高中数学人教版新课标B必修22.3.2圆的一般方程教案

圆的一般方程

教学目标

（1）掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；

（2）能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；

（3）解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

教学重点

圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用．

教学难点

圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程．

教学过程

一、问题情境

1．情境：

       方程表示怎样的图形？

2．问题：

    方程是几元几次方程？二元二次方程一定表示圆吗？

二、学生活动

　　观察方程整理后的形式，得到是关于的二元二次方程，且项的系数相等不为零，不含有项；反过来，像这样的二元二次方程一定表示圆吗？

三、建构数学

   将方程配方，得与圆的标准方程进行比较得到：

1．当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；

2．当时，方程表示一个点；

3．当时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；

方程叫做圆的一般方程．

四、数学运用

1．例题：

例1．求过三点的圆的方程；

分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．

解：法一：设圆的方程为，

∵三点都在圆上，

∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，

得：

解之得：

所以，所求圆的方程为．

法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．

法三：也可以设圆的标准方程：将点的坐标代入后解方程组也可以解得

例2．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？

解：设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（＊）

于是，有

因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即（＊＊）

将（＊）式代入（＊＊），得，

整理得

所以满足的关系为：

其表示的曲线是以为圆心，１为半径的圆．

说明：该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．

例3． 某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度是36米，拱高是米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到米）．

解：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐标系，那么点的坐标分别为；

设圆拱所在的圆的的方程为，

∵点在所求的圆上，则坐标代入得：

，解之得

∴圆拱所在的圆的方程为；

将点的横坐标代入圆方程，解得（舍去负值）

答：支柱的长约为米．

2．练习：课本练习第题；课本第8题．

五、回顾小结：

1．圆的一般方程及其条件；

2．方程思想求圆的一般方程．

六、课外作业：

课本第102页  第5,6,7,9,10题．