人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率练习

【优编】6.1.1 函数的平均变化率-2作业练习

一．填空题

1．设，当取得最小值时，函数的最小值为___________.

2．函数在处的切线方程是________.

3．定义两条曲线的“正交点”：曲线与曲线交于点，且在处的切线互相垂直．下列各组曲线存在“正交点”的是________（填序号）．

①与；②与，；③与，

4．曲线在点处的切线斜率为_____________.

5．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是______．

6．已知，为实数，函数在点处的切线方程为，则的值为______．

7．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为_______．

8．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则的值为________.

9．函数在处的切线方程是____________.

10．曲线在点处的切线方程为___________

11．函数在点处的切线方程是_____．

12．函数的图象在处的切线方程为，则________.

13．若直线与曲线相切，则实数的值为______.

14．曲线在点处的切线方程为________.

15．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】10

【解析】分析：表示点与点距离的平方，而点是直线上任一点，点（）是反比例函数在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得，从而得，再利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值

详解：解：表示点与点距离的平方，

而点是直线上任一点，

点是反比例函数在第四象限上的点，

当是斜率为的直线与相切的切点时，

点到直线的距离即为的最小值，

由，

，

所以，

当且仅当取等号，

所以函数的最小值为10，

故答案为：10

【点睛】

此题考查两点间的距离公式以及导数几何意义的应用，考查绝对值三角不等式的应用，考查分段函数，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题

2．【答案】

【解析】分析：先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可.

详解：解：由函数，

求导可得，

所以，

又，

即函数在处的切线方程是，即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.

3．【答案】③

【解析】分析：分别对各选项利用导数研究函数的切线，即可得解；

详解：解：①联立得方程组解得或或，设，，则，，当时，，此时两切线不垂直，当时，，此时两切线不垂直，当时，，此时两切线不垂直，综上与不存在“正交点”；

②与，，所以，因为直线的斜率为，所以解得，故切点坐标为，又因为，所以点不在直线上，故不存在“正交点”

③与，，假设两曲线存在“正交点”，如图设为正交点，直线为圆的切线，直线为抛物线的切线，由题意，得直线需过原点，对求导，得，所以，解得（负值舍去），所以，将点坐标代入，得，因为方程在上有解，所以两曲线存在“正交点”；

故答案为：③

【点睛】

本题以新定义“正交点”为载体，考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.

4．【答案】9

【解析】分析：求出函数的导数，将代入即可

详解：由题意可得

所以曲线在点处的切线斜率为

故答案为：9

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】分析：首先求出导函数，求出，利用导数的几何意义即可求解.

详解：由，则，

所以，

设切线的倾斜角为，

所以，

因为，

所以.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：先求导，由直线的点斜式求得切线方程，再对照系数建立关于的方程组，解之可求得答案.

详解：因为，所以在处的切线为．

，解得，．

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：利用换元法令，求出的表达式，再利用切线方程即可求出.

详解：令，则，所以，即，

，，，

所以切线方程为，即，

故答案为：.

【点晴】

此题考换元法求函数解析式和曲线的切线方程的求法，属于简单题.

8．【答案】

【解析】分析：求得，得到，根据题意，得出方程，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，所以，

因为函数的图象在点处的切线的斜率为，

可得，即，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

9．【答案】

【解析】分析：先求导，代入得到斜率，利用点斜式写出切线方程即可.

详解：，

，

在处切线的斜率为，

由点斜式可得，在处切线方程为，

即，

故答案为：.

【点晴】

方法点晴：利用导数求曲线切线方程.

求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.

10．【答案】

【解析】分析：求导，将代入导函数，可求出切线的斜率，进而利用点斜式，可求出切线方程.

详解：点在曲线上，

求导得，当时，，

则切线斜率为1，所以切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，则且，

所以在点处切线方程是，即．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义可得，根据切点在且线上可得.

详解：因为切线的斜率为，所以，

又切点在切线上，所以，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分析：先求函数的导数，则，写出切线方程与结合条件可得，从而得出答案.

详解：,设切点为，

则切线的斜率为

曲线在切点处的切线方程为，

所以解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查根据切线方程求参数的值，属于基础题.

14．【答案】

【解析】分析：先对求导,再求出,最后利用点斜式写出切线方程,化简即可.

详解：,则,

∴,

又,

∴所求切线方程为,即,

故答案为:.

【点睛】

本题考查求曲线上某点处的切线方程,属于基础题.

15．【答案】（或）

【解析】分析：由题意可知，直线的斜率为，对函数求导，由求得切点的坐标，再利用点斜式可求得直线的方程.

详解：直线的斜率为，由于直线与直线平行，则直线的斜率为，

对函数求导得，令，解得或（舍去），

所以切点的坐标为.

故直线的方程为，即

故答案为：（或）.