2020-2021学年第2章 圆2.5 直线与圆的位置关系优秀课堂检测

2.5直线与圆的位置关系同步练习湘教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在中，，，，以C为圆心，以5cm为半径作圆，则此圆和斜边AB的位置关系是

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切

2. 如图，AB是的切线，A为切点，连接OA，OB，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

3. 如图，PA，PB分别与相切于A、B两点．直线EF切于C点，分别交PA、PB于E、F，且则的周长为

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

4. 如图，AB是的直径，PA切于点A，连接PO并延长交于点C，连接AC，若，，则
    

A.  B.  C. 4 D. 3

5. 如图，PA、PB、分别切于A、B两点，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，在中，，，，以EF的中点O为圆心，作半圆与DE相切，点A、B分别是半圆和边DF上的动点，连接AB，则AB的最大值与最小值的和是

A. 6 B.  C.  D. 9

7. 如图，AB为的切线，点A为切点，OB交于点C，点D在上，连接AD、CD，OA，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若，则的大小为

A.
B.
C.
D.

9. 已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则PQ的最小值是

A.
B.
C.
D. 2

10. 如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，连接AB，若，则的度数 

A.
B.
C.
D.

11. 如图，AB是的弦，AC是的切线，A为切点，BC经过圆心，若，则的大小等于

A.  B.  C.  D.

12. 如图，AB是的直径，直线DA与相切于点A，DO交于点C，连接若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，已知的半径为2，弦，点P为优弧上动点，点为的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为______．
    
     

14. 设O为的内心，若，则______
15. 如图，的半径为5，直线AB与相切于点A，AC、CD是的两条弦，且，，则弦AC的长为______．
    
     

16. 如图，已知PA、PB分别切于点A、B，CD切于点E，，，则的周长为          ．

17. 如图，在矩形ABCD中，，，M是BC的中点，N是AD上一点若以点D为圆心，DN为半径作圆与线段AM仅有一个公共点，则DN的长的取值范围是
    ______ ．
     

18. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则菱形ABCD的内切圆半径为________．
    
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作，垂足为点E．
    求证：≌；
    判断直线DE与的位置关系，并说明理由．
     

20. 如图，已知AB是的直径，经过的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，，连接AF．
    求证：直线CD是切线．
    若，，求的值．

21. 如图，是的内接三角形，，请用无刻度的直尺按要求作图．
    如图1，请在图1中画出弦CD，使得．
    如图2，AB是的直径，AN是的切线，点B，C，N在同一条直线上请在图中画出的边AN上的中线BD．

22. 如图，在中，，点D为BC边的中点，以AD为直径作，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作于G．
    求证：EG是的切线；
    若，的半径为5，求BE的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，以AB为直径的与BC相交于点D，过点D作的切线交AC于点E．
    求证：；
    若的半径为5，，求DE的长．

24. 如图，是的外接圆，AB为直径，，CD是的切线，于F．
    判断的形状并证明；
    设的半径为1，且，求证：≌．

25. 已知AB是的直径，点P是AB延长线上的一点．
    如图1，过P作的切线PC，切点为作于点D，求证：；
    如图2，过P作的割线，交点为M、N，作于点D，求证：．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：由勾股定理得，
再根据三角形的面积公式得，斜边上的高，
斜边上的高，
，
与AB相交．
故选：A．
根据题意可求得直角三角形斜边上的高，再根据直线和圆的位置关系，判断圆心到直线AB的距离与5cm的大小关系，从而确定与AB的位置关系．
本题考查了直线和圆的位置关系，解决的根据是直线和圆相离圆心到直线的距离大于圆的半径．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：是的切线，A为切点，
，
，
，
故选：D．
根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出的周长．
由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果．
【解答】
解：、PB分别与相切于点A、B，的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
，，，
的周长．
故选：C．  

4.【答案】A
 

【解析】解：切于点A，
，
，
在中，，
，，
，
而，
，
．
故选：A．
先根据切线的性质得，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到，接着计算出，从而得到．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：是圆的切线．
，
同理，
根据四边形内角和定理可得：
，
．
故选：C．
连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得，的度数，根据四边形的内角和定理即可求的的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得的度数，是解决本题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：如图所示，设与DE相切于点C，连接OC，作于点B，交于点A，此时AB最小，为，当A在N处，B在F处时，AB最大，就是FN的长，

，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：
，，
，
，
，
的最小值是：，
AB的最大值是：，
的最大值与最小值的和是：；
故选：D．
先确定AB的最大值与最小值，作辅助线，构建矩形OCDB，则此时AB最小，图中FN就是AB的最大值，根据勾股定理和中位线定理可得结论．
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点AB取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】
解：为圆O的切线，
，即，
，
，
．
故选B．  

8.【答案】C
 

【解析】解：在中，，
，
点E是的内心，
，
，
．
故选：C．
根据圆周角定理可求，再根据三角形内心的定义可求，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求，再根据三角形内角和定理可求的度数．
本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到的度数．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：过点C作直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点到直线l的距离，
的半径为1，
，
故选：B．
求出点到直线的距离d即可求得PQ的最小值．
本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：连接OA，

由圆周角定理得，，
是的切线，
，
，
故选：B．
连接OA，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是连接OA，
先根据等腰三角形的性质得所以，根据切线的性质和直角三角形的性质即可求得的度数．
【解答】

解：连接OA，中，，所以，
因为是的外角，所以，又因为AC是的切线，所以，在中，，故选C．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据切线的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【解答】
解：，
，
，
是的直径，直线DA与相切与点A，
，
．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】解：连接OB，OA，过O作，

