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初中数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法同步训练题
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这是一份初中数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法同步训练题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.2 一元二次方程的解法
第6课时 选择合适的方法解一元二次方程
一、选择题
1.解方程x2－x－3＝0的最佳方法是( )
A．因式分解法 B．直接开平方法 C.配方法 D．公式法
2.不适合用配方法求解的一元二次方程是( )
A．x2－4＝0 B．x2－4x＋4＝0 C．x2－2x－4＝0 D．2x2－12x＝5
3.解方程2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
4.下列方程适合用配方法求解的是( )
A．x2－16＝0 B．x2－6x＝10 C．(x－3)(x＋5)＝0 D．x2＋x－3＝0
5.解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )
A．直接开平方法B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
6.解方程(x－2)2＋x2＝4的最适当的方法是( )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
7.下列方程的根是无理式的是( )
A．(x+5)(x－5)＝－4 B．(2x－1)2＝(3x+1)2 C．x2+4x－3＝0 D．2x2－7x＝0
8.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成( )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9 C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
9.解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③2x2－5x＋2＝0；
④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是 ( )
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②，③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
10.已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8=0,则m2+n2的值为( )
A.-4或2 B.-2或4 C.4 D.2
11.已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为( )
A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
12.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4.因此，max{－2，－4}＝－2；按照这个规定，若max{x，－x}＝，则x的值是 ( )
A．－1 B．－1或 C. D．1或
二、填空题
13.【中考·扬州】一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是____________．
14.若一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根分别是矩形的相邻两边长，如图所示，则矩形的对角线长为____________．
15.【2020·衢州改编】定义：a※b＝a(b＋1)，例如：2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8，则(x－1)※x＝8的解为________________．
16.若分式的值是0，则x＝________．
17.已知(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝3，则x2＋y2＝________．
18.【2020·乐山】已知y≠0，且x2－3xy－4y2＝0，则的值是________．
三、解答题
19.选择适当的方法解下列一元二次方程．
(1)【2021·黔南州惠水二中期末】x2－4x－1＝0；
(2)(y－5)(y＋7)＝0；
(3)【2021·太原期末】x(2x－3)＝(3x＋2)(2x－3)；
(4)(x－1)2－2(x2－1)＝0；
(5)2x2＋1＝2 x；
(6)2(t－1)2＋t＝1.
(7)16－9(x＋2)2＝0；
(8)(x－1)2－(x－1)－6＝0；
(9)4x2－4x＋1＝0；
(10)(3x－4)2＝9x－12.
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
20.阅读材料，解答问题．
解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0.
解：把4x－1视为一个整体，设4x－1＝y，
则原方程可化为y2－10y＋24＝0.
解得y1＝6，y2＝4.
∴4x－1＝6或4x－1＝4.
x1＝，x2＝.
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例解下列方程：
(1)x4－x2－6＝0；
(2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0.
21.(1)已知(x2－y2＋1)(x2－y2－3)＝5，求x2－y2的值；
解：设x2－y2＝a，
则原方程可化为(a＋1)(a－3)＝5，
解得a1＝－2，a2＝4，
则x2－y2＝－2或x2－y2＝4.
变式：已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，求x2＋y2的值．
(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，求代数式x2－x＋1的值．
22.阅读下面的材料，解答后面的问题．
材料：“解方程x4－3x2＋2＝0.”
解：设x2＝y，原方程变为y2－3y＋2＝0，
(y－1)(y－2)＝0，解得y＝1或y＝2.
当y＝1时，即x2＝1，解得x＝±1；
当y＝2时，即x2＝2，解得x＝±.
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－.
(1)上述解答过程采用的数学思想方法是______；
A．加减消元法 B．代入消元法
C．换元法 D．待定系数法
(2)采用类似的方法解方程(x2－2x)2－x2＋2x－6＝0.
23.阅读材料,解答问题.
解方程x2-|x-1|-1=0.
解:当x-1≥0,即x≥1时,x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0.
解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1.
当x-1<0,即x<1时,x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2=0.
