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2021学年第2章 对称图形——圆综合与测试复习练习题
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这是一份2021学年第2章 对称图形——圆综合与测试复习练习题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第2章《对称图形--圆》单元自测卷(1)-苏科版九年级数学上册培优训练
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1、已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部 C．一定在⊙O的上 D．不能确定
2、下列说法：①三角形的外心到三角形三边的距离相等②若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等③三点确定一个圆④平分弧的直径垂直于弦⑤等弧所对的圆周角相等⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4、圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（ ）
A．12π B．6π C．5π D．4π
(5) (6) (7) (8)
6、如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7、如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8、如图，已知、两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，
是上的一动点，则面积的最小值为
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9、的圆心是原点，半径为5，点在上，如果点在第一象限内，那么______.
10、平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
11、如图，五边形为的内接正五边形，则 ．
(11) (12)
12、如图所示，若用半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），
则这个圆锥的底面半径是______．
13、⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，
则AD的长为_____．
14、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是 cm（结果保留π）．
(14) (15) (16)
15、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.
16、如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．）
17、（6分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．
（1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．
18、（6分）已知：如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边交于点A、B、C、D．求证：∠OBA=∠OCD
19、（8分） 已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D．
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC．
20、（8分）如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．
求证：PA是的切线；
若，求的直径．
21、（8分）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
（1）求证：∠AOC=135°
（2）若NC=3，BC=，求DM的长
22、（10分）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
23、（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
24、（8分）如图，已知是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求阴影部分的面积．
25、（12分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为 ，∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
26、（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
27、（14分）中,,,,点是 的中点,点是直线上方平面内一点（不与､重合）,且,以为圆心,为半径作．
（1）如图1,当经过点时,
①为______ 三角形; ②求证:一定经过点; ③阴影部分的面积为______;
（2）如图2,过点作直线于点,且与直线相切,求的长;
（3）设与的另一个交点为,当时,直接写出的长．
第2章《对称图形--圆》单元自测卷(1)-苏科版九年级数学上册 培优训练（解析）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1、已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部 C．一定在⊙O的上 D．不能确定
试题分析：的直径为10，半径为5，点到点的距离大于8，点一定在的外部，
故选B．
2、下列说法：①三角形的外心到三角形三边的距离相等②若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等③三点确定一个圆④平分弧的直径垂直于弦⑤等弧所对的圆周角相等⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，三角形外心的性质，圆周角定理，弦、圆心角、弧的关系判断即可．
【答案】解：①三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；故不符合题意；
②在同圆或等圆中，若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等，故不符合题意；
③不在同一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；
④平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦；故不符合题意；
⑤等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故不符合题意；
故选：B．
3、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【详解】如图，连接OA，作OM⊥AB．
∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴∠AOM=30°，AMAB2=1，∴正六边形的边心距是OM．
故选B．
4、圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解析】∵圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，
∴圆锥的母线长为：(cm)，
∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×3×5=15π(cm2)．
故选：C．
5、如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（ ）
A．12π B．6π C．5π D．4π
【分析】如图，连接OC，利用等腰三角形的性质及内角和定理求得∠AOC的度数，然后利用弧长公式进行解答即可．
【详解】
解：如图，连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝30°，∴∠C＝∠CAB＝30°，∴∠AOC＝120°，
∴弧AC的长度l＝．
故选：D．
6、如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用切线的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，结合圆周角定理得出答案．
【详解】∵PA切于点A，∴，
∵， ∴，
∴，
故答案为：A．
7、如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】取AB的中点O，连接AF，OF，先证明△ABC是等边三角形，再把问题转化为S阴=S扇形OBF，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．
∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF，∵CF=BF，∴AC=AB，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AE=EC，
易证△CEF≌△BOF，∴S阴=S扇形OBF==，
故选D．
8、如图，已知、两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，
是上的一动点，则面积的最小值为
A．1 B． C． D．
解：如图，过点作，交于，此时面积的值最小是定值，只要圆上一点到直线的距离最小，
设直线的解析式为，
，，，，直线的解析式为①，
设直线的解析式为， ，，
，，直线的解析式为②，
联立①②得，，，
，，
的半径为1，，
，，，
，故选：．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9、的圆心是原点，半径为5，点在上，如果点在第一象限内，那么______.
【分析】如图,可得OA=5，OB=3，运用勾股定理可以求得AB的长，即为a的值.
