苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性随堂练习题

这是一份苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性随堂练习题，共11页。试卷主要包含了∴∠AMK＝∠BKN等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( )．
A．30° B．40° C．45° D．36°

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( ) A． 30° B． 45° C． 50° D． 75°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为( )
A． 40° B． 30° C． 70° D． 50°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是( )
A． ①②③ B． ②③④ C． ①③⑤ D． ①③④
5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )
A． 50° B． 51° C． 51．5° D． 52．5°
6．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )
A． 44° B． 66° C． 88° D． 92°

第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…．若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n)))° B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n＋1)))° C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n－1)))° D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n＋2)))°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A． 35° B． 45° C． 55° D． 60°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为( )
A． 18 B． 20 C． 22 D． 24

第9题图 第10题图 第12题图 第13题图
10．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则( )
A． 当∠B为定值时，∠CDE为定值 B． 当α为定值时，∠CDE为定值
C． 当β为定值时，∠CDE为定值 D． 当γ为定值时，∠CDE为定值
11．等腰三角形的“三线合一”指的是( )
A. 中线、高线、角平分线互相重合
B. 腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C. 顶角的平分线、中线、高线互相重合
D. 顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合
12．如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点．现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是( )
A. AC和BC，焊接点C B. AB和AC，焊接点A
C. AD和BC，焊接点D D. AB和AD，焊接点A
13．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2，且B1C1＝B1C2＝AC1.照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条( )
A. 7根 B. 6根 C. 5根 D. 4根
14．某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，则它的周长为( )．
A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．12 cm或15 cm
15．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )．
A．16 B．18 C．20 D．16或20
二．填空题(每小题2分 共30分)
16．在△ABC中，AB＝AC．
(1)如果∠A＝70°，那么∠C＝_______，∠B＝_______；
(2)如果∠A＝90°，那么∠B＝_______，∠C＝_______；
(3)如果有一个角等于120°，那么其余两个角分别是_______；
(4)如果有一个角等于55°，那么其余两个角分别是_______．
17．(1)如果等腰三角形的周长为14，底边长为6，那么腰长为_______；
(2)如果等腰三角形的周长为14，腰长为6，那么底边长为_______；
(3)如果等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另两边长分别为_______．
18．在△ABC中，若AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，D为垂足，则∠BAD＝________．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E，如果AB＝10 cm，并且△ABD的周长为23 cm，则△ABC的周长为________．
第19题图 第20题图 第21题图
20．如图，点B、D、F在AN上，点C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FEM＝_______．
21．如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC＝_______．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为___．
, ,
第22题图 第23题图 第24题图
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B＝65°，则BD＝____，∠ADB＝____，∠BAC＝____．
24．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画____条线段．
25．若等腰三角形的两边分别是3和4，则此等腰三角形的周长为_______．
26．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的大小为_______．
27．在等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．
(1)若∠A是顶角，则∠C＝_______；(2)若∠A是底角，则∠C＝_______．
28．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝_______°．

第28题图 第29题图 第30题图
29．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝______°．
30．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的数量关系是 ．
三．解答题（60分）
31．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．
32．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°．求证：△AEF≌△BCF．
（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：DE＝DF．
(2)问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，那么它们还相等吗？
34．（6分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，求∠CEF的度数．
35．（6分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．
36．（6分）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，BD交于点O，求∠AOB的度数．
37．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB＝OC．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．
38.（10分）(1)已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．
(2)已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
教师样卷
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( D )．
A．30° B．40° C．45° D．36°

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)
A． 30° B． 45° C． 50° D． 75°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(A)
A． 40° B． 30° C． 70° D． 50°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)
A． ①②③ B． ②③④ C． ①③⑤ D． ①③④
5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)
A． 50° B． 51° C． 51．5° D． 52．5°
6．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)
A． 44° B． 66° C． 88° D． 92°
【解】 ∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．在△AMK和△BKN中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AM＝BK，,∠A＝∠B，,AK＝BN，))∴△AMK≌△BKN(SAS)．∴∠AMK＝∠BKN．∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°．