解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-2.
综上所述,原方程的解是x=1或x=-2.
依照上例解法,解方程x2+2|x+2|-4=0.
24.晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x＋4)＝6.
解：原方程可变形，得[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.(x＋2)2－22＝6，(x＋2)2＝6＋22，(x＋2)2＝10.直接开平方并整理，得x1＝－2＋，x2＝－2－.我们称晓东这种解法为“平均数法”．
(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.(x＋□)2－○2＝5，(x＋□)2＝5＋○2.直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤.上述过程中的“□”“○”“☆”“¤”表示的数分别为_____，______，_____，_____；
(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.
参考答案
一、选择题
1.解方程x2－x－3＝0的最佳方法是( D )
A．因式分解法 B．直接开平方法 C.配方法 D．公式法
2.不适合用配方法求解的一元二次方程是( A )
A．x2－4＝0 B．x2－4x＋4＝0 C．x2－2x－4＝0 D．2x2－12x＝5
3.解方程2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( D )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
4.下列方程适合用配方法求解的是( B )
A．x2－16＝0 B．x2－6x＝10 C．(x－3)(x＋5)＝0 D．x2＋x－3＝0
5.解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( D )
A．直接开平方法B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
6.解方程(x－2)2＋x2＝4的最适当的方法是( D )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
7.下列方程的根是无理式的是( C )
A．(x+5)(x－5)＝－4 B．(2x－1)2＝(3x+1)2 C．x2+4x－3＝0 D．2x2－7x＝0
8.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成( B )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9 C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
【点拨】∵x2－6x＋q＝0，∴x2－6x＝－q，∴x2－6x＋9＝－q＋9.
∴(x－3)2＝9－q，根据题意得p＝3，9－q＝7，∴q＝2，∴x2－6x＋q＝2是x2－6x＋2＝2，∴x2－6x＝0，
∴x2－6x＋9＝9可化为(x－3)2＝9，即(x－p)2＝9.
9.解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③2x2－5x＋2＝0；
④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是 ( D )
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②，③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
10.已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8=0,则m2+n2的值为( D )
A.-4或2 B.-2或4 C.4 D.2
11.已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为( )
A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
【答案】A
错解：C
诊断：设x2＋x＋1＝y，则已知等式可化为y2＋2y－3＝0，分解因式得(y＋3)(y－1)＝0，解得y1＝－3，y1＝1.
当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2＋x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝y的实数x是否存在而错选C.
12.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4.因此，max{－2，－4}＝－2；按照这个规定，若max{x，－x}＝，则x的值是 ( B )
A．－1 B．－1或 C. D．1或
二、填空题
13.【中考·扬州】一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是____________．
【答案】x1＝2，x2＝1
14.若一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根分别是矩形的相邻两边长，如图所示，则矩形的对角线长为____________．
【答案】10
15.【2020·衢州改编】定义：a※b＝a(b＋1)，例如：2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8，则(x－1)※x＝8的解为________________．
【答案】x1＝3，x2＝－3
16.若分式的值是0，则x＝________．
【点拨】依题意有解得
∴x＝8.
17.已知(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝3，则x2＋y2＝________．
【点拨】设x2＋y2＝m，则原方程可化为m(m－2)＝3，整理得m2－2m－3＝0，∴(m＋1)(m－3)＝0，∴m＝－1(不合题意，舍去)，m＝3.
∴x2＋y2的值为3.本题易错点：忽略x2＋y2为非负数，没有舍去－1.
【答案】3
18.【2020·乐山】已知y≠0，且x2－3xy－4y2＝0，则的值是________．
【点拨】∵y≠0，∴将x2－3xy－4y2＝0的两边同除以y2得－－4＝0.
令t＝，则t2－3t－4＝0. 解得t＝4或t＝－1.
即的值是4或－1.
【答案】4或－1
三、解答题
19.选择适当的方法解下列一元二次方程．
(1)【2021·黔南州惠水二中期末】x2－4x－1＝0；
解：x1＝2＋，x2＝2－.
