初中数学浙教版八年级下册5.2 菱形优秀课时作业

5.2菱形同步练习浙教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为

A. 平行四边形正方形平行四边形矩形
B. 平行四边形菱形平行四边形矩形
C. 平行四边形正方形菱形矩形
D. 平行四边形菱形正方形矩形
 

2. 下列关于菱形、矩形的说法正确的是   

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形

3. 如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是

A. 正方形
B. 矩形
C. 梯形
D. 菱形

4. 如图，中，点P是AB边上的一点，过点P作，，分别交AC，BC于点D，E，连接若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是 ．

A. CP平分
B.
C. CP是AB边上的中线
D.
 

5. 如图，AD是的角平分线，交AB于点E，交AC于点F，且AD交EF于点O，则为   

A.  B.  C.  D.

6. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是

A.  B.  C.  D.

8. 在下列各题中，正确的是

A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似
B. 有一个角是两个等腰三角形一定相似
C. 两个直角三角形一定相似
D. 有一个角是的两个菱形一定相似

9. 若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作，且，连接CE、OE，连接AE，交OD于点若，，则AE的长为

A.  B.  C.  D.

11. 已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它为矩形，需要添加的条件是．

A.  B.
C.  D.

12. 如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于

A.
B. 5
C. 6
D. 9

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：______，使▱ABCD是菱形．

14. 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线OC上一个动点，则最短的最短距离为______．

15. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为______．
    
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，、的平分线交于点G，、的平分线交于点H．
     

求证：四边形EGFH是矩形．

小明在完成的证明后继续进行了探索，过G作，分别交AB，CD于点M，N，过H作，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．

18. 如图，在等腰三角形ABC中，，，点E是AH上一点，延长AH至点F，使求证：四边形EBFC是菱形．
    
     

19. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且求证：．
    
     

20. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，．
    求证：四边形OEFG是矩形；
    若，，求OE和BG的长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
    求证：；
    若E为AD中点，，求菱形ABCD的周长．

22. 如图，已知E、F分别是的边BC，AD上的点，且
    
    求证：四边形AECF是平行四边形；
    若四边形AECF是菱形，且，，求BE的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是48．

请证明发现的规律；

若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；

小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是直接判断他的说法是否正确．不必叙述理由






 

24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接过点C作交OE的延长线于点F，连接DF．
     

求证：；

四边形OCFD是矩形．






 

25. 已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形．
故选：B．
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．
 

2.【答案】B
 

【解析】略
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查基本作图，菱形的判定等知识，属于基础题．
根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
【解答】
解：由作图可知：，
四边形ACBD是菱形，
故选：D．  

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定．
首先证明四边形CDPE是平行四边形，然后证得即可．
【解答】
，，
四边形CDPE是平行四边形，，
平分，
，
，
，
平行四边形CDPE是菱形．
故选A．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义得出，故可得出▱AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．
【解答】
解：，，
四边形AEDF为平行四边形，
，
是的角平分线，
，
，
．
▱AEDF为菱形．
，即．
故选B．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主考查菱形的性质，考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半，属于基础题．
根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积两条对角线的乘积，即可求得菱形的面积．
【解答】
解：根据题意画出图形，如图所示：

四边形ABCD是菱形，
，，，，
又菱形的边长和一条对角线的长均为2，
，
，
，
，
菱形的面积为，
故选：D．  

7.【答案】D
 

【解析】解：A、，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
C、，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
D、，则，
平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
根据菱形的判定方法和矩形的判定方法即可作出判断．
本题考查了菱形的判定定理、平行四边形的性质、矩形的判定等知识，正确记忆定义和判定定理是关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形相似的判定．根据四边形相似要有对应角相等，对应边的比相等可对A、D进行判断；根据的角可能为顶角，也可能为底角可以对B进行判断；根据三角形相似的判定方法对C进行判断．

【解答】
解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，因为对应角不一定相等，所以A选项错误；
B、有一个角是的两个等腰三角形不一定相似，因为的角可能为顶角，也可能为底角，所以B选项错误；
C、两个直角三角形不一定相似，所以C选项错误；
D、有一个角是的两个菱形一定相似，所以D选项正确．
故选D．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长，再根据直角三角形的性质求出，得出，即可得出结论．
【解答】
解：如图所示：四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，

，，
，，
，
，
，
：：1；
故选C．  

10.【答案】C
 

【解析】解：在菱形ABCD中，，，
，
，
四边形OCED是平行四边形，
，
平行四边形OCED是矩形，
在菱形ABCD中，，
为等边三角形，
，，
在矩形OCED中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：；
故选：C．
先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
 

