湘教版八年级下册2.7 正方形习题

这是一份湘教版八年级下册2.7 正方形习题，共27页。试卷主要包含了0分），【答案】B，【答案】D，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是( )
A. 1B. 12C. 22D. 32
已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A. OA=OC，OB=OD
B. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 四个角都是直角B. 四条边相等
C. 对角线相等D. 对角线互相平分
下列关于四边形的说法，正确的是( )
A. 四个角都是直角的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 有两边相等的平行四边形是菱形
D. 两条对角线相等的菱形是正方形
如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：
甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；
乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．
对于以上两种作法，可以做出的判定是( )
A. 甲正确，乙错误B. 甲、乙均正确
C. 乙正确，甲错误D. 甲、乙均错误
下列命题中正确的是( )
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
下列说法正确的是( )
A. 四条边相等的四边形为正方形
B. 四个角都相等的四边形为正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 2.5B. 5C. 322D. 2
下列命题中，真命题是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C. 直角三角形中，30°角所对直角边都等于斜边的一半
D. 对角线相等的平行四边形是正方形
如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形
D. 轴对称图形是正方形
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AC = AE，则∠BCE的度数是_______．
如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G′，连接DG、BF，给出以下结论：
①△DAG≌△DFG：②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=725，其中所有正确结论有：______．
如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE=56°，则∠CEF=______°.
如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
在正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，连接BP、DP．
(1)求证：BP=DP；
(2)如果AB=AP，求∠ABP的度数．
如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE=BF．
如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点(不与B、C重合)，DE⊥AG于点E，BF//DE，且交AG于点F．
(1)求证：AF−BF=EF；
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．
如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
(1)求证：∠ADB=∠CDB．
(2)若∠ADC= °时，四边形MPND是正方形，并说明理由．
如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4，2，求阴影部分的面积．
如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上(AE(1)求证：OM=ON．
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
如图，已知正方形ABCD中，E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE交直线AE于点F，连接BF．
(1)如图1，求证：CF+AF=2BF；
(2)如图2，图3，其他条件不变，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需证明．
如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
(1)试猜想AE与GC的位置关系和数量关系：______．
(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，
∴菱形ABC′D′的面积为12AB2，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是12．
故选：B．
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，再根据正方形的面积公式和菱形的面积公式即可得解．
本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：A、根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，该结论正确，此选项不符合题意；
B、当AB=CD时，四边形ABCD还是平行四边形，原来的结论错误，此选项符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断原来的结论正确，此选项不符合题意；
D、当AC=BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确，此选项不符合题意；
故选B．
3.【答案】B
【解析】解：根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等．
故选：B．
根据正方形、矩形的性质，即可解答．
本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平行四边形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定的有关知识，直接利用平行四边形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定定理对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A.四个角都是直角的四边形是矩形，故A错误；
B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B错误；
C.邻边边相等的平行四边形是菱形，故C错误；
D.两条对角线相等的菱形是正方形，故D正确．
故选D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了复杂作图以及正方形的判定方法，正确利用作图方法得出对应角的关系是解题关键．直接利用基本作图方法得出对应边以及对应角的关系，进而结合正方形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：由甲的作法可得：DF=AD=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//DC，∠A=90°，
∵DF= //AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形AEFD是矩形，
∵AD=AE，
∴矩形AEFD是正方形，
故甲的作法正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA=∠DAB=90°，
由乙的作法可得：∠ADN=∠MDN=∠DAM=∠NAM=45°，
则AD=AN=DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//DC，
∴DM= //AN，
∴四边形ANMD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴平行四边形ANMD是矩形，
∵AD=AN，
∴矩形ANMD是正方形，
故乙的作法正确．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选A．
真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
本题考查了真命题的概念以及平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能正确的判断正误．
7.【答案】C
【解析】因为菱形对角线互相垂直，所以对角线相等的菱形为正方形，因此C答案正确；
四条边都相等的四边形也可能是菱形，所以A答案错误；
四个角都相等的四边形可能是矩形，所以B答案错误；
一条对角线平分一组对角的四边形可能是菱形或者正方形，所以D答案错误．
故选：C．
根据正方形和菱形的判定，菱形对角线互相垂直，正方形对角线相等；既是矩形，又是菱形的四边形为正方形．
本题考查正方形，矩形，菱形的判定方法，判断一个四边形为正方形，菱形，矩形主要根据它的概念．
8.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质及等腰直角三角形的判定和性质.解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.
由旋转前后的对应角相等可知，∠DFC=∠BEC=60°；一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，把这两个角作差即可．
【解答】
解：由题意得EC=FC，∠DCF=90°，∠DFC=∠BEC=60°，
∴∠EFC=45°，
∴∠EFD=15°．
故选B．