(2)(y－5)(y＋7)＝0；
y1＝5，y2＝－7.
(3)【2021·太原期末】x(2x－3)＝(3x＋2)(2x－3)；
x1＝，x2＝－1.
(4)(x－1)2－2(x2－1)＝0；
解：x1＝－3，x2＝1.
(5)2x2＋1＝2 x；
x1＝，x2＝.
(6)2(t－1)2＋t＝1.
t1＝1，t2＝.
(7) 16－9(x＋2)2＝0；
解：原方程可变形为(x＋2)2＝，
∴x＋2＝±，即x＝±－2.
∴x1＝－，x2＝－.
(8)(x－1)2－(x－1)－6＝0；
解：原方程可变形为(x－1＋2)(x－1－3)＝0，即(x＋1)(x－4)＝0，
∴x＋1＝0或x－4＝0.
∴x1＝－1，x2＝4.
(9)4x2－4 x＋1＝0；
解：∵a＝4，b＝－4 ，c＝1，
∴b2－4ac＝(－4 )2－4×4×1＝16.
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
(10)(3x－4)2＝9x－12.
解：原方程可变形为(3x－4)2＝3(3x－4)，
即(3x－4)2－3(3x－4)＝0，
分解因式，得(3x－4)[(3x－4)－3]＝0，即(3x－4)(3x－7)＝0，
∴3x－4＝0或3x－7＝0.
∴x1＝，x2＝.
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
20.阅读材料，解答问题．
解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0.
解：把4x－1视为一个整体，设4x－1＝y，
则原方程可化为y2－10y＋24＝0.
解得y1＝6，y2＝4.
∴4x－1＝6或4x－1＝4.
x1＝，x2＝.
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例解下列方程：
(1)x4－x2－6＝0；
解：设x2＝y，原方程可化为y2－y－6＝0，
整理得(y－3)(y＋2)＝0，解得y1＝3，y2＝－2.
当y＝3时，即x2＝3，∴x＝±；
当y＝－2时，x2＝－2无解．
∴原方程的解为x1＝，x2＝－.
(2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0.
解：设x2－2x＝y，原方程可化为y2－5y－6＝0，
整理得(y－6)(y＋1)＝0，
解得y1＝6，y2＝－1.
当y＝6时，即x2－2x＝6，
解得x1＝1＋，x2＝1－；
当y＝－1时，即x2－2x＝－1，解得x3＝x4＝1.
综上所述，原方程的解为x1＝1＋，x2＝1－，x3＝x4＝1.
21.(1)已知(x2－y2＋1)(x2－y2－3)＝5，求x2－y2的值；
解：设x2－y2＝a，
则原方程可化为(a＋1)(a－3)＝5，
解得a1＝－2，a2＝4，
则x2－y2＝－2或x2－y2＝4.
变式：已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，求x2＋y2的值．
解：设x2＋y2＝n(n≥0)，
则原方程可化为(n＋1)(n－3)＝5，
解得n1＝－2(舍去)，n2＝4，
则x2＋y2＝4.
(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，求代数式x2－x＋1的值．
解:设x2－x＝m，则原方程可化为m2－4m－12＝0.
解得m1＝6，m2＝－2.
即x2－x＝6或x2－x＝－2.
x2－x＋2＝0中，Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，此方程无实数根．故x2－x＝6.所以x2－x＋1＝6＋1＝7.
【点拨】运用换元法解方程时，先要找出相同的整体进行换元，使方程变得简单，解完方程后还要注意还元．
22.阅读下面的材料，解答后面的问题．
材料：“解方程x4－3x2＋2＝0.”
解：设x2＝y，原方程变为y2－3y＋2＝0，
(y－1)(y－2)＝0，解得y＝1或y＝2.
当y＝1时，即x2＝1，解得x＝±1；
当y＝2时，即x2＝2，解得x＝±.
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－.
(1)上述解答过程采用的数学思想方法是______；
A．加减消元法 B．代入消元法
C．换元法 D．待定系数法
(2)采用类似的方法解方程(x2－2x)2－x2＋2x－6＝0.