，
，
，
，
，
，
连接IA，IB，
点I为的内心，
，，
，
，
点P为弧AB上动点，
始终等于，
点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上运动，
设A，B，I三点所在的圆的圆心为，
连接，，
则，
，
，
连接，
，
，
，
点I移动的路径长
故答案为：
连接OB，OA，过O作，得到，求得，连接IA，IB，根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和得到，设A，B，I三点所在的圆的圆心为，连接，，得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，解直角三角形得到，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，得出点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上是解答此题的关键．
 

14.【答案】114
 

【解析】解：是的内心，
，OC分别平分，，
，
．
故答案为：114；
利用内心的定义，OB，OC都是角平分线，因此可求出与的和，从而得到的度数．
此题主要考查了三角形的内心性质，理解三角形内心的定义，记住三角形内角和定理是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接OA，并反向延长OA交CD于点E，
直线AB与相切于点A，
，
又，
，
即，
，
，
连接OC，则，
在中，，
，
则．
故答案为：．
连接OA，并反向延长OA交CD于点E，连接OC，由AB是圆的切线知，结合可得，从而得出，中求得及，在中，由可得出答案．
本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理．
 

16.【答案】24
 

【解析】

【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长长度相等，圆心和这一点的连线，平分这两条切线的夹角，由切线长定理可得，，，由于的周长，所以的周长，故可求得三角形的周长．

【解答】解：PA是O的切线，点A是切点，PAOA，．
PA、PB为圆的两条相交的切线，．
同理可得，．
PCD的周长，
PCD的周长．  

17.【答案】或
 

【解析】解：当与线段AM相切时，如图1，设切点为Q，则，
由题意可知，，
是矩形，
，
，
又是AB的中点，，
，在中，
，
，，
，
设，则，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
即时，与线段AM相切，与线段AM仅有一个公共点；
当过线段AM的端点A时，如图2，此时与线段AM有两个公共点的最小临界值，
，
当过线段AM的端点M时，如图3，此时与线段AM有两个公共点的最大临界值，
过点M作，垂足为P，
设，则，，由勾股定理得，
，
即，
解得，
因此时，与直线AM相交，而与线段AM仅有一个公共点，
综上所述，当或时，与线段AM仅有一个公共点，
故答案为：或．
因为与线段AM仅有一个公共点，所以分两种情况进行解答，第一种．与线段AM相切，第二种，与线段AM相交，且只有一个公共点，分别画出相应的图形，借助切线的性质，直角三角形的边角关系进行解答即可．
本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系是解决问题的前提，画出相应情况的图形是解决问题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积及其内切圆的性质，设菱形的内切圆与AD相切于点H，连接OH，利用菱形的性质和勾股定理求出AD的长，然后由三角形的面积列式计算即可．
【解答】
解：如图，设菱形的内切圆与AD相切于点H，连接OH，

，
四边形ABCD是菱形，，，
，，，
，
，
即，
．
故答案为．  

19.【答案】证明：为的直径，
，
在和中，
≌；
直线DE与相切，理由如下：
连接OD，如图所示：

由≌知：，
又，
为的中位线，
，
，
，
为的半径，
与相切．
 

【解析】为的直径得，结合，用HL证明全等三角形；
由≌得，结合得OD为的中位线，由得，可得直线DE为切线．
本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连结OF，BE，如图：
是的直径，
，
，
，
，
点F是弧BE的中点，
，
，
为半径，
直线DF是的切线；
解：，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
，，
，即，
解得：，
．
 

【解析】连结OF，BE，得到，根据平行线的性质得到，即可得出结论；
由相似三角形的性质求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，即可得出结果．
本题考查的是切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数定义等知识；掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键．
 

21.【答案】
如后一个图：即为所求作的图形，使得．
如前一个图：即为所求作的图形．
的边AN上的中线BD．
 

【解析】利用直尺即可作图；
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．
 

22.【答案】证明：如图，连接EF，
，
是的直径，
，
，
点D是的斜边BC的中点，
，
，
，
，
，
，
点E在上，
是的切线；

的半径为5，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
由知，
，
．
 

【解析】先判断出EF是的直径，进而判断出，即可得出结论；
先根据勾股定理求出AE，再判断出，即可得出结论．
此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

23.【答案】证明：连接AD、OD．

是圆O的直径，
．
．
是圆O的切线，
．
．
．
，
．
．
，，
．
，
．
．
．
解：，，
，
的半径为5，，
，，
，
，
．
 

【解析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
连接AD、先证明，，从而可证明，由可得到，由等腰三角形的性质可知，故此，由三角形的内角和定理可知，于是可得到．
由等腰三角形的性质求出，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
 

24.【答案】解：，
．
又，
是正三角形．
又是切线，
．
．
而于F，
．
故为等腰三角形．

证明：是的切线，
，
，，
，．
，C，E三点同线
在中，
，，
．
，
．
又，
，
，
而；
故≌．
 

【解析】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
易得是正三角形，故有，由和平角的概念可得，所以；进而可知此三角形为等腰三角形．
由勾股定理求得，然后由直角三角形的性质，求得，即可证得≌．
 

25.【答案】证明：Ⅰ如图1，连接OC，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
即；
Ⅱ如图2，连接BM，

是的直径，
，
，
，
时的内接四边形，
，
，
即．
 

【解析】Ⅰ根据切线的性质和平行线的性质证明即可；
Ⅱ连接利用直径和内接四边形的性质解答即可．
此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和平行线的性质证明．