9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理求出AF，
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=2，CF=32，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF=AC2+CF2=22+(32)2=25，
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF=12×25=5．
故选B．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，含30度角的直角三角形的性质，难度不大．
利用平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、，含30度角的直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故错误，是假命题；
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
C.直角三角形中，30°角所对直角边都等于斜边的一半，正确，是真命题；
D.对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，
故选C．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，勾股定理．
由图可得，S1的边长为3，由AC=2BC，BC=CE=2CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=22；然后分别算出S1、S2的面积，即可解答．
【解答】
解：如图，
设正方形S2的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴AC2=BC2+AB2=2BC2，
∴AC=2BC，
同理可得：BC=CE=2CD，
∴AC=2BC=2CD，
又AD=AC+CD=6，
∴CD=63=2，
∴EC2=22+22，即EC=22，
∴S2的面积为EC2=22×22=8，
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S1的边长为3，
∴S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=9+8=17．
故选B．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定定理，邻边相等的矩形是正方形，和翻折变换．将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，可得到BA=BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形．
【解答】
解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA=BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∵BA=BF，
∴四边形ABFE为正方形．
故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形．
故选A．

13.【答案】22.5°
【解析】
【分析】
此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE−∠ACB得出∠BCE的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=12(180°−∠CAE)=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE−∠ACB=22.5°．
故答案为22.5°．

14.【答案】①②④
【解析】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
AD=DFDG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL)，故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12−x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：(x+6)2=62+(12−x)2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
S△GBE=12×6×8=24，S△BEF=EFEG⋅S△GBE=610×24=725，故④正确．
故答案为①②④．
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，问题得解．
本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
15.【答案】22
【解析】解：∵正方形ABCD中，∠BAE=56°，
∴∠DAF=34°，∠DFE=56°，
∵AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DCE=∠DAF=34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF=∠DFE−∠DCE=56°−34°=22°，
故答案为：22．
根据正方形的性质，即可得到∠DAF=34°，∠DFE=56°，依据全等三角形的对应角相等，即可得到∠DCE=∠DAF=34°，再根据三角形外角性质，即可得到∠CEF的度数．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16.【答案】85
【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∵AE=CF=2，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE=DF=BE=BF，
∵AC=BD=8，OE=OF=8−42=2，
由勾股定理得：DE=OD2+OE2=42+22=25，
∴四边形BEDF的周长=4DE=4×25=85，
故答案为：85．
连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
17.【答案】证明：(1)∵四边形ABC是正方形，
∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=45°，
在△ABP和△ADP中
AB=AD∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∴BP=DP，
(2)∵AB=AP，
∴∠ABP=∠APB，
又∵∠BAP=45°，
∴∠ABP=67.5°．
【解析】(1)证明△ABP≌△ADP，可得BP=DP；
(2)证得∠ABP=∠APB，由∠BAP=45°可得出∠ABP=67.5°．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用图形的性质证明问题．
18.【答案】解：在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵CE=DF，
∴BE=CF，
在△AEB与△BFC中，
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF，
∴△AEB≌△BFC(SAS)，
∴AE=BF．
【解析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质结合已知条件可证明△AEB≌△BFC(SAS)，然后根据全等三角形的性质即可求出答案．
19.【答案】解：(1)证明：∵正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又∵BF//DE，
∴∠BFA=90°=∠AED，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AF=DE，AE=BF，
∴AF−BF=AF−AE=EF；
(2)不可能，理由是：
如图，若要四边形是平行四边形，
已知DE//BF，则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE=AF，
∴BF=AF，即此时∠BAF=45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形不能是平行四边形．
【解析】(1)证明△ABF≌△DAE，从而得到AF=DE，AE=BF，可得结果；
(2)若要四边形是平行四边形，则DE=BF，则∠BAF=45°，再证明∠BAF≠45°即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三角形全等的条件．
20.【答案】解：(1)证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
．
∴∠ADB=∠CDB．
(2)90∘；
理由：∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∠ADC=90∘，
∴∠PMD=∠PND=∠ADC=90∘．
∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM=PN．
∴四边形MPND是正方形．
【解析】见答案．
21.【答案】解：∵长方形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，∴两个正方形的边长分别是2，2，∴阴影部分的面积=2×2−2=22−2．
【解析】略
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，
∴∠OAM=∠OBN=135°．
∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∴△OAM≌△OBN(ASA)，
∴OM=ON．
(2)解：如图，过点O作OH⊥AD于点H．
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OH=HA=2．
∵E为OM的中点，
∴HM=4．
则OM=22+42=25，
∴MN=2OM=210．
【解析】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
(1)根据正方形对角线性质和∠EOF=90°，可以得到OA=OB、∠AOM=∠BON，∠OAM=∠OBN，证△OAM≌△OBN即可得；
(2)作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2，HM=4，再根据勾股定理得OM=22+42=25，由直角三角形性质知MN=2OM．
23.【答案】证明：(1)如图1，延长FC至H，使CH=AF，连接BH，