解：(1)上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．故答案是C.
(2)设x2－2x＝y，原方程化为y2－y－6＝0，
整理，得(y－3)(y＋2)＝0，
解得y＝3或y＝－2.
当y＝3时，即x2－2x＝3，解得x＝－1或x＝3；
当y＝－2时，即x2－2x＝－2，方程无解．
综上所述，原方程的解为x1＝－1，x2＝3.
23.阅读材料,解答问题.
解方程x2-|x-1|-1=0.
解:当x-1≥0,即x≥1时,x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0.
解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1.
当x-1<0,即x<1时,x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2=0.
解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-2.
综上所述,原方程的解是x=1或x=-2.
依照上例解法,解方程x2+2|x+2|-4=0.
当x+2≥0,即x≥-2时,x2+2(x+2)-4=0,即x2+2x=0.
解得x1=0,x2=-2.
当x+2<0,即x<-2时,x2-2(x+2)-4=0,即x2-2x-8=0.
解得x1=4(不合题意,舍去),x2=-2(不合题意,舍去).
综上所述,原方程的解是x=0或x=-2.
24.晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x＋4)＝6.
解：原方程可变形，得[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.(x＋2)2－22＝6，(x＋2)2＝6＋22，(x＋2)2＝10.直接开平方并整理，得x1＝－2＋，x2＝－2－.我们称晓东这种解法为“平均数法”．
(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.(x＋□)2－○2＝5，(x＋□)2＝5＋○2.直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤.上述过程中的“□”“○”“☆”“¤”表示的数分别为_____，______，_____，_____；
【答案】4 2 －1 －7(最后两空可交换顺序)
(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.
解：原方程可变形，得[(x－1)－2][(x－1)＋2]＝5，
整理，得(x－1)2－22＝5，(x－1)2＝5＋22，即(x－1)2＝9，
直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝－2.
2.2 一元二次方程的解法
第6课时 选择合适的方法解一元二次方程
一、选择题
1.解方程x2－x－3＝0的最佳方法是( )
A．因式分解法 B．直接开平方法 C.配方法 D．公式法
2.不适合用配方法求解的一元二次方程是( )
A．x2－4＝0 B．x2－4x＋4＝0 C．x2－2x－4＝0 D．2x2－12x＝5
3.解方程2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
4.下列方程适合用配方法求解的是( )
A．x2－16＝0 B．x2－6x＝10 C．(x－3)(x＋5)＝0 D．x2＋x－3＝0
5.解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )
A．直接开平方法B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
6.解方程(x－2)2＋x2＝4的最适当的方法是( )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
7.下列方程的根是无理式的是( )
A．(x+5)(x－5)＝－4 B．(2x－1)2＝(3x+1)2 C．x2+4x－3＝0 D．2x2－7x＝0
8.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成( )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9 C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
9.解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③2x2－5x＋2＝0；
④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是 ( )
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②，③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
10.已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8=0,则m2+n2的值为( )
A.-4或2 B.-2或4 C.4 D.2
11.已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为( )
A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
12.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4.因此，max{－2，－4}＝－2；按照这个规定，若max{x，－x}＝，则x的值是 ( )
A．－1 B．－1或 C. D．1或
二、填空题
13.【中考·扬州】一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是____________．
14.若一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根分别是矩形的相邻两边长，如图所示，则矩形的对角线长为____________．
15.【2020·衢州改编】定义：a※b＝a(b＋1)，例如：2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8，则(x－1)※x＝8的解为________________．
16.若分式的值是0，则x＝________．
17.已知(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝3，则x2＋y2＝________．
18.【2020·乐山】已知y≠0，且x2－3xy－4y2＝0，则的值是________．
三、解答题
19.选择适当的方法解下列一元二次方程．
(1)【2021·黔南州惠水二中期末】x2－4x－1＝0；
(2)(y－5)(y＋7)＝0；
(3)【2021·太原期末】x(2x－3)＝(3x＋2)(2x－3)；
(4)(x－1)2－2(x2－1)＝0；
(5)2x2＋1＝2 x；
(6)2(t－1)2＋t＝1.