【详解】解：如图
由题意得：OA=5，OB=3，
由勾股定理可得：AB=
即a=4
10、平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【解析】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、B共线，
∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．
11、如图，五边形为的内接正五边形，则 ．
【解答】解：五边形是的内接正五边形，
，，
，
同理，
，
故答案为：．
12、如图所示，若用半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），
则这个圆锥的底面半径是______．
【答案】2
【分析】根据半径为6，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
【解析】设圆锥的底面半径为r，
由题意得，，
解得，r=，
故答案为：．
13、⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，
则AD的长为_____．
【分析】根据垂径定理，得AB=AC，AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可
【详解】如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴=，∴AO⊥BC，∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为1或3．
14、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是 cm（结果保留π）．
【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．
【解析】连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，
则OA2＝22+42＝20，OA＝2
可知∠AOC＝90°，
∴过A、B、C三点的弧：
故答案为
15、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.
【详解】解：∵点A的坐标为(0，3)，∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
16、如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
【解答】解：直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示：
；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示：
；
与直线相切，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．）
17、（6分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．
（1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．
【分析】（1）利用尺规作图：以点E为圆心，EP长为半径画弧，在直径AB上方的圆上交一点C，再根据已知条件可得OE＝EC＝EP，根据三角形内角和可得∠ECO+∠ECP＝90°，进而证明PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，根据BP＝4，EB＝1，可得EP的长，进而可得半径，再根据勾股定理即可求PC的长．
【答案】解：（1）如图，点C即为所求；
证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵BP＝4，EB＝1，
∴OE＝EP＝BP+EB＝5，
∴OP＝2OE＝10，
∴OC＝OB＝OE+EB＝6，
在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC8．
则PC的长为8．
18、（6分）已知：如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边交于点A、B、C、D．求证：∠OBA=∠OCD
【答案】见解析.
【分析】过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，则可知OM=ON，且OB=OC，则可证得△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD．
证明： 过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N
∵∠EPO=∠FPO，∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△ONC中，，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），∴∠OBA=∠OCD．
19、（8分） 已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D．
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC．
【答案】(1)△PCD的周长为12；(2)∠DOC＝65°.
【分析】
(1) )连接OE，由切线长定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周长；（2）根据已知条件易求∠AOB＝130°；再证明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性质可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝∠AOB＝65°.
(1)连接OE，
∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6.
同理可得：AC＝CE，BD＝DE.
∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12.
(2)∵PA，PB与⊙O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.
在Rt△AOC和Rt△EOC中，∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)．
∴∠AOC＝∠COE.
同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠DOC＝∠AOB＝65°.
20、（8分）如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．
求证：PA是的切线；
若，求的直径．
【答案】（1）详见解析；（2）的直径为．
【分析】
连接OA，根据圆周角定理求出，再根据同圆的半径相等从而可得，继而根据等腰三角形的性质可得出，继而由，可得出，从而得出结论；
利用含的直角三角形的性质求出，可得出，再由，可得出的直径．
连接OA，如图，
，，
又，，
又，，
，
，是的切线．
在中，，，
又，，
，．的直径为．
21、（8分）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
（1）求证：∠AOC=135°
（2）若NC=3，BC=，求DM的长
【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；
(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，
∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N, ∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB,∴OM=OE,即：E为⊙O的切点；∴OE=ON，
又∵OE⊥AC，ON⊥CD∴OC平分∠ACD
∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠DAC+∠ACD=90°∴∠OAC+∠OCA=45°
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°
（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，
∵AB=AC∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x
∵CD=3+x
在Rt∆BCD中，由勾股定理得：
即：,解得：x=1或x=-1（舍去）,即DM=1．
22、（10分）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
【分析】（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝AB＝2，则EH＝AH−AE＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB＝，由一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，即可得出结论．
【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝＝＝1，∴OB＝＝＝，
即⊙O的半径为，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．
23、（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．
解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=
∴S△OCD==8， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=×π×OC2=，
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=8﹣，
∴阴影部分的面积为8﹣．
24、（8分）如图，已知是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见详解；（2）阴影部分的面积为．
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（2）连接OC，作OF⊥AC，根据三角形中位线性质得出OF=2，根据圆周角定理得出∠AOC=120°，然后根据S阴影=S扇形-S△AOC即可求得．
【解析】（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D=60°，
