数学九年级上册3 二次函数y=ax2的图象和性质精练

2021-2022年鲁教版九年级数学上册《3.3二次函数y=ax2的图象与性质》

同步达标测评（附答案）

一．选择题（共8小题，满分40分）

1．抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（　　）

A．（0，﹣9） B．（﹣3，0） C．（﹣9，0） D．（3，0）

2．关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（　　）

A．开口方向向上      B．对称轴是直线x＝1 

C．顶点坐标为（1，2）  D．当x＞1时，y随x的增大而减小

3．二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）

A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5） 

C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）

4．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+2（a≠0）与y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象可能是（　　）

A．B．C．D．

5．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　）

A．开口向下             B．对称轴是直线 x＝﹣3 

C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小

6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定不在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2

8．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（　　）

A．a＜0 

B．点A的坐标为（﹣4，0） 

C．当x＜0时，y随x的增大而减小 

D．图象的对称轴为直线x＝﹣2

二．填空题（共7小题，满分35分）

9．在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 　   　．（填“增大”或“减小”）

10．二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为 　       　．

11．如图，直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、点C，二次函数图象

的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n＝　 　．

12．有一个二次函数y＝a（x﹣k）2的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：

甲：开口向上

乙：对称轴是直线x＝2

丙：与y轴的交点到原点的距离为2

满足上述全部特点的二次函数的解析式为　                　．

13．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x＝　   　．

14．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　 　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

15．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2020B2021A2021都为等边三角形，则△A2020B2021A2021的边长＝　     　．

三．解答题（共5小题，满分45分）

16．已知二次函数y＝﹣x2+4x．

（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；

（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；

（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．

17．如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点．

（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；

（2）根据图象写出使y1＜y2的x的取值范围为　         　．

18．已知函数图象如图所示，根据图象可得：

（1）抛物线顶点坐标　       　；

（2）对称轴为　       　；

（3）当x＝　       　时，y有最大值是　       　；

（4）当　       　时，y随着x得增大而增大．

（5）当　       　时，y＞0．

19．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．

20．如图，抛物线y＝x2+3与x轴交于A，B两点，与直线y＝﹣x+b相交于B，C两点，连接A，C两点．

（1）写出直线BC的解析式；

（2）求△ABC的面积．

参考答案

一．选择题（共8小题，满分40分）

1解：抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（0，﹣9）．

故选：A．

2解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，

∴顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝3＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，

∴A、B、C说法正确；

D说法错误．

故选：D．

3解：∵二次函数y＝（x+4）2+5，

∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），

故选：D．

4解：∵y＝ax+2，

∴b＝2，

∴一次函数图象与y轴的正半轴相交，

①当a＞0时，

则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，

②当a＜0时，

则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＞0，

故D正确；

故选：D．

5解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大，

故A、B、C正确，D不正确，

故选：D．

6．解：∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，

∴该抛物线的顶点坐标为（m，2m+1），

当m＞0时，2m+1＞0，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；

当﹣＜m＜0时，2m+1＞0，此时顶点在第二象限，故选项B不符合题意；

当m＜﹣时，2m+1＜0，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；

当2m+1＜0时，m＜﹣，故顶点不可能在第四象限，故选项D符合题意；

故选：D．

7．解：当x＝0时，y1＝1+h，

当x＝2时，y2＝1+h，

当x＝3时，y3＝4+h，

∵1+h＝1+h＜4+h，

∴y1＝y2＜y3，

故选：A．

8．解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，

∴a＞0，

故A错误，

∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），

∴B点的坐标为（﹣3，0），

故B错误，D正确，

由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，

故C错误，

故选：D．

二．填空题（共7小题，满分35分）

9解：∵函数y＝（x﹣1）2，

∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，

∴当x＞1时，y随x的增大而增大．

故答案为：增大．

10解：y＝2x2﹣4x，

＝2（x2﹣2x），

＝2（x2﹣2x+1﹣1），

＝2（x2﹣2x+1）﹣2，

＝2（x﹣1）2﹣2，

∴二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为（1，﹣2），

故答案为：（1，﹣2）．

11解：作抛物线的对称轴，交BC于D，

∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、点C，

∴BC∥x轴，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝90°，AC＝BC，

∵直线CD是抛物线的对称轴，

∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD＝45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴AD＝BD，

∵抛物线的顶点为（2，﹣1），

∴AD＝n+1，

∴B（n+3，n），

把B的坐标代入y＝（x﹣2）2﹣1得，n＝（n+3﹣2）2﹣1，

解得n＝1或﹣1（负数舍去），

故答案为1．

12解：∵二次函数y＝a（x﹣k）2的图象开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴为直线x＝2，

∴k＝2，

∴二次函数y＝a（x﹣k）2的解析式为y＝a（x﹣2）2，

∵与y轴的交点到原点的距离为2，

∴与y轴交于点（0，2）或（0，﹣2），

把（0，2）代入得，2＝4a，

∴a＝，

把（0，﹣2）代入得，﹣2＝4a，

∴a＝﹣（舍去）

∴解析式为：y＝（x﹣2）2．

故答案为：y＝（x﹣2）2．

13解：∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同，

∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点，

而这两个点关于直线x＝﹣1对称，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．

故答案为﹣1．

14解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，

故答案为：＞．

15解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，

设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，

在正△A0B1A1中，B1（a，），

代入y＝x2中，得 ＝•（a）2，解得a＝1，即A0A1＝1，

在正△A1B2A2中，B2（b，1+），

代入y＝x2中，得1+＝•（b）2，解得b＝2，即A1A2＝2，

在正△A2B3A3中，B3（c，3+），

代入y＝x2中，得3+＝•（c）2，解得c＝3，即A2A3＝3，

由此可得△A2020B2021A2021的边长＝2021．

故答案为：2021．

三．解答题（共5小题，满分45分）

16解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；

（2）列表得：

描点，连线．

（3）由图象可知，

当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．

17解：（1）由图象可知：B（2，4）在二次函数y2＝ax2上，

∴4＝a×22，

∴a＝1，

则二次函数的解析式为：y2＝x2，

又A（﹣1，n）在二次函数y2＝x2上，

∴n＝（﹣1）2，

∴n＝1，

则A（﹣1，1），

又A、B两点在一次函数y1＝kx+b上，

∴，

解得：，

则一次函数y1＝x+2，

答：一次函数的解析式为：y1＝x+2，二次函数的解析式为：y2＝x2；

（2）根据图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2．

故答案为：x＜﹣1或x＞2．

18解：（1）∵抛物线与x轴交于点（﹣5，0），（﹣1，0），

∴顶点横坐标为＝﹣3，

由图可知顶点纵坐标为2，

∴顶点坐标为（﹣3，2）；

（2）对称轴为x＝﹣3；

（3）当x＝﹣3时，y有最大值是2；

（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大；

（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．

故答案为（1）（﹣3，2）；（2）x＝﹣3；（3）﹣3，2；（4）x＜﹣3；（5）﹣5＜x＜﹣1．

19解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），

∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，

∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，

∴令x＝0，得y＝﹣2，

∴G（0，﹣2），

∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），

∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，

∴二次函数表达式为y＝﹣x2，

由一次函数与二次函数联立可得，

解得，，

∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．

20解：（1）令y＝0，则﹣x2+3＝0，

解得x＝±2，

所以，点B的坐标为（2，0），

代入y＝﹣x+b得，﹣×2+b＝0，

解得b＝，

所以，直线BC的解析式为y＝﹣x+；

（2）联立，

解得，，

所以，点C的坐标为（﹣1，），

∵AB＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，

∴△ABC的面积＝×4×＝．