(7)16－9(x＋2)2＝0；
(8)(x－1)2－(x－1)－6＝0；
(9)4x2－4x＋1＝0；
(10)(3x－4)2＝9x－12.
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
20.阅读材料，解答问题．
解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0.
解：把4x－1视为一个整体，设4x－1＝y，
则原方程可化为y2－10y＋24＝0.
解得y1＝6，y2＝4.
∴4x－1＝6或4x－1＝4.
x1＝，x2＝.
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例解下列方程：
(1)x4－x2－6＝0；
(2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0.
21.(1)已知(x2－y2＋1)(x2－y2－3)＝5，求x2－y2的值；
解：设x2－y2＝a，
则原方程可化为(a＋1)(a－3)＝5，
解得a1＝－2，a2＝4，
则x2－y2＝－2或x2－y2＝4.
变式：已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，求x2＋y2的值．
(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，求代数式x2－x＋1的值．
22.阅读下面的材料，解答后面的问题．
材料：“解方程x4－3x2＋2＝0.”
解：设x2＝y，原方程变为y2－3y＋2＝0，
(y－1)(y－2)＝0，解得y＝1或y＝2.
当y＝1时，即x2＝1，解得x＝±1；
当y＝2时，即x2＝2，解得x＝±.
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－.
(1)上述解答过程采用的数学思想方法是______；
A．加减消元法 B．代入消元法
C．换元法 D．待定系数法
(2)采用类似的方法解方程(x2－2x)2－x2＋2x－6＝0.
23.阅读材料,解答问题.
解方程x2-|x-1|-1=0.
解:当x-1≥0,即x≥1时,x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0.
解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1.
当x-1<0,即x<1时,x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2=0.
解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-2.
综上所述,原方程的解是x=1或x=-2.
依照上例解法,解方程x2+2|x+2|-4=0.
24.晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x＋4)＝6.
解：原方程可变形，得[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.(x＋2)2－22＝6，(x＋2)2＝6＋22，(x＋2)2＝10.直接开平方并整理，得x1＝－2＋，x2＝－2－.我们称晓东这种解法为“平均数法”．
(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.(x＋□)2－○2＝5，(x＋□)2＝5＋○2.直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤.上述过程中的“□”“○”“☆”“¤”表示的数分别为_____，______，_____，_____；
(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.
参考答案
一、选择题
1.解方程x2－x－3＝0的最佳方法是( D )
A．因式分解法 B．直接开平方法 C.配方法 D．公式法
2.不适合用配方法求解的一元二次方程是( A )
A．x2－4＝0 B．x2－4x＋4＝0 C．x2－2x－4＝0 D．2x2－12x＝5
3.解方程2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( D )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
4.下列方程适合用配方法求解的是( B )
A．x2－16＝0 B．x2－6x＝10 C．(x－3)(x＋5)＝0 D．x2＋x－3＝0
5.解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( D )
A．直接开平方法B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
6.解方程(x－2)2＋x2＝4的最适当的方法是( D )
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
7.下列方程的根是无理式的是( C )
A．(x+5)(x－5)＝－4 B．(2x－1)2＝(3x+1)2 C．x2+4x－3＝0 D．2x2－7x＝0
8.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成( B )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9 C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
【点拨】∵x2－6x＋q＝0，∴x2－6x＝－q，∴x2－6x＋9＝－q＋9.
∴(x－3)2＝9－q，根据题意得p＝3，9－q＝7，∴q＝2，∴x2－6x＋q＝2是x2－6x＋2＝2，∴x2－6x＝0，
∴x2－6x＋9＝9可化为(x－3)2＝9，即(x－p)2＝9.
