初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试同步达标检测题

2021-2022学年度人教版八年级数学上册第11章《三角形》单元训练题

一．选择题

1．不一定在三角形内部的线段是（　　）

A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 

C．三角形的高 D．三角形的高和中线

2．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（　　）

A．    B．    C．    D．

3．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）

A．①、②都正确 B．①、②都不正确 

C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确

4．下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（　　）

A．由四边形组成的伸缩门 

B．自行车的三角形车架 

C．斜钉一根木条的长方形窗框 

D．照相机的三脚架

5．用三根木条首尾顺次连接形成三角形框架，其中两根木条长分别为2cm，4cm，则第三根木条长可以是（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

6．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（　　）根木条．

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，图中三角形的个数共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

8．如图，∠1＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

9．已知一个n边形的内角和等于1800°，则n＝（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

10．如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知一个三角形三边长为a、b、c，则|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝（　　）

A．﹣2a+2c B．﹣2b+2c C．2a D．﹣2c

12．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．32° B．45° C．60° D．64°

二．填空题

13．在一个三角形中，三个内角之比为1：2：6，则这个三角形是 　   　三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）

14．已知△ABC的两条边a、b的长分别为4和7，则第三边c的取值范围是　       　．

15．若某个正多边形的一个内角为108°，则这个正多边形的边数为 　 　．

16．如图，图中有 　 　个三角形，∠B的对边是 　 　．

17．如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为　     　．

三．解答题

18．一个三角形的两边b＝2，c＝7．

（1）当各边均为整数时，有几个三角形？

（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？

19．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D．

（1）若∠B＝30°，求∠C和∠CAD的度数；

（2）若∠C＝α，求∠B与∠BAD的度数．

20．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

21．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．

（1）求线段AE的长．

（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+DE的值．

22．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为　            　．

（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；

（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．

23．已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O．

（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．

（2）请直接写出结果．如图2，若∠A＝60°，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝　    　；如图3，若∠A＝60°，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝　    　．

24．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）

参考答案

一．选择题

1．解：因为在三角形中，

它的中线、角平分线一定在三角形的内部，

而钝角三角形的两条高在三角形的外部．

故选：C．

2．解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．

故选：D．

3．解：AD是三角形ABC的角平分线，

则是∠BAC的角平分线，

所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；

BE是三角形ABC的中线，

则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．

故选：C．

4．解：由四边形组成的伸缩门是利用了四边形的不稳定性，

而A、C、D选项都是利用了三角形的稳定性，

故选：A．

5．解：设第三边长为acm，

由三角形的三边关系，得4﹣2＜a＜4+2，即2＜a＜6，

则第三根木条长可以是3cm或4cm或5cm，

故选：B．

6．解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；

故选：C．

7．解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．

故选：C．

8．解：∠1＝130°﹣60°＝70°，

故选：D．

9．解：∵（n﹣2）×180＝1800，

∴n＝12．

故选：D．

10．解：∵AD为中线，

∴DB＝DC，

∴△ABD与△ACD的周长之差为：

（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2020﹣2018＝2，

故选：B．

11．解：∵a、b、c是一个三角形三边长，

∴b+c＞a，a+b＞c，

∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|

＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+b﹣c）

＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c

＝﹣2a+2c，

故选：A．

12．解：如图所示：

由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，

根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，

∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，

∴∠1﹣∠2＝64°．

故选：D．

二．填空题

13．解：设三角形的内角为别为x，2x，6x，

x+2x+6x＝180°，

解得x＝20°，

∴2x＝40°，6x＝120°，

∴这个三角形的最大的内角的度数是120°，是钝角三角形．

故答案为：钝角．

14．解：三角形两边的和＞第三边，两边的差＜第三边．

则7﹣4＜c＜7+4，

即3＜c＜11．

故答案为：3＜c＜11．

15．解：设这个正多边形的边形为x．

∵正多边形的一个内角为108°，

∴这个正多边形的每个外角等于72°．

∴＝72°．

∴n＝5．

故答案为：5．

16．解：由图可知：三角形有△ABD、△ABC、△ADC，共3个，∠B的对边是AD、AC．

故答案为：3，AD、AC．

17．解：∵AD为△ABC的中线，

∴BD＝DC，

∵△ACD的周长28cm，

∴AC+AD+CD＝28（cm），

∵AC＝10cm，

∴AD+CD＝18（cm），即AD+BD＝18（cm），

∵AB＝13cm，

∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝31（cm），

故答案为：31cm．

三．解答题

18．解：（1）设第三边长为a，则5＜a＜9，

由于三角形的各边均为整数，则a＝6或7或8，因此有三个三角形；

（2）当a＝7时，有a＝7＝c，所以周长为7+7+2＝16．

19．解：（1）在△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝30°，

∴∠C＝90°﹣30°＝60°，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°；

（2）△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝α，

∴∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣α，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD＝90°﹣∠B＝α．

20．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°

∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，

又∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，

∵AE、BF是角平分线，

∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，

∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，

∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，

∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．

故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．

21．解：（1）∵三角形BDE与四边形ACDE的周长相等，

∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE，

∵BD＝DC，

∴BE＝AE+AC，

设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm，

由题意得，10﹣x＝x+6．

解得，x＝2，

∴AE＝2cm；

（2）图中共有8条线段，

它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE，

由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53，

∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27，

∴BC+DE＝（cm）．

22．解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D，

故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，

∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，

由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，

∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，

即2∠P＝∠B+∠D，

∵∠B＝36°，∠D＝14°，

∴∠P＝25°；

（3）2∠P＝∠B+∠D．

理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，

∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，

∵∠PAB＝∠FAG，

∴∠GAD＝∠PAB，

∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，

∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，

∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，

∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），

∴2∠P＝∠B+∠D．

23．解：（1 ）猜想：．

证明∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴，，

∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）

＝

＝

＝．

（2）如图2所示．∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACM

∴，∠ACO＝∠ACM．

∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB

＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ACM．

∵∠ACM＝180°﹣∠ACB，

∴∠O＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣（180°﹣∠ACB）

＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣90°+∠ACB

＝90°﹣∠ABC﹣∠ACB

＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝90°﹣（180°﹣∠A）

＝∠A．

当∠A＝60°时，

∠O＝30°．

故答案为：30°．

如图3所∵OB平分∠EBC，OC平分∠FCB，

∴∠CBO＝∠EBC，∠BCO＝∠BCF．

∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB

＝180°﹣∠EBC﹣∠BCF．

∵∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠BCF＝180°﹣∠ACB，

∴∠O＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）

＝180°﹣90°+∠ABC﹣90°+∠ACB

＝∠ABC+∠ACB

＝（∠ABC+∠ACB）

＝（180°﹣∠A）

＝90°﹣∠A．

当∠A＝60°时，

∠O＝60°．

故答案为：60°．

24．解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；

（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；

（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，

所以当截去5个角时增加了180×5度，

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．