABC∽△DAC．
18．解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，
∴∠DEC＝∠F，
∴DF＝DE＝5；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CED＝∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．
19．解：∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD．
20．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∵∠AED＝∠C，
∴△ABC∽△ADE．
21．证明：∵AC2＝AD⋅AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
22．解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
在△ABD与△BCE中
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠EAF，
又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8，
∴BD＝2．
23．证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
24．证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
25．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°
∵∠AED＝60°，
∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BED＝∠CAE，
∴△AEC∽△EDB．