9.解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③2x2－5x＋2＝0；
④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是 ( D )
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②，③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
10.已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8=0,则m2+n2的值为( D )
A.-4或2 B.-2或4 C.4 D.2
11.已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为( )
A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
【答案】A
错解：C
诊断：设x2＋x＋1＝y，则已知等式可化为y2＋2y－3＝0，分解因式得(y＋3)(y－1)＝0，解得y1＝－3，y1＝1.
当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2＋x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝y的实数x是否存在而错选C.
12.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4.因此，max{－2，－4}＝－2；按照这个规定，若max{x，－x}＝，则x的值是 ( B )
A．－1 B．－1或 C. D．1或
二、填空题
13.【中考·扬州】一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是____________．
【答案】x1＝2，x2＝1
14.若一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根分别是矩形的相邻两边长，如图所示，则矩形的对角线长为____________．
【答案】10
15.【2020·衢州改编】定义：a※b＝a(b＋1)，例如：2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8，则(x－1)※x＝8的解为________________．
【答案】x1＝3，x2＝－3
16.若分式的值是0，则x＝________．
【点拨】依题意有解得
∴x＝8.
17.已知(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝3，则x2＋y2＝________．
【点拨】设x2＋y2＝m，则原方程可化为m(m－2)＝3，整理得m2－2m－3＝0，∴(m＋1)(m－3)＝0，∴m＝－1(不合题意，舍去)，m＝3.
∴x2＋y2的值为3.本题易错点：忽略x2＋y2为非负数，没有舍去－1.
【答案】3
18.【2020·乐山】已知y≠0，且x2－3xy－4y2＝0，则的值是________．
【点拨】∵y≠0，∴将x2－3xy－4y2＝0的两边同除以y2得－－4＝0.
令t＝，则t2－3t－4＝0. 解得t＝4或t＝－1.
即的值是4或－1.
【答案】4或－1
三、解答题
19.选择适当的方法解下列一元二次方程．
(1)【2021·黔南州惠水二中期末】x2－4x－1＝0；
解：x1＝2＋，x2＝2－.
(2)(y－5)(y＋7)＝0；
y1＝5，y2＝－7.
(3)【2021·太原期末】x(2x－3)＝(3x＋2)(2x－3)；
x1＝，x2＝－1.
(4)(x－1)2－2(x2－1)＝0；
解：x1＝－3，x2＝1.
(5)2x2＋1＝2 x；
x1＝，x2＝.
(6)2(t－1)2＋t＝1.
t1＝1，t2＝.
(7) 16－9(x＋2)2＝0；
解：原方程可变形为(x＋2)2＝，
∴x＋2＝±，即x＝±－2.
∴x1＝－，x2＝－.
(8)(x－1)2－(x－1)－6＝0；
解：原方程可变形为(x－1＋2)(x－1－3)＝0，即(x＋1)(x－4)＝0，
∴x＋1＝0或x－4＝0.
∴x1＝－1，x2＝4.
(9)4x2－4 x＋1＝0；
解：∵a＝4，b＝－4 ，c＝1，
∴b2－4ac＝(－4 )2－4×4×1＝16.
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
(10)(3x－4)2＝9x－12.
解：原方程可变形为(3x－4)2＝3(3x－4)，
即(3x－4)2－3(3x－4)＝0，
分解因式，得(3x－4)[(3x－4)－3]＝0，即(3x－4)(3x－7)＝0，
∴3x－4＝0或3x－7＝0.
∴x1＝，x2＝.
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
20.阅读材料，解答问题．
解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0.
解：把4x－1视为一个整体，设4x－1＝y，
则原方程可化为y2－10y＋24＝0.
解得y1＝6，y2＝4.
∴4x－1＝6或4x－1＝4.
x1＝，x2＝.
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例解下列方程：
(1)x4－x2－6＝0；
解：设x2＝y，原方程可化为y2－y－6＝0，
整理得(y－3)(y＋2)＝0，解得y1＝3，y2＝－2.
当y＝3时，即x2＝3，∴x＝±；
当y＝－2时，x2＝－2无解．
∴原方程的解为x1＝，x2＝－.
(2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0.