第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…．若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为(C)
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n)))° B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n＋1)))° C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n－1)))° D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n＋2)))°
【解】 在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝∠A＝70°．∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝eq \f(∠BA1A,2)＝35°．同理，∠B2A3A2＝eq \f(1,2)∠B1A2A1＝eq \f(∠BA1A,22)，∠B3A4A3＝eq \f(1,2)∠B2A3A2＝eq \f(∠BA1A,23)，…，∴∠Bn－1AnAn－1＝eq \f(∠BA1A,2n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(70,2n－1)))°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(C)
A． 35° B． 45° C． 55° D． 60°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为(B)
A． 18 B． 20 C． 22 D． 24

第9题图 第10题图 第12题图 第13题图
10．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(B)
A． 当∠B为定值时，∠CDE为定值 B． 当α为定值时，∠CDE为定值
C． 当β为定值时，∠CDE为定值 D． 当γ为定值时，∠CDE为定值
【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，∴2∠CDE＝α．
11．等腰三角形的“三线合一”指的是(D)
A. 中线、高线、角平分线互相重合
B. 腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C. 顶角的平分线、中线、高线互相重合
D. 顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合
12．如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点．现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是(C)
A. AC和BC，焊接点C B. AB和AC，焊接点A
C. AD和BC，焊接点D D. AB和AD，焊接点A
13．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2，且B1C1＝B1C2＝AC1.照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条(C)
A. 7根 B. 6根 C. 5根 D. 4根
【解】 如解图．∵B1C1＝AC1，∴∠1＝∠A＝15°，∴∠2＝30°.∵C2B1＝B1C1，∴∠3＝∠2＝30°，∴∠C1B1C2＝120°，∴∠4＝45°.易知∠6＝∠7＝60°，∠8＝∠9＝75°，
∴∠B2C3B3＝30°，∴∠C2C3B3＝90°，∴∠B3C3M＝90°.
∴第6个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形内角和定理，故最多只能焊5根．
14．某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，则它的周长为( C )．
A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．12 cm或15 cm
15．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( C )．
A．16 B．18 C．20 D．16或20
二．填空题(每小题2分 共30分)
16．在△ABC中，AB＝AC．
(1)如果∠A＝70°，那么∠C＝_______，∠B＝_______；
(2)如果∠A＝90°，那么∠B＝_______，∠C＝_______；
(3)如果有一个角等于120°，那么其余两个角分别是_______；
(4)如果有一个角等于55°，那么其余两个角分别是_______．
【答案】(1)55° 55° (2)45° 45° (3)30°，30° (4)62.5°，62.5°或55°，70
17．(1)如果等腰三角形的周长为14，底边长为6，那么腰长为_______；
(2)如果等腰三角形的周长为14，腰长为6，那么底边长为_______；
(3)如果等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另两边长分别为_______．
【答案】．(1)4 (2)2 (3)4，2或3，3
18．在△ABC中，若AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，D为垂足，则∠BAD＝________．
【答案】．60°
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E，如果AB＝10 cm，并且△ABD的周长为23 cm，则△ABC的周长为________．
【答案】33( cm)．
第19题图 第20题图 第21题图
20．如图，点B、D、F在AN上，点C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FEM＝_______．
【答案】．100
21．如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC＝_______．
【答案】．1080
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为___．
【答案】_32°
, ,
第22题图 第23题图 第24题图
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B＝65°，则BD＝____，∠ADB＝____，∠BAC＝____．
【答案】__3__，__90°__，__50°__．
24．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画____条线段．
【答案】9【解】 由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…．∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．同理可得∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，∠A5A4B＝54°，∠A6A5C＝63°，∠A7A6B＝72°，∠A8A7C＝81°，∠A9A8B＝90°，∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．
25．若等腰三角形的两边分别是3和4，则此等腰三角形的周长为_______．
【答案】．10或11
26．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的大小为_______．
【答案】．60°或120°
27．在等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．
(1)若∠A是顶角，则∠C＝_______；(2)若∠A是底角，则∠C＝_______．
【答案】．(1)30° (2)80°
28．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝_______°．
【答案】40