∵CF⊥AE，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠FCB=180°，
∵∠FCB+∠BCH=180°，
∴∠BCH=∠FAB，
在△ABF和△CBH中，
AB=CB∠FAB=∠HCBAF=CH，
∴△ABF≌△CBH(SAS)，
∴∠ABF=∠CBH，BF=BH，
∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=∠CBH+∠CBF=90°=∠FBH，
∴△FBH是等腰直角三角形，
∴FH=2FB，
∴FC+AF=2BF；
(2)图2，AF−CF=2BF；
理由如下：如图2，在线段AF上截取AH=CF，连接BH，

∵AF⊥CF，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴∠DAF+∠DCF=180°，
∴∠DAF+∠BCF=90°，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠BAH=∠BCF，
在△ABH和△CBF中，
AB=BC∠BAH=∠BCFAH=CF，
∴△ABH≌△CBF(SAS)，
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∴∠ABC=∠ABH+∠CBH=∠CBF+∠CBH=∠FBH=90°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=2BF，
∴AF−CF=2BF；
图3，CF−AF=2BF；
理由如下：如图3，在线段CF上截取CH=AF，连接BH，

同理可证△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=2BF，
∴CF−AF=2BF．
【解析】(1)延长FC至H，使CH=AF，连接BH，由“SAS”可证△ABF≌△CBH，可得∠ABF=∠CBH，BF=BH，可证△BFH是等腰直角三角形，可得结论；
(2)方法同上．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】(1)AE⊥GC，AE=GC；
(2)答：成立；
证明：如图2中，延长AE和GC相交于点H．
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°−∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，AE=CG，
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°−∠DCE=180°−90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．
【解析】
【分析】
本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定和性质．需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
(1)观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1=∠2，AE=CG，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．
(2)题(1)的结论仍然成立，参照(1)题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，AE=CG，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由图知∠AEB=∠CEH=90°−∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得证．
【解答】
解：(1)答：AE⊥GC；
证明：如图1中，延长GC交AE于点H．
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2，AE=GC，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°−(∠1+∠3)=180°−90°=90°，
∴AE⊥GC．
故答案为AE⊥GC，AE=GC．
(2)见答案．
25.【答案】解：(1)如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FMEEN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形；
(2)CE+CG的值为定值，
理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG，
∴AC=AE+CE=2AB=2×42=8，
∴CE+CG=8是定值．
【解析】(1)过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，即可得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF，即可得证；
(2)同(1)的方法证出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=8即可．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．