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人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课文配套ppt课件
展开这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课文配套ppt课件，共21页。
1 | 奇函数、偶函数的定义
1.如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象关于③ 原点 对称;反之,如果 一个函数的图象关于④ 原点 对称,那么这个函数是奇函数.2.如果一个函数是偶函数,那么它的图象关于⑤ y轴 对称;反之,如果一个函数 的图象关于⑥ y轴 对称,那么这个函数是偶函数.
2 | 奇函数、偶函数的图象特征
1.已知f(x)是定义在R上的函数.若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. ( ✕ )2.对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. ( ✕ )提示:对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x),函数y=f(x)才是奇函数.3.奇函数的图象一定过原点. ( ✕ )4.函数f(x)=|x|,x∈[-1,1)是偶函数. ( ✕ )提示:函数f(x)=|x|的定义域 [-1,1)不关于原点对称,所以函数f(x)不具有奇偶性.5.f (x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.( √ )提示:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.
6.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.( √ )提示:存在f(x)=0,x∈D(定义域D关于原点对称), f(x)既是奇函数,又是偶函数,由于 D有无数个,因此这样的函数也有无数个.7.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](0
1.判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法:
(2)图象法:2.分段函数奇偶性的判断判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间 转化,若函数在x=0处有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时,必须判定 每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数图象,结合 对称性判断.
判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)= ;(2)f(x)=|x-2|+|x+2|;(3)f(x)=
思路点拨先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再计算f(-x)并判断f(-x)与f(x)的关系, 从而得出结论.
解析 (1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,又|x+2|-2≠0,∴x≠0,且x≠-4,因此函数f(x)的定义域D={x|-1≤x≤1,且x≠0},∴函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+2>0,∴f(x)= = ,于是任取x∈D,都有f(-x)= =- =-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.∵f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),∴f(x)为偶函数.(3)函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);
当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x).综上,可知函数f(x)为偶函数.
2| 函数奇偶性的应用
1.由函数的奇偶性求参数(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性 时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数; 若定义域中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.2.由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时,若函数具有奇偶性,则利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求 解;若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶 函数,然后利用其奇偶性求值.
3.由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.(2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
(1)若函数f(x)= 为奇函数,则a= ( )A. B. C. D.1(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,那么f(2)= .
思路点拨(1)利用奇函数的定义域关于原点对称即可求出a的值;(2)构造函数g(x)=f(x)+8,易得g(x)为奇函数,由f(-2)=10依次求出g(-2),g(2), f(2)的 值.
解析 (1)由f(x)= 知,(2x+1)(x-a)≠0,即x≠- 且x≠a,∴f(x)的定义域为 .又f(x)为奇函数,其定义域关于原点对称,∴a= ,故选A.(2)f(x)=x5+ax3+bx-8,令g(x)=f(x)+8,则g(x)=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数.∵f(-2)=10,∴g(-2)=10+8=18,∴g(2)=-g(-2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
函数f(x)在R上为奇函数,当x>0时,f(x)= +1,求f(x)的解析式.
思路点拨设x<0,则-x>0,结合f(-x)=-f(x), f(0)=0求f(x)的解析式.
解析 设x<0,则-x>0,∴f(-x)= +1,∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-f(x)= +1,∴f(x)=- -1,∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(x)=
3| 函数奇偶性与单调性的综合应用
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间 上的单调性相反.2.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M;(2)若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用奇偶性把自变量转 化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较.4.解决不等式问题时一定要充分利用已知条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)
解析 ∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,即若x2>x1,则f(x2)>f(x1),若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,即若x2
解析 (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上单调递减,所以f(1-m)
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