初中冀教版24.4 一元二次方程的应用习题

24.4一元二次方程的应用同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为

A.
B.
C.
D.

2. 受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程

A.  B.
C.  D.

3. 今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为40m，若将短边增长到长边相等长边不变，使扩大后的绿地的形状是正方形，且面积比原来增加设原来绿地的长边为，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

4. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为

A.  B.
C.  D.

5. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

6. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为

A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人

7. 某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为

A.  B.
C.  D.

8. 某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由降至，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为  

A.  B.
C.  D.

9. 某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有

A.  B.
C.  D.

10. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

12.     国庆庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送90张，则参加活动的有___ 人．

A. 5 B. 9 C. 10 D. 12

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 一款手机连续两次降价，价格由原来的1300元下降了468元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______．
14. 某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程______ ．
15. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为______辆．
16. 在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工______人．
17. 1275年，我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为______．
18. 某山区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达到90万人次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次平均增长率都为x，根据题意列出方程是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长，墙对面有一个宽的门，另三边用篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
    
    要围成养鸡场的面积为150 ，则养鸡场的长和宽各为多少
    围成养鸡场的面积能否达到200 请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 山水旅行社的一则广告如下：我社组团去A风景区旅游，收费标准为如果人数不超过30，人均旅游费用为800元如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元某公司组织一批员工到A风景区旅游，支付给旅行社28000元．
    该公司的人数            填“大于”“小于”或“等于”
    如果设该公司的人数为x，用含x的代数式表示人均旅游费用为                    元填化简结果
    求中的x的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 中，，，，点P从点A开始沿边AB向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
    填空：______，______用含t的代数式表示；
    当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
    是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长，宽的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为，则小路的宽应为多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价
    若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？
    单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？
    
    
    
    
    
    
     
24. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同
    求每次下降的百分率；
    若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
    
    
    
    
    
    
     
25. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
    为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
    如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：，
故选：C．
根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量增长率年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：依题意，得：．
故选：D．
根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：设原来绿地的长边为，根据题意得
，
故选：A．
设原来绿地的长边为，根据“扩大后的绿地面积比原来增加”建立方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：依题意，得：，即．
故选：C．
若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选D．

6.【答案】C
 

【解析】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：．
故选：D．
设月平均增长率为x，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量年平均增长率增长后的量．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键在于找准等量关系，等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，由此可列方程．

【解答】

解：设平均每次降息的百分率为x，由题意得

．

故选D．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，是增长率的问题，解题的关键利用了增长率的公式由于某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，那么二、三月份分别生产吨、，由此即可列出方程．
【解答】
解：依题意得
．
故选B．  

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】

解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：，
即．
故选D．

11.【答案】C
 

【解析】略
 

12.【答案】C
 

【解析】解：设参加活动的有x人，则根据题意得：
，
，
，
解得：，舍去，
参加活动的共有10人，
故ABD错误
故选：C．
设参加活动的有x人，根据题干中共送出90张即可列出方程，求出x即可．
本题考查一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为，第二次降价后售价为，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
【解答】
解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得
．
故答案为：．  

14.【答案】
 

【解析】解：设植树面积年平均增长率为x，
那么两年后的植树面积，
根据题意可得出方程：．
故答案是：．
本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设植树面积年平均增长率为x，那么两年后的植树面积，根据“两年内植树面积由30万亩增加到42万亩”可得出方程．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
 

15.【答案】1331
 

【解析】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得：
，
解得，不合题意，舍去，
则该厂四、五月份的月平均增长率为．
所以六月份的产量为：辆
故答案是：1331．
设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是，五月份的产量是，据此列方程解答即可．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
 

16.【答案】50
 

【解析】解：设这个公司有员工x人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：50．
设这个公司有员工x人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：长为x步，宽比长少12步，
宽为步．
依题意，得：．
由长和宽之间的关系可得出宽为步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：依题意得第二年培训的人数为，
第三年培训的人数为，
则三年的总人数为．
故答案为：．
可根据原有人数增长率增长后的人数，再将三年的所有人数加起来，令其等于90即可列出方程．
本题本题考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常根据原有人数增长率增长后的人数来列方程．
 

19.【答案】设养鸡场的宽为，则长为．
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
当时，，
当时，舍去．
答：养鸡场的宽为，长为．

不能理由：
设养鸡场的宽为，则长为．
根据题意，得，
整理，得．
，
方程没有实数根，
围成养鸡场的面积不能达到200 ．
 

【解析】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，根据题意列出方程是解答本题的关键．
设养鸡场的宽为，则长为，根据题意列出，即可解答；
设养鸡场的宽为，则长为，根据题意列出，再利用根的判别式即可解答．
 

20.【答案】大于




 

【解析】，
该公司的人数大于30．

根据题意，得．

由题意，得，整理，得，解得，．
，，．
 

21.【答案】2t 
 

【解析】解：由题意，得
，．
故答案为：2t，．

在中，由勾股定理，得
，
解得：
，．

由题意，得
，
解得：
，不符合题意，舍去，
当时，的面积等于．
根据路程速度时间就可以表示出BQ，再用就可以求出PB的值．
在中由结论根据勾股定理就可以求出其值．
利用的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
 

22.【答案】解：设小路的宽应为xm，
根据题意得：，
解得：，．
，
不符合题意，舍去，
．
答：小路的宽应为1m．
 

【解析】设小路的宽应为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意得出方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：设降低x元销售，由题意得：

解得：
元
答：销售价格应定为6元．
设单价降低x元销售，由题意得：

化简得：


第二天每个饰品的销售价格为9元．
 

【解析】设降低x元销售，由总数300减去第一天销售的，再减去第二天销售的，等于0，列一元一次方程，求解即可；
设单价降低x元销售，根据第一天的利润加第二天的利润，再加上清仓利润等于625元，得方程，求解即可．
本题考查了一元一次方程和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系，正确列式，是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
，
解得：舍或，
答：每次下降的百分率为；

设每千克应涨价x元，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
 

【解析】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
设每次降价的百分率为a，为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
 

25.【答案】解：设与墙垂直的一面为x米，另一面则为米
根据题意得：
整理得：
解得或，
当时，舍去
当时，
长为10米，宽为8米．

设宽为a米，根据题意得：，
，
解得：舍去，，
答：小路的宽为1米．
 

【解析】设与墙垂直的一面为x米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为80列出方程求解即可；
设小路的宽为a米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．