解：设x2－2x＝y，原方程可化为y2－5y－6＝0，
整理得(y－6)(y＋1)＝0，
解得y1＝6，y2＝－1.
当y＝6时，即x2－2x＝6，
解得x1＝1＋，x2＝1－；
当y＝－1时，即x2－2x＝－1，解得x3＝x4＝1.
综上所述，原方程的解为x1＝1＋，x2＝1－，x3＝x4＝1.
21.(1)已知(x2－y2＋1)(x2－y2－3)＝5，求x2－y2的值；
解：设x2－y2＝a，
则原方程可化为(a＋1)(a－3)＝5，
解得a1＝－2，a2＝4，
则x2－y2＝－2或x2－y2＝4.
变式：已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，求x2＋y2的值．
解：设x2＋y2＝n(n≥0)，
则原方程可化为(n＋1)(n－3)＝5，
解得n1＝－2(舍去)，n2＝4，
则x2＋y2＝4.
(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，求代数式x2－x＋1的值．
解:设x2－x＝m，则原方程可化为m2－4m－12＝0.
解得m1＝6，m2＝－2.
即x2－x＝6或x2－x＝－2.
x2－x＋2＝0中，Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，此方程无实数根．故x2－x＝6.所以x2－x＋1＝6＋1＝7.
【点拨】运用换元法解方程时，先要找出相同的整体进行换元，使方程变得简单，解完方程后还要注意还元．
22.阅读下面的材料，解答后面的问题．
材料：“解方程x4－3x2＋2＝0.”
解：设x2＝y，原方程变为y2－3y＋2＝0，
(y－1)(y－2)＝0，解得y＝1或y＝2.
当y＝1时，即x2＝1，解得x＝±1；
当y＝2时，即x2＝2，解得x＝±.
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－.
(1)上述解答过程采用的数学思想方法是______；
A．加减消元法 B．代入消元法
C．换元法 D．待定系数法
(2)采用类似的方法解方程(x2－2x)2－x2＋2x－6＝0.
解：(1)上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．故答案是C.
(2)设x2－2x＝y，原方程化为y2－y－6＝0，
整理，得(y－3)(y＋2)＝0，
解得y＝3或y＝－2.
当y＝3时，即x2－2x＝3，解得x＝－1或x＝3；
当y＝－2时，即x2－2x＝－2，方程无解．
综上所述，原方程的解为x1＝－1，x2＝3.
23.阅读材料,解答问题.
解方程x2-|x-1|-1=0.
解:当x-1≥0,即x≥1时,x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0.
解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1.
当x-1<0,即x<1时,x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2=0.
解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-2.
综上所述,原方程的解是x=1或x=-2.
依照上例解法,解方程x2+2|x+2|-4=0.
当x+2≥0,即x≥-2时,x2+2(x+2)-4=0,即x2+2x=0.
解得x1=0,x2=-2.
当x+2<0,即x<-2时,x2-2(x+2)-4=0,即x2-2x-8=0.
解得x1=4(不合题意,舍去),x2=-2(不合题意,舍去).
综上所述,原方程的解是x=0或x=-2.
24.晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x＋4)＝6.
解：原方程可变形，得[(x＋2)－2][(x＋2)＋2]＝6.(x＋2)2－22＝6，(x＋2)2＝6＋22，(x＋2)2＝10.直接开平方并整理，得x1＝－2＋，x2＝－2－.我们称晓东这种解法为“平均数法”．
(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x＋2)(x＋6)＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得[(x＋□)－○][(x＋□)＋○]＝5.(x＋□)2－○2＝5，(x＋□)2＝5＋○2.直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤.上述过程中的“□”“○”“☆”“¤”表示的数分别为_____，______，_____，_____；
【答案】4 2 －1 －7(最后两空可交换顺序)
(2)请用“平均数法”解方程：(x－3)(x＋1)＝5.
解：原方程可变形，得[(x－1)－2][(x－1)＋2]＝5，
整理，得(x－1)2－22＝5，(x－1)2＝5＋22，即(x－1)2＝9，
直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝－2.
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