人教版新课标A必修24.1 圆的方程教案设计

4．1．2　圆的一般方程

Q

一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是圆，它的圆心坐标和半径分别是什么？

X

1．圆的一般方程

(1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为__C(－，－)__，半径为r＝____．

(2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且仅当__D2＋E2－4F>0__时，表示圆：当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点__(－，－)__；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．

(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：

①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程；

②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；

③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．

2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：__A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0__．

3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是：

P在圆内⇔__x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0__

P在圆上⇔__x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0__

P在圆外⇔__x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0__．

4．求轨迹方程的五个步骤：

①__建系__：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；

②__设点__：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；

③__列式__：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；

④__化简__：化方程F(x，y)＝0为最简形式；

⑤__查漏、剔假__：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

Y

1．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为(　B　)

A．(2，0)，5　　　　　　 B．(2，0)，

C．(0，2)，  D．(2，2)，5

[解析]　(x－2)2＋y2＝5，圆心坐标为(2，0)，半径为．

2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　B　)

A．R  B．(－∞，1)

C．(－∞，1]  D．[1，＋∞)

[解析]　∵D2＋E2－4F>0，∴16＋4－20k>0，

∴k<1，故选B．

3．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，点M是OP(O是原点)的中点，则动点M的轨迹方程是__x2＋y2＝1__．

[解析]　设M(x，y)，则x＝，y＝，∴x0＝2x，y0＝2y，即P(2x，2y)．又P是圆x2＋y2＝4上的动点，则(2x)2＋(2y)2＝4，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝1．

4．求经过两点P(－2，4)，Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．

[解析]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意得，

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，

由已知得|x1－x2|＝6(其中x1，x2是方程x2＋Dx＋F＝0的两根)，∴D2－4F＝36　③，

由①②③联立组成方程组，解得

，或．

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．

H

命题方向1　⇨二元二次方程与圆的关系

典例1 m是什么实数时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆？

[解析]　由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，

即m2＋2m－3＝0，

解得m＝－3或m＝1．

当m＝1时，原方程化为2x2＋2y2＋3＝0．

不合题意舍去；

当m＝－3时，原方程化为14x2＋14y2－1＝0，

即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，

以为半径的圆．

『规律方法』　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．

〔跟踪练习1〕 

已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径．

[解析]　(1)由题意，得D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，

即4m2＋4－4m2－20m>0，

解得m<，

故m的取值范围为(－∞，)．

(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，

故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝．

命题方向2　⇨用待定系数法求圆的方程

典例2 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．

[解析]　设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∵A，B，C三点在圆上，

∴，

解得．

∴△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0．

〔跟踪练习2〕 

求过点C(－1，1)和D(1，3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．

[解析]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－，－)，

∴，∴．

∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0．

Y 　忽视圆的方程成立的条件

典例3 已知点O(0，0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范围．

[错解]　∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k－1＞0，解得k＞或k＜－1．∴k的取值范围是(－∞，－1)∪(，＋∞)．

[错因分析]　本题忽视了圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件为D2＋E2－4F＞0，而导致错误．

[思路分析]　方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．

[正解]　∵方程表示圆，∴k2＋(2k)2－4(2k2＋k－1)＞0，即3k2＋4k－4＜0，解得－2＜k＜．又∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k－1＞0，解得k＞或k＜－1．综上所述，k的取值范围是(－2，－1)∪(，)．

[警示]　二元二次方程表示圆的条件和圆的一般式方程中求圆的半径容易失误，要特别注意．

〔跟踪练习3〕 

已知点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围是__(2，)__．

[错解]　因为点A(a，2)在圆的外部，

所以a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a>0，

解得a>2．

故所求a的取值范围为(2，＋∞)．

[正解]　因为点A在圆的外部，

所以有

解得即2<a<．

所以a的取值范围为(2，)．

X 　

求轨迹方程的常用方法：

(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：

(2)代入法(也称相关点法)若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如下：

①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)；

②根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示出来)；

③将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．

(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．

典例4 等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

[解析]　设另一端点C的坐标为(x，y)．

依题意，得|AC|＝|AB|．

由两点间距离公式，则

＝，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10．

这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点．

因为B，C不能重合，所以点C不能为(3，5)．

又因为B，C不能为一直径的两个端点，

所以≠4，且≠2，

即点C不能为(5，－1)．

故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．

〔跟踪练习4〕 

已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线与圆相交所得弦PQ的中点M的轨迹方程．

[解析]　设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4．圆心C(3，3)．

因为CM⊥AM，所以kCM·kAM＝－1，即·＝－1，即x2＋(y＋1)2＝25．

所以所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．

典例5 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．

[思路分析]　求动点的轨迹方程即求动点的坐标(x，y)满足的关系式．可以建立点P与点M的坐标之间的关系，由点P的坐标满足方程x2＋y2－8x－6y＋21＝0，得点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程．也可以根据图形的几何特征，直接利用圆的定义求解．

[解析]　解法一：设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则，

∴．

∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，

∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0．

∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0．

即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0．

解法二：设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA．

圆C的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心C(4，3)，|CP|＝2．

则点A的坐标为(2，)．

如图，在△OCP中，M，A分别是OP，OC的中点，

则|MA|＝|CP|，即|MA|＝1．又当O，C，P三点共线时，|MA|＝1．

∴点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆．

∴点M的轨迹方程为(x－2)2＋(y－)2＝1．

K

1．圆x2＋y2－2x＋y＋＝0的圆心坐标和半径分别是(　B　)

A．(－1，)；1　　　　 B．(1，－)；1

C．(1，－)；  D．(－1，)；

[解析]　圆x2＋y2－2x＋y＋＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y＋)2＝1，圆心坐标为(1，－)，半径是1，故选B．

2．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(　A　)

A．x2＋y2－2x－3y＝0  B．x2＋y2＋2x－3y＝0

C．x2＋y2－2x＋3y＝0  D．x2＋y2＋2x＋3y＝0

[解析]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意知圆过(0，0)，(2，0)和(0，3)点，

∴，解得．

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0．

3．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__(－2，－4)__，半径是__5__．

[解析]　由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．

当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，

故圆心为(－2，－4)，半径为5；当a＝2时，方程不表示圆．

4．已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．

[解析]　解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则

，

∴．∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．

解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则

⇒．

∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．

解法三：线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0，它与直线x－2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝10，

∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．