11.【答案】D
 

【解析】略
 

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质，考查直角三角形的性质，根据菱形的四条边相等，且对角线相互垂直，直角三角形斜边上的中线是其一半作答．
【解答】
解：因四边形ABCD是菱形，所以，且，故，
所以是直角三角形，又H为AD边的中点，
所以．
故选A．  

13.【答案】答案不唯一
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的判定，根据菱形的定义得出是解题关键．根据菱形的定义得出答案即可．
【解答】
解：邻边相等的平行四边形是菱形，
平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：；
故答案为：答案不唯一．  

14.【答案】
 

【解析】解：连接ED，如图，

点B的对称点是点D，
，
即为最短，
四边形ABCD是菱形，顶点，，
点D的坐标为，
点E的坐标为，
直线，
故答案为：．
点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为最短，解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．
 

15.【答案】25
 

【解析】解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
，，，，，
四边形BGDH是平行四边形，
平行四边形BGDH的面积，
，
四边形BGDH是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
四边形BGDH的周长；
故答案为：25．
由题意得出，，，，，证四边形BGDH是菱形，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．
设CE和x轴交于H，根据等边三角形的性质可知，根据勾股定理即可求出AH的长，再根据菱形的性质和含角的直角三角形的性质可求DH、AO的长，进而可求出OD，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．
【解答】
解：如图，设CE和x轴交于H，

是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，，
，
，
，
，
，
点D的坐标是．
故答案为：．  

17.【答案】证明：平分，
．

平分，
．
，

．
．
，
．
同理可得，．

平分，
．
平分，
．

点A、E、B在同一条直线上，
．
，即．
四边形EGFH是矩形．

答案不唯一平分，．

【解析】见答案
 

18.【答案】证明：，，
，
，
四边形EBFC是平行四边形，
又，
四边形EBFC是菱形．
 

【解析】根据题意可证得为等腰三角形，由，则，从而得出四边形EBFC是菱形．
本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
 

19.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
根据菱形的性质可得，，再证明≌，即可得．
 

20.【答案】解：四边形ABCD是菱形，
，，
是AD的中点，
，
，
，
，
，
四边形OEFG是平行四边形，
，
，
四边形OEFG是矩形；
四边形ABCD是菱形，
，，
，
是AD的中点，
；
由知，四边形OEFG是矩形，
，
，，
，
．
 

【解析】根据菱形的性质得到，，得到，推出，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形OEFG是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形EFGH是矩形，
，，
，
，，
，
四边形ABCD是菱形，
，
，
≌，
；
连接EG，

四边形ABCD是菱形，
，，
为AD中点，
，
，
，，
四边形ABGE是平行四边形，
，
四边形EFGH是矩形，
，
，
菱形ABCD的周长．
 

【解析】根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
连接EG，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形ABGE是平行四边形，得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形；
如图所示：

四边形AECF是菱形，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的性质．
首先由已知证明，，推出四边形AECF是平行四边形．
由已知先证明，即，从而求出BE的长．
 

23.【答案】证明：设中间的数为a．



．
解：设这五个数中最大数为x．
由题意，得．
解方程，得，不合题意，舍去．
．
答：这5个数中最大的数是29．
他的说法不正确．

解：设这5个数中最大数为y，则最小数为，

依题意，得：，

解得：，不合题意，舍去．

在第一列，

不符合题意，

小明的说法不正确．

【解析】本题考查数式规律问题，根据已知条件列处规律算式即可求解．
设中间数为a，列式求解即可；
设这五个数中最大数为x，列式求解及可；
说法不正确，举例说明即可求解．
 

24.【答案】证明：，
，
是CD中点，
，
在和中，

≌；
≌，
，
，
四边形OCFD是平行四边形，
四边形ABCD是菱形，
，
，
四边形OCFD是矩形．
 

【解析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，掌握性质和判定方法是解题关键．
根据平行线的性质得出，然后利用ASA求解即可；
根据全等三角形的性质得出，得出四边形OCFD是平行四边形，然后根据菱形的性质得出，进而即可得证．
 

25.【答案】解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
四边形ABCD是菱形，
，，
点E是AB的中点，
，
同理：，，，
，
点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
 

【解析】先判断出，，进而利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半判断出，同理：，，，进而得出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，四点共圆的判断方法，判断出是解本题的关键．