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    北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值巩固练习

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    这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值巩固练习,共6页。

    函数的最大(小)值

    [A级 基础巩固]

    1.(多选)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的四种说法正确的是(  )

    A.有最小值最小值为1

    B.没有最小值

    C.有最大值最大值为10

    D.没有最大

    解析:选AD f(x)=x+|x-1|=作出函数的图象如图所示

    由图象可知f(x)的最小值为1没有最大值.

    2.已知函数f(x)=-x2+4xax[0,1]f(x)的最小值为-2f(x)的最大值为(  )

    A.1          B.0

    C.-1  D.2

    解析:选A ∵f(x)=-x2+4xa在[01]上为增函数其最小值为f(0)=a=-2其最大值为f(1)=3+a=1.

    3.函数y=2-的值域是(  )

    A.[-2,2]  B.[1,2]

    C.[0,2]  D.[- ]

    解析:选C 要求函数y=2-的值域只需求t(x∈[04])的值域即可.

    设函数f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4(x∈[04])所以f(x)的值域是[04].因为t所以t的值域是[02]t的值域是[-20].

    故函数y=2-的值域是[02].故选C.

    4.若函数f(x)=在区间[2,4]上的最小值为5k的值为(  )

    A.10  B.10或20

    C.20  D.无法确定

    解析:选C 当k=0时不符合题意;

    k>0时f(x)=在[24]上是减函数

    f(x)minf(4)==5k=20符合题意;

    k<0时f(x)=在[24]上是增函数

    f(x)minf(2)==5k=10

    又∵k<0k=10舍去.

    综上知k=20.

    5.x都有不等式-xa+1≥0成立a的最小值为(  )

    A.0  B.-2

    C.  D.

    解析:选D 设f(x)=-xa+1由不等式-xa+1≥0对一切x都成立可得f(x)min0.因为f(x)在上是减函数所以当xf(x)mina所以a0a≥-所以amin=-故选D.

    6.函数f(x)=在[ab]上的最大值为1最小值为ab=________.

    解析:函数f(x)=在(-∞1)上单调递减在(1+∞)上单调递减=1解得a=2b=4ab=6.

    答案:6

    7.函数g(x)=2x的值域为________.

    解析:设t(t≥0)x+1=t2xt2-1

    g(x)=2t2t-2=2t0tymin=-函数g(x)的值域为.

    答案:

    8.min{ab}f(x)=min{x+2,10x}(x≥0)f(x)的最大值为________.

    解析:由题意f(x)=易知f(x)maxf(4)=6.

    答案:6

    9.f(x)=x2-2ax+2x∈[2,4]时f(x)≤a恒成立求实数a的取值范围.

    解:在[24]内f(x)≤a恒成立

    ax2-2ax+2在[24]内恒成立

    af(x)maxx[24].

    f(x)max

    (1)当a≤3时a18-8a解得a≥2此时有2≤a≤3.

    (2)当a>3时a6-4a解得a此时有a>3.

    综上实数a的取值范围是[2+∞).

    10.已知函数fx2x-2.

    (1)求函数f(x)的解析式;

    (2)对任意的xf(x)≥xax恒成立求实数a的取值范围.

    解:(1)令tx-1x=2t+2

    f(t)=(2t+2)2(2t+2)-2=4t2+7t+1

    f(x)=4x2+7x+1(xR).

    (2)由f(x)≥xax(4x2+7x+1)≥xax

    ax≤2x2+3x+2.

    xa2+3

    g(x)=2+3x

    ag(x)min

    x2 =2当且仅当x=1时等号成立g(x)min=2×23=7

    a7

    故实数a的取值范围是(-∞7].

    [B级 综合运用]

    11.(多选)对于实数x符号[x]表示不超过x的最大整数例如[π]=3[-1.08]=-2定义函数f(x)=x-[x]则下列命题正确的是(  )

    A.f(-3.9)=f(4.1)

    B.函数f(x)的最大值为1

    C.函数f(x)的最小值为0

    D.函数f(x)是增函数

    解析:选AC 根据符号[x]的意义讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)=x-[x]的解析式:

    当-1≤x<0时[x]=-1f(x)=x-[x]=x+1;当0≤x<1时[x]=0f(x)=x-[x]=x;当1≤x<2时[x]=1f(x)=x-[x]=x-1;当2≤x<3时[x]=2f(x)=x-[x]=x-2.

