初中冀教版24.4 一元二次方程的应用教案

24.4一元二次方程的应用（3）

教学目标

【知识与能力】

1.会根据具体问题,找到单循环赛及利润问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解.

2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.

3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.

【过程与方法】

1.探索实际问题中的等量关系,经历实际问题转化为数学问题的过程,进一步体会数学中的建模思想.

2.培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过根据实际问题列方程,体会数学与生活息息相关.

【情感态度价值观】

1.通过用一元二次方程解决实际问题,体会数学知识的应用价值,激发学生的学习兴趣.

2.进一步培养学生合作的意识和主动探索事物内在联系及变化规律的习惯.

教学重难点

【教学重点】

列一元二次方程解单循环赛问题、利润问题的应用题.

【教学难点】  

在实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.列一元一次方程解应用题都有哪些步骤?

(①审题;②设未知数;③找相等关系;④列方程;⑤解方程;⑥答)

2.列方程解应用题的关键是什么?

(读懂题意,找到题目中的等量关系)

【师生活动】　学生回答,教师点评.

导入二:

有m个球队进行足球比赛,采用单循环赛的形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,那么这m个球队共赛多少场?

【师生活动】　学生独立思考后小组讨论,对学生的展示教师及时引导和点评.

[设计意图]　通过复习旧知识及讨论足球单循环赛问题,为继续学习一元二次方程的应用做好铺垫,以学生们感兴趣的足球赛导入新课,感受生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣,提高学生在日常生活中应用数学解决问题的意识.

二、新知构建：

　　[过渡语]　我们知道了什么是单循环赛,让我们一起探究下面足球单循环赛的问题吧!

一起探究　一元二次方程解单循环赛问题

【课件展示】　某少年宫组织一次足球赛,采取单循环的比赛形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢?

思路一

教师引导学生思考并回答:

设应邀请x支球队参加比赛.

(1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”,每支足球队要比赛　　　　场. 

(2)用含x的代数式表示比赛的总场数为　　　　.于是可得方程　　　　. 

(3)解这个方程并检验结果.

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,教师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,让学生独立完成解答过程,教师点评板书,规范解题格式.

【课件展示】

解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场.

根据题意可得x(x-1)=28,

化简得x2-x=56,

解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去),

答:应邀请8支球队参加比赛.

思路二

小组活动,共同探究,思考下列问题:

(1)分析题意,题中的已知条件是什么?

(2)分析题意,题中的等量关系是什么?

(3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程?

【师生活动】　教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.

【课件展示】

解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场.

根据题意可得x(x-1)=28,

化简得x2-x=56,

解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去),

答:应邀请8支球队参加比赛.

[设计意图]　在教师设计的问题的引导下,通过小组活动,让学生亲身经历建立数学模型的过程,感受数学在实际生活中的应用,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.

例题讲解

【课件展示】

　(教材51页例4)某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元,则该顾客实际购买了多少个路灯?

思路一

教师引导分析:

(1)若顾客实际购买的路灯数量是80个,则所需费用为　　　　元. 

(2)若顾客一次性购买路灯用去516000元,则所买路灯数量　　　　80个. 

(3)设该顾客购买这种路灯x(x>80)个,路灯数超出80个的数量是　　　　个,每个路灯可降价　　　　元,则每个路灯的单价是　　　　元. 

(4)题目中的等量关系是　　　　. 

(5)根据等量关系可列方程　　　　. 

(6)解方程,并检验根是否都符合题意.

【师生活动】　学生在教师的引导下分析,对问题(3)可进行小组讨论交流,然后独立完成解答过程,小组代表展示,教师规范解题的格式,并进行点评.

解:因为4000×80=320000<516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.

设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4000-8(x-80)]元/个.

根据题意,得x[4000-8(x-80)]=516000.

整理,得x2-580x+64500=0.

解这个方程,得x1=150,x2=430.

当x=430时,4000-8(x-80)=4000-8×(430-80)=1200(元),低于3200元.不合题意,舍去.

答:该顾客实际购买了150个路灯.

思路二

【思考】

(1)一次性购买路灯用去516000元,购买路灯数量是否超过80个?

(2)若设顾客购买路灯x个,则超过80个的数量是多少?每个路灯可降价多少元?每个路灯的单价是多少?

(3)题目中的等量关系是什么?能否根据等量关系列出方程?

(4)解方程,并检验答案是否符合题意.

【师生活动】　小组合作交流,共同探究,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示解题过程,教师规范解题格式.

【课件展示】

解:因为4000×80=320000<516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.

设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4000-8(x-80)]元/个.

根据题意,得x[4000-8(x-80)]=516000.

整理,得x2-580x+64500=0.

解这个方程,得x1=150,x2=430.

当x=430时,4000-8(x-80)=4000-8×(430-80)=1200(元),低于3200元.不合题意,舍去.

答:该顾客实际购买了150个路灯.

[设计意图]　该例题的难度有所增加,教师在引导学生分析过程中,以层层递进的问题帮助学生正确理解题意,并指导正确用未知数表示等量关系中涉及的量,从而建立方程模型求解,在共同分析、解答的过程中提高学生分析问题及解决问题的能力.

练一练:

经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋,如果售价为a元/双,那么可以卖出这种运动鞋(350-10a)双.物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%.如果该商店卖完这批鞋赚得400元,那么该商店每双鞋的售价是多少元?这批鞋有多少双?

【师生活动】　学生独立完成后小组内交流答案,学生展示成果后,教师点评.

【课件展示】

解:根据题意,可得(350-10a)(a-21)=400,

化简可得a2-56a+775=0,

解得a=25或a=31,

因为售价不得超过进价的120%,即21×120%=25.2(元),

所以a=25,

共卖出350-10×25=100(双).

答:该商店每双鞋的售价是25元,这批鞋有100双.

三、课堂小结：

1.单循环赛问题中的等量关系:

比赛总场数=x×(x-1)÷2(x为球队个数).易错点是列方程时忽略除以2.

2.利润问题中的等量关系:

利润=(售价-进价)×销售量.

2.解决较为复杂的应用题时,要认真读懂题意,正确找到等量关系并准确表达,建立方程模型,并检验解出的根是否符合题意.