初中数学北师大版九年级下册5 确定圆的条件优秀一课一练

3.5确定圆的条件同步练习北师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，点O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E在的外部，下列说法正确的是   

A. 点O是的外心，点O是的外心
B. 点O是的外心，点O不是的外心
C. 点O不是的外心，点O是的外心
D. 点O不是的外心，点O不是的外心
 

2. 如图，已知平面直角坐标系内三点，，，经过点A，B，C，则点P的坐标为   

A.
B.
C.
D.

3. 如图所示，正三角形ABC的边长为3，将绕它的外心O逆时针旋转得到，则它们重叠部分的面积是   

A.
B.
C.
D.

4. 如图，若O是AB的中点，则O不是下列哪个三角形的外心    

A.
B.
C.
D.

5. 在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，的半径为3，要使点B在内时，实数a的取值范围是    

A.  B.  C.  D. 或

6. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，下列叙述不正确的是   

A. O是的外心，O不是的外心
B. O是的外心，O不是的外心
C. O是的外心，O不是的外心
D. O是的外心，O不是的外心
 

7. 已知中，，，，点O为AB的中点，以O为圆心，OA为半径作，将绕点O旋转后，此时点C与的位置关系是   

A. 点C在上 B. 点C在外 C. 点C在内 D. 不能确定

8. 下列说法中，正确的是   

A. 三点确定一个圆
B. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
C. 平分弦的直径垂直于弦
D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等

9. 10个大小相同的正六边形按如图所示的方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点，则下列三角形中，外心是点O的是   

A.
B.
C.
D.

10. 与圆心的距离不大于半径的点位于   

A. 圆的外部 B. 圆的内部
C. 圆上 D. 圆的内部或圆上

11. 如图，在网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度选取9个格点格线的交点称为格点如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，那么r的取值范围为   

A.
B.
C.
D.
 

12. 下列说法中，正确的是   

A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆
C. 四边形都有一个外接圆 D. 圆有且只有一个内接三角形

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在中，若，，则的面积的最大值为          ．
14. 设Q是所在平面内的一个定点，若点Q到圆上的最大距离和最小距离分别为16和6，则该圆的直径为          ．
15. 直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是          ．
16. 在平面直角坐标系中，有，，三点现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，内接于，且AB为直径，D为上一点且，求证：为等腰三角形．
    
    
     

18. 如图，的顶点坐标分别为．

的外接圆圆心M的坐标为___________；

以点M为位似中心，作使它与位似点D与点A对应，点E与点B对应，且与的位似比为；

的面积为______________个平方单位．






 

19. 如图，是的内接三角形，，D为中上一点，延长DA至点E，使．
    求证：；
    若，求证：．
     

20. 如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、．
    用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
    圆M的半径是______；
    若点D的坐标为，请通过计算说明点D与圆M的位置关系．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，，且，．
    求证：；
    当时，求BF的长；
    若，，且的外心在该三角形的外部，请直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图：内接于圆，请用尺规作图保留作图痕迹．
    
    在图1中作出外接圆的圆心．
    在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为的两倍．
    
    
    
    
    
    
     
23. 图1，作的外接圆．
    如图2，A为上一点，按步骤作图：连接OA；以点A为圆心，AO长为半径作弧，交于点B；在射线OB上截取；连接若，求的半径．

24. 如图，内接于，，，于点D，若的半径为4，求弦AB的长．
    
    
     

25. 如图，已知抛物线yaxaxa与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为，点D是线段BC的中点，点E、F分别是线段OB，OC上的动点．

求抛物线的解析式；

是否存在点E，F，使得DEF为等边三角形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；

当BFD的度数最大时，求OBF的值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】略
 

2.【答案】C
 

【解析】略
 

3.【答案】C
 

【解析】如图，过A作于M，易知重合部分是正六边形，连结O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的正三角形．
是正三角形，且边长为3，，

，，

，

，

重叠部分的面积．

4.【答案】B
 

【解析】略
 

5.【答案】C
 

【解析】略
 

6.【答案】D
 

【解析】 如图，连接OB、OD、OA，

为锐角三角形ABC的外心，
，
四边形OCDE为正方形，
，
．
，即O是的外心，
，即O不是的外心，
，即O不是的外心，
，即O是的外心，
，即O是的外心，
，即O不是的外心，
，即O不是的外心．
故选 D．
 

7.【答案】A
 

【解析】略
 

8.【答案】D
 

【解析】解：不在同一直线上的三点确定一个圆
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补
平分弦非直径的直径垂直于弦
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．
故说法正确的是D．
故选D．
 

9.【答案】D
 

【解析】略
 

10.【答案】D
 

【解析】略
 

11.【答案】B
 

【解析】略
 

12.【答案】B
 

【解析】略
 

13.【答案】
 

【解析】如图，过点C作于点由弦AB已确定，可得要使的面积最大，只要CM的长取最大值即可根据题意，得当CM过圆心O时，CM最长．

14.【答案】22或10
 

【解析】略
 

15.【答案】2
 

【解析】解：由勾股定理得，
直角三角形的斜边长，
它的外接圆的直径是2．
故答案为2．
 

16.【答案】
 

【解析】分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线的交点坐标是，圆心坐标为．
 

17.【答案】证明：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形．
 

【解析】根据直径所对圆周角是直角可得，然后证明，根据垂径定理可得，进而可得结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定，解决本题的关键是垂径定理的应用．
 

