2020-2021学年2.3.2圆的一般方程教案设计

圆的一般方程

一．教学任务分析:

（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一

般方程确定圆的圆心，半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

（2）通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

（3）通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

二．教学重点与难点：

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

三．教学基本流程:

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四.教学情境设计:

1．创设情景，揭示课题

 问题1：方程x2＋y2-2x＋4y＋1=0表示什么图形？方程x2＋y2-2x-4y＋6=0表示什么图形？

通过对上述问题的讨论，教师提出下列问题。

问题2：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0在什么条件下表示的圆？

2．探究方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件

配方过程由学生去完成：把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得：

    ②

这个方程是不是表示圆？

 (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示以（，）为圆心,为半径的圆。

（2）当D2＋E2－4F=0时，方程只有实数解，

即只表示一个点（，）。

（3）当D2＋E2－4F<0时时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

综上所述，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示的曲线不一定是圆

只有当D2＋E2－4F＞0时，它表示的曲线才是圆，

3.圆的一般方程

我们把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 (D2＋E2－4F＞0)的方程称为圆的一般方程

圆的一般方程的特点：

①x2和y2的系数相同且为1;②没有xy这样的二次项．③D2＋E2－4F＞0.

 说明:(1)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(2)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4. 圆的一般方程的运用

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

学生自己分析探求解决途径：

①     用配方法将其变形化成圆的标准形式。②运用圆的一般方程的判断方法求解。

要注意对于(1)4x2＋4y2-4x＋12y＋9=0来说，这里的D=-1,E=3,,而不是D=-1,E=3,F=9.

例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

解：设所求的圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0

∵A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

 解此方程组，可得：D=-8,E=6,F=0,∴所求圆的方程为：x2＋y2-8x+6y=0得

=5, 得圆心坐标为（4，-3）.

或将x2＋y2-8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径r=5，圆心坐标为(4,-3)

例3.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。                                     

解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是,由于点B(4,3),且M是线段AB的中点.

,于是     ①                                                               

因为点A在上运动，所以点A的坐标满足方程

,即     ②

把①代入②，得 

5．课堂练习：P134第1、2、3题

6.小结 ：

1．方程表示圆条件

2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程

4．求与圆有关的点的轨迹。