初中数学冀教版九年级上册24.3 一元二次方程根与系数的关系课后测评
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24.3一元二次方程根与系数的关系同步练习冀教版初中数学九年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 设一元二次方程的两根为、，则的值为
A. B. C. D.
- 若一元二次方程的两根为，，则的值是
A. 4 B. 2 C. 1 D.
- 设m、n是方程的两个实数根，则的值为
A. 2008 B. 2009 C. 2010 D. 2011
- 若，且，，则的值为
A. B. 1 C. D. 3
- 关于x的方程有实数根，则下列结论正确的是
A. 当时，方程的两根互为相反数
B. 当时，方程的根是
C. 若方程有实数根，则且
D. 若方程有实数根，则
- 有两个一元二次方程M：；N：，其中，下列四个结论中正确的个数有
如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N没有实数根
如果方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同
如果5是方程M的一个根，那么5也是方程N的一个根
如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个跟必是
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
- 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为
A. 0 B. 1 C. 2021 D. 2020
- 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是
A. 0 B. C. 0 或 D. 或0
- 设，是一元二次方程的两根，则的值为
A. 6 B. 8 C. 14 D. 16
- 己知实数m，n满足，，且，则
A. B. C. 3 D. 7
- 若和为一元二次方程的两个根．则值为
A. B. 2 C. 4 D. 3
- 关于x的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则m的值为
A. B. C. D. 0
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
- 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
- 已知是方程的一个根，则它的另一个根为______．
- 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．
- 一元二次方程的两根分别为，，则的值为______．
- 已知，是一元二次方程的两根，则______．
- 对于任意实数a、b，定义：若方程的两根记为m、n，则______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
- 已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根．
求a的取值范围；
若是负整数，求实数a的整数值．
- 已知关于x的方程有两实数根．
求k的取值范围；
设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
- 先化简，再求值：，其中x为方程的根．
若m为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a、b，求代数式的最大值．
- 已知关于x的方程有实数根．
求k的取值范围；
设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
- 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
求k的取值范围；
若，求k的值．
- 已知关于x的一元二次方程．
求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根，满足，求k的值．
- 已知关于x的一元二次方程．
求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
若方程有两个实数根，，且，求m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：一元二次方程的两根为、，
．
故选：A．
由于一元二次方程的两根为、，直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
此题主要考查了根与系数的关系，比较简单，直接利用根与系数的关系即可解决问题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：A．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到，变形得到，则原式化简为，然后根据根与系数的关系求解．
【解答】
解：是方程的实数根，
，
，
原式
、n是方程的两个实数根，
，
原式．
故选D．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知：a、b是方程的两个不同的实数根，
由根与系数的关系可知：，，
，，
原式
，
故选：B．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．
5.【答案】D
【解析】解：若，则此方程为，所以方程有实数根为，则B错误；
若，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
，
且；
综上所述k的取值范围是．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程，所以方程有两种情况，既可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分两种情况分别去求k的取值范围，然后结合选项判断选择什么．
本题首先应该分类讨论，然后利用根的判别式及不等式来解决问题．
6.【答案】D
【解析】解：方程M有两个相等的实数根，，
方程N的，方程N也有两个相等的实数根，故结论错误；
方程M的两根符号相同，，且，，且，方程N的两根符号也相同，故结论正确；
把代入得：，
，是方程N的一个根；故结论错误；
方程M和方程N有一个相同的根，，
，
，，，
即这个根可能是；故结论错误．
故选：D．
一元二次方程有两个相等的实数根，则，对于方程，，则方程N也有两个相等的实数根；
利用和根的判别式进行判断即可；
把代入得：，等式的两边同除以25得到，于是得到是方程N的一个根；
如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解．
7.【答案】D
【解析】解：，b是方程的两个不相等的实数根，
，，
．
故选：D．
由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出、，将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解及根与系数的关系，找出、是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：方程的两个根分别是，，
，，
，即，
，
解得或，
，
为任意实数，方程均有实数根，
或均符合题意．
故选：C．
先根据韦达定理得出，，将其代入到，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
9.【答案】C
【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，
原式
故选：C．
由根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
10.【答案】A
【解析】解：实数m，n满足，，且，
、n为方程的两个根，
，，
．
故选A．
根据实数m，n满足，，且，可得出m、n为方程的两个根，由根与系数的关系可得出、，将通分代入数据后即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握“，”是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
故选：B．
先根据方程求出两根之和与两根之积的值，然后再根据，代入求值．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
，
，
把代入得：，
解得：，此时，符合题意，
故选：A．
13.【答案】2028
【解析】，是方程的两个实数根，
，，即，
则原式．
故答案为2028．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
【解答】
解：的一个根为，
另一个根．
故答案为．
15.【答案】2028
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，即，
则原式
，
故答案为：2028．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式计算可得．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
16.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
则原式，
故答案为：．
由根与系数的关系得出，，代入到原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，根据，是方程的两根时，得出，代入计算可得．
【解答】
解：，是一元二次方程的两根，
，
则，
故答案为：．
18.【答案】6
【解析】解：，
、n为方程的两个根，
，，
．
故答案为：6．
根据新定义可得出m、n为方程的两个根，利用根与系数的关系可得出、，将其代入中即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
19.【答案】解：原方程有两实数根，
且．
、是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，，
．
是负整数，
是负整数，即是正整数．
是整数，
的值为1、2、3或6，
的值为7、8、9或12．
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于a的一元一次不等式组；根据根与系数的关系结合是负整数，找出是正整数．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
根据根与系数的关系结合是负整数，即可得出是正整数，再由a为整数，即可求出a值．
20.【答案】解：，
．
由题意可知：，，
，
，
，
或，
由可知：舍去，
．
【解析】根据根的判别式即可求出答案．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于中档题．
21.【答案】解：原式
，
，
解得，，
当时，原式不成立，
当时，原式；
，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，
可得，，．
解得：，．
，．
．
，
，
当时，取最大值，最大值为25，
代数式的最大值．
【解析】先化简分式，然后解不等式组，取合适的值代入求值；
根据根的判别式求解．
本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
22.【答案】解：原方程有实数根，
，
；
，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又，
，
，
，
解之，得：经检验，都符合原分式方程的根，
，
．
【解析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围即可；
根据根与系数的关系得出方程解答即可．
23.【答案】解：由题意可知，，
整理得：，
解得：，
的取值范围是：．
故答案为：．
由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，，
又由中可知，
的值为．
故答案为：．
【解析】根据建立不等式即可求解；
先提取公因式对等式变形为，再结合根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解法等知识点，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
24.【答案】解：
，
无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
由根与系数的关系得出，，
，
，
，
，
化简得，
解得或．
【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案；
先根据根与系数的关系得出，，由知，即，从而列出关于k的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
25.【答案】解：
，
无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
由根与系数的关系得出，
由得，
解得．
【解析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
根据根的判别式得出，据此可得答案；
根据根与系数的关系得出，，代入得出关于m的方程，解之可得答案．
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