    画出函数f(x)=x-[x]的图象如图所示.

    根据定义可知f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1f(4.1)=4.1-4=0.1f(-3.9)=f(4.1)所以A正确;

    从图象可知函数f(x)=x-[x]在最高点处取不到所以B错误;函数图象最低点处函数值为0所以C正确;

    根据函数单调性可知函数f(x)=x-[x]在特定区间内为增函数在整个定义域内没有增减性所以D错误.

    12.已知定义在(0+∞)上的减函数f(x)满足条件:对任意xyx>0y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是(  )

    A.(-∞,2)  B.(1+∞)

    C.(1,2)  D.(0,2)

    解析:选C 令y=1f(x)=f(x)+f(1)-1f(1)=1所以f(x-1)>1f(x-1)>f(1).又f(x)在区间(0+∞)上单调递减所以得1<x<2.故选C.

    13.函数f(x)=x(|x|-2)在[mn]上的最小值为-1最大值为1nm的最大值为________.

    解析:函数f(x)=x(|x|-2)

    x≥0时f(x)=x2-2x

    x<0时f(x)=-2xx2.

    作出yf(x)的图象

    由图象可得当x>0时x2-2x=1解得x=1+

    x<0时-2xx2=-1解得x=-1-

    即有f(x)在[-1-1 ]内的最大值为1最小值为-1nm的最大值为1+-(-1-)=2+2.

    答案:2+2

    14.已知函数f(x)=x2-2ax+2x[-1,1].

    (1)求f(x)的最小值g(a);

    (2)求g(a)的最大值.

    解:(1)当a≥1时f(x)在区间[-11]上单调递减最小值g(a)=f(1)=3-2a

    当-1<a<1时f(x)在区间[-1a]上单调递减在区间[a1]上单调递增最小值g(a)=f(a)=2-a2

    a≤-1时f(x)在区间[-11]上单调递增最小值g(a)=f(-1)=3+2a.

    综上g(a)=

    (2)由(1)可知当a≥1时g(a)单调递减所以g(a)的最大值为g(1)=3-2×1=1;

    当-1<a<1时g(a)在区间(-10]上单调递增在区间[01)上单调递减所以g(a)的最大值为g(0)=2-0=2;

    a≤-1时g(a)单调递增所以g(a)的最大值为g(-1)=3+2×(-1)=1.

    综上g(a)的最大值为2.

    [C级 拓展探究]

    15.请先阅读下列材料然后回答问题.

    对于问题“已知函数f(x)=问函数f(x)是否存在最大值或最小值?若存在求出最大值或最小值;若不存在说明理由”一个同学给出了如下解答:令u=3+2xx2u=-(x-1)2+4x=1时u有最大值umax=4显然u没有最小值.

    故当x=1时f(x)有最小值没有最大值.

    (1)你认为上述解答是否正确?若不正确,说明理由,并给出正确的解答;

    (2)试研究函数y的最值情况;

    (3)对于函数f(x)=(a>0)试研究其最值情况.

    解:(1)不正确.没有考虑到u还可以小于0.正确解答如下:令u=3+2xx2u=-(x-1)2+4≤4易知u≠0

    当0<u≤4时f(x)≥

    u<0时<0f(x)<0.

    f(x)<0或f(x)≥f(x)既无最大值也无最小值.

    (2)∵x2x+2=0<y

    函数y的最大值为而无最小值.

    (3)对于函数f(x)=(a>0)uax2bxc

    Δ>0时u有最小值umin<0

    u<0 f(x)≤

    u>0时f(x)>0.

    f(x)>0或f(x)≤f(x)既无最大值也无最小值.

    Δ=0时u有最小值umin=0结合f(x)=u≠0u>0此时>0f(x)>0f(x)既无最大值也无最小值.

    Δ<0时u有最小值umin>0u>0

    0<即0<f(x)≤

    x=-f(x)有最大值没有最小值.

    综上Δ≥0时f(x)既无最大值也无最小值;

    Δ<0时f(x)有最大值此时x=-没有最小值.

     

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