第28题图 第29题图 第30题图
29．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝______°．
【答案】40
30．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的数量关系是 ．
【答案】3∠1－∠2=180°
三．解答题（60分）
31．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．
【解】 ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，AD⊥BC．又∵BE＝DC，∴BD＝BE．又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，∴△ABD≌△ABE(SAS)，∴∠BAD＝∠BAE，即AB平分∠EAD．
32．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°．求证：△AEF≌△BCF．
【解】 过点F作FG⊥AB于点G．∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴∠ABF＝45°．∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝∠BGF＝90°．在△AGF和△BGF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠GAF＝∠GBF＝45°，,∠AGF＝∠BGF，,GF＝GF，))∴△AGF≌△BGF(AAS)，∴AF＝BF．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF＋∠C＝90°．∵BF⊥AC，∴∠AFE＝∠BFC＝90°，∠CBF＋∠C＝90°，∴∠EAF＝∠CBF．
在△AEF和△BCF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EAF＝∠CBF，,AF＝BF，,∠AFE＝∠BFC，))∴△AEF≌△BCF(ASA)．
33．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．(1)求证：DE＝DF．
(2)问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，那么它们还相等吗？
【解】 (1)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．
(2)相等．理由如下：由(1)知AD⊥BC，∠DAE＝∠DAF，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，∴∠ADE＝eq \f(1,2)∠ADB，∠ADF＝eq \f(1,2)∠ADC，∴∠ADE＝∠ADF．在△ADE和△ADF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAE＝∠DAF，,AD＝AD，,∠ADE＝∠ADF，))∴△ADE≌△ADF(ASA)，∴DE＝DF．
34．（6分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，求∠CEF的度数．
【解】 连结BO．∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，
∴∠OBA＝∠OAB＝eq \f(1,2)∠BAC＝25°．∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°．∴∠OBC＝65°－25°＝40°．根据等腰三角形的对称性，得∠OCB＝∠OBC＝40°．∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠OEF，∴∠EOC＝∠ECO＝40°，
∴∠CEF＝∠OEF＝eq \f(180°－2×40°,2)＝50°．
35．（6分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．
【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理，∠ADE＝∠AED．设∠EDC＝α，∠C＝β，则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．
36．（6分）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，BD交于点O，求∠AOB的度数．
【解】 设AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE(SAS)，∴∠CDB＝∠CAE．
又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠AHO，
∴∠AOH＝∠DCH＝60°．∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．
37．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB＝OC．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．
【解】 (1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°．又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB(AAS)，∴BE＝CD．又∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO＝90°，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OB＝OC．
(2)连结DE．∵∠ABC＝70°，AB＝AC，∴∠A＝180°－2×70°＝40°．∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠OED＋∠ODE＋∠DOE＝180°，∴∠A＋∠AEO＋∠ADO＋∠DOE＝360°．又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，∴∠A＋∠DOE＝180°，∴∠BOC＝∠DOE＝180°－40°＝140°．
38.（10分）(1)已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．
(2)已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．

(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D．在△DBC中，①若∠C是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－eq \f(1,2)x，∠A＝180°－x－y．故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋eq \f(1,2)x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(1,2)x))，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－eq \f(3,4)∠C．②若∠C是底角，第一种情况：如解图④，当DB＝DC时，∠DBC＝x．在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x．若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C．若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝eq \f(1,2)∠BDC＝eq \f(1,2)∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－eq \f(3,4)∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°(∠C是小于45°的任意锐角)．