18.【答案】；见解析；
 

【解析】

【分析】

根据三角形的外接圆圆心是三边中垂线的交点，则可画出三边中垂线交于M点，得出坐标即可；

连接MA并反向延长至D，使得MDMA，同理构造ME和MF，顺次连接D、E、F，则DEF即为所求；从图中可得出，以ED为底边，F到ED的距离为高即可求出DEF的面积．

【详解】

如图所示，分别作ABC三边的中垂线，交于M点，坐标为，

故答案为：；

如图，连接MA并反向延长至D，使得MDMA，

同理构造出E、F，顺次连接D、E、F，

则DEF即为所求；

故答案为：4．

【点睛】

本题主要考查三角形的外心，以及位似图形的作图，理解三角形外心的定义以及作位似图形的方法是解题关键．

19.【答案】证明：是的内接三角形，，
，
，
；
又，
，同弧上的圆周角相等
，
，
在和中，

≌，
．

，
，
；
又，
为等腰直角三角形，
，
又且，
．
 

【解析】先证出≌，只要再找一对角相等就可以了，利用边相等，可得，，而，故，再利用SAS可证出≌．
利用中的全等，可得，，，那么就有，根据勾股定理得，而，所以有．
本题利用了同弧上的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，还有圆内接四边形的外角等于其内对角等知识．
 

20.【答案】
 

【解析】解：如图，点M为所作；

点的坐标为，
，
即圆M的半径是；
故答案为；
，，
，
，
点D在圆M外．
利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M；
利用勾股定理计算MA的长度即可；
通过比较MA与MD的大小关系可判断点D与圆M的位置关系．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
 

21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
；
解：
由可知，
，
由可知≌，
，
，
即，
，
即．
的外心在该三角形的外部，
是钝角三角形，
，
，
，
，即，
，
内角和是，
，
即，
，
解得：．
 

【解析】由平行线的性质，结合条件可证明≌，可证明；
由中的全等可得，，可证明，可证明为等腰三角形；
由外心的位置可知是钝角三角形，可得，再利用三角形的内角和可得的范围．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图1，点O为所作；

如图2，为所作．

 

【解析】作AC和AB的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；
先截取，再连接CD，则满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

23.【答案】解：如图，为所作；

连接AB，如图，

由作法得，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即的半径为．
 

【解析】分别作AB、BC的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；
由作法得，则可判断为等边三角形得到，再求出，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆与外心．
 

24.【答案】解：如图，连接OA，OC．
，
在中，根据勾股定理得：，
，，
．
，
．
 

【解析】连接OA，OC，根据圆周角定理得圆心角为，根据勾股定理求出AC，再根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半即可求出CD，即可得到结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形，其中连接OA、OC构造圆心角，利用圆周角定理是解题的关键．
 

25.【答案】yxx；存在，DEF为等边三角形时，E，F；OBF
 

【解析】

【分析】

将一般式配方成为顶点式，根据顶点的纵坐标为，列出方程，求出a的值，即可求解；

延长DE至G，使，连接FG，过点D作轴交于点M，过G点作轴交于点N，证明，得到，再由中点求出，则，求出，又由，则，可求；

过的外接圆M，当与y轴相切时，切点为F，此时最大，设BD的中点H，则，可证明，由，求出，则，求出直线GH的解析式为，设，则，由，得到，再由，可求，则，即可求．

【详解】

解：将抛物线化为顶点式：

yaxaxa，

axa，

a，

a，

抛物线的解析式：；

存在，理由如下：

设Ea，，Fb，

令x，则y，

C点坐标，

令y，则，

x或3，

A，B，

D为BC的中点，

D点坐标，

如图1，延长DE至G，使DEEG，连接FG，过点D作DMy轴交于点M，过G点作GNy轴交于点N，

DEF是等边三角形，

EFEGDFDE，DEFDFE，

FEG，

EFG，

DFG，

MFDMDF，MFDNFG，

MDFNFG，

FMD∽GNF，

，

，

，

，，

，，

，

E点是DG的中点，

Ga，，

ON，

，

，

，

，

，

，

，

，

为等边三角形时，，；

如图2，过BDF的外接圆M，

当M与y轴相切时，切点为F，此时BFD最大，

设BD的中点H，则，

，

OC，BO，

CB，

COBBHG，CBOHBG，

BOC∽BHG，

，即，

，

，

设直线GH的解析式为ykxb，

则

，

设Mr，t，则Ft，

FMMBr，

rtr，

tr，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等相关知识以及中倍长线段、构造k字型相似，中构造的外接圆与y轴相切时最大是解题的关键．