高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值当堂检测题

函数的单调性

[A级　基础巩固]

1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上(　　)

A．单调递增

B．单调递减

C．先单调递减再单调递增

D．先单调递增再单调递减

解析：选B　若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则或即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2)．不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上单调递减．

2．已知函数y＝f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)

A．y＝在R上为减函数

B．y＝|f(x)|在R上为增函数

C．y＝[f(x)]2在R上为增函数

D．y＝－f(x)在R上为减函数

解析：选D　由函数y＝f(x)在R上为增函数，可设y＝f(x)＝x.对于A，y＝＝，定义域为{x|x≠0}，不满足在R上为减函数，所以A错误．对于B，y＝|f(x)|＝|x|，在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增，所以不满足在R上为增函数，所以B错误．对于C，y＝[f(x)]2＝x2，在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增，所以不满足R上为增函数，所以C错误．对于D，若函数y＝f(x)在R上为增函数，则对任意的x1，x2∈R，且x1<x2时，都满足f(x1)<f(x2)，当y＝－f(x)时，[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)>0，即y＝－f(x)为R上的减函数．故选D.

3．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)

A．f(a)>f(2a)　　　　 B．f(a2＋1)<f(a2)

C．f(a2＋a)<f(a)  D．f(a2)<f(a)

解析：选B　∵a2＋1>a2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f(a2＋1)<f(a2)．

4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．

C．(3，＋∞)  D．(－∞，－3]

解析：选B　∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象开口向上，直线x＝为函数的对称轴，函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤，解得a≤－.

5．已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，A(0，1)，B(2，－1)是其图象上的两点，则不等式|f(x－1)|>1的解集为(　　)

A．(－1，1)  B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(1，3)  D．(－∞，1)∪(3，＋∞)

解析：选D　据题意可知f(0)＝1，f(2)＝－1.

∵f(x)是R上的单调函数，∴f(x)在R上单调递减．

由|f(x－1)|>1得，f(x－1)<f(2)或f(x－1)>f(0)．

∴x－1>2或x－1<0，解得x>3或x<1.

∴原不等式的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选D.

6．函数f(x)＝的单调递增区间为________．

解析：画出函数图象如图所示，由图象可知，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

答案：(－∞，＋∞)

7．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：f(x)＝＝＝a＋，

依题意有1－2a<0，即a>.

答案：

8．f(x)＝在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：因为f(x)为R上的减函数，

所以当x≤1时，f(x)单调递减，即a－4<0， ①

当x>1时，f(x)单调递减，即a>0， ②

且(a－4)×1＋5≥2a， ③

联立①②③，解得0<a≤1.

答案：(0，1]

9．判断函数f(x)＝x＋(p>0)的单调性．

解：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·.(*)

当x1，x2∈(0，)时，0<x1x2<p，x1－x2<0，

所以(*)式大于0，即f(x1)－f(x2)>0，

所以f(x1)>f(x2)，

即f(x)在(0，)上是减函数；

当x1，x2∈[，＋∞)时，x1x2>p，x1－x2<0，

所以(*)式小于0，即f(x1)－f(x2)<0，

所以f(x1)<f(x2)，

即f(x)在[，＋∞)上是增函数．

同理可得，当x∈(－，0)时， f(x)＝x＋是减函数；

当x∈(－∞，－ ]时，f(x)＝x＋是增函数．

综上所述，f(x)＝x＋(p>0)在(－∞，－]和[，＋∞)上是增函数，在(－，0)和(0，)上是减函数．

10.已知函数f(x)的图象如图所示．

(1)根据函数的图象，写出f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在[a－1，a＋1]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)由函数图象得f(x)在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增；f(x)在(－1，2)上单调递减．

(2)因为f(x)在[a－1，a＋1]上单调递增，所以a＋1≤－1或a－1≥2，解得a≤－2或a≥3.

故实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．

[B级　综合运用]

11．(多选)使函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上单调递增的一个条件是(　　)

A．0<a<1  B．a≥1

C．a>1  D．－1<a<0

解析：选BC　若f(x)在[1，2]上单调递增，则或解得a≥1，故选B、C.

12．若定义在R上的一元二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0，2]上单调递增，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是(　　)

A．0≤m≤4  B．0≤m≤2

C．m≤0  D．m≤0或m≥4

解析：选A　因为f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以f(2)>f(0)，解得a<0.

又因为f(x)的图象的对称轴为x＝－＝2，

所以f(x)在区间[0，2]上的值域与在区间[2，4]上的值域相同．所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.

13．若函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间(1，4)上不是单调函数，那么实数a的取值范围是________．

解析：因为函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间(1，4)上不是单调函数，函数图象的对称轴为直线x＝a－1，所以1<a－1<4，所以2<a<5.

答案：(2，5)

14．已知函数f(x)＝.

(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；

(2)若函数f(x)的定义域为(－2，2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．

解：(1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x2<x1，

则f(x1)－f(x2)＝－＝，因为x1>x2>－2，

所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，

所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递减．

(2)由(1)可知，当x∈(－2，2)时，函数f(x)单调递减，所以由f(－2m＋3)>f(m2)得，

解得1<m<，

所以m的取值范围为(1，)．

[C级　拓展探究]

15．已知函数f(x)，g(x)在数集D上都有定义，对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，g(x1)≤≤g(x2)或g(x2)≤≤g(x1)成立，则称g(x)是数集D上f(x)的限制函数．

(1)试判断函数g(x)＝是否是函数f(x)＝－在D＝(0，＋∞)上的限制函数；

(2)设g(x)是f(x)在区间D1(D1⊆D)上的限制函数且g(x)在区间D1上的值恒正，求证：函数f(x)在区间D1上是增函数；

(3)设f(x)＝x2－2，试写出函数f(x)在D＝(0，＋∞)上的限制函数，并利用(2)的结论，求f(x)在D＝(0，＋∞)上的单调区间．

解：(1)对任意0<x1<x2，因为<＝＝<，

所以g(x)＝是f(x)在D＝(0，＋∞)上的限制函数．

(2)证明：对于任意的x1，x2∈D1⊆D，当x1<x2时，

因为g(x)在区间D1⊆D上恒为正值，所以g(x1)>0，g(x2)>0，

由于g(x1)≤≤g(x2)或g(x2)≤≤g(x1)成立，

所以0<，即f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在D1上是增函数．

(3)设0<x1<x2，则＝－＝x1＋x2－，

所以2x1－<<2x2－，

即g(x)＝2x－ .

由g(x)＝2x－ >0，解得x>，

因而当x∈时，g(x)>0，f(x)递增，即f(x)的单调递增区间是；

当x∈时，g(x)<0，f(x)递减，即f(x)的单调递减区间是.