∴∠ABC=∠D=60°；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
可得∠BAC=90°∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，得OA⊥AE，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接OC，作OF⊥AC，
∴OF垂直平分AC，
∵OA=OB，，
∴OF=BC=2，
∵∠D=60°，
∴∠AOC=120°，∠ABC=60°，
∴AC=，
∴S阴影=S扇形-S△AOC=．
25、（12分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为 ，∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
【答案】（1）圆心D点的位置见解析，（2，0）；（2）2， 90°；（3）．
【分析】（1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO＝∠DCE，可得∠ADO+∠CDE＝90°，可得到∠ADC的度数；
（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积＝πr•AD，可求得r．
【解析】（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，
则OA＝4，OD＝2，在Rt△AOD中，可求得AD＝，
即⊙D的半径为，
且CE＝2，DE＝4，
∴AO＝DE，OD＝CE，
在△AOD和△DEC中，
，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠ADC＝90°，
故答案为；90°；
（3）弧AC的长＝×＝π，
设圆锥底面半径为r则有2πr＝π，解得：r＝，
所以圆锥底面半径为．
26、（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE与⊙O相切；（3）
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB是⊙O的直径；（2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，利用中位线定理得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到DABC为等边三角形，连接BF，DE为DCBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．
【解析】解：（1）证明：连接AD，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴AB为⊙O的直径；
（2）DE与⊙O相切，理由为：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；
（3）解：连接BF，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=6，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE∥BF，
∵D为BC中点，∴E为CF中点，DE=BF，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，
∴BF=，则DE=BF=．
27、（14分）中,,,,点是 的中点,点是直线上方平面内一点（不与､重合）,且,以为圆心,为半径作．
（1）如图1,当经过点时,
①为______ 三角形; ②求证:一定经过点; ③阴影部分的面积为______;
（2）如图2,过点作直线于点,且与直线相切,求的长;
（3）设与的另一个交点为,当时,直接写出的长．
【答案】（1）①等边;②见解析;③;（2）;（3）或
【分析】（1）①根据经过点,则有,又,即得出结论;②连接､,已得到为等边三角形,进而得出为等边三角形,即可得出结论;③由②可得阴影部分的面积 ,即可得出答案;
（2）设切点为,连接,作于点,可得四边形 是矩形,设,则,在和中,利用勾股定理,列出方程,即可得出答案;（3）过点P作,垂足为点G,则AG=QG,根据点Q的位置可分为两种情况进行讨论即可．
【详解】解：（1）①等边三角形 ∵经过点,∴PA,PD为的半径,即,
∵,∴,∴是等边三角形;
②如图,连接､
为边上中线,
又为等边三角形
又为等边三角形
,为等边三角形
又为半径为半径即一定经过点;
③由②可知
阴影部分的面积 ,
在中,,,,
∴ ,
∴ ,
（2）如图,设切点为,连接,作于点．
与直线相切
,四边形 是矩形,
设,则 中,
中,
解得或（舍去）即相切于时,
（3）如图,过点P作,垂足为点G,则AG=QG,
当点Q在A,D之间时,∵，AD=2，∴AG=QG= ,
在 和 中, ,,
即,解得: 或（舍去）;
当点Q在B,D之间时,有, , ,
∴,解得:或（舍去）;
综上所述:的长或.
第2章《对称图形--圆》单元自测卷(1)-苏科版九年级数学上册培优训练
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1、已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部 C．一定在⊙O的上 D．不能确定
2、下列说法：①三角形的外心到三角形三边的距离相等②若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等③三点确定一个圆④平分弧的直径垂直于弦⑤等弧所对的圆周角相等⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4、圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（ ）
A．12π B．6π C．5π D．4π
(5) (6) (7) (8)
6、如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7、如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8、如图，已知、两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，
是上的一动点，则面积的最小值为
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9、的圆心是原点，半径为5，点在上，如果点在第一象限内，那么______.
10、平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
11、如图，五边形为的内接正五边形，则 ．
(11) (12)
12、如图所示，若用半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），
则这个圆锥的底面半径是______．
13、⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，
则AD的长为_____．
14、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是 cm（结果保留π）．
(14) (15) (16)
15、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.
16、如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．）
17、（6分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．
（1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．
18、（6分）已知：如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边交于点A、B、C、D．求证：∠OBA=∠OCD
19、（8分） 已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D．
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC．
20、（8分）如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．
求证：PA是的切线；
若，求的直径．
21、（8分）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
（1）求证：∠AOC=135°
（2）若NC=3，BC=，求DM的长
22、（10分）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
23、（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
24、（8分）如图，已知是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求阴影部分的面积．
25、（12分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为 ，∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
26、（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
27、（14分）中,,,,点是 的中点,点是直线上方平面内一点（不与､重合）,且,以为圆心,为半径作．
（1）如图1,当经过点时,
①为______ 三角形; ②求证:一定经过点; ③阴影部分的面积为______;
（2）如图2,过点作直线于点,且与直线相切,求的长;
（3）设与的另一个交点为,当时,直接写出的长．
第2章《对称图形--圆》单元自测卷(1)-苏科版九年级数学上册 培优训练（解析）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1、已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部 C．一定在⊙O的上 D．不能确定
试题分析：的直径为10，半径为5，点到点的距离大于8，点一定在的外部，
故选B．
2、下列说法：①三角形的外心到三角形三边的距离相等②若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等③三点确定一个圆④平分弧的直径垂直于弦⑤等弧所对的圆周角相等⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，三角形外心的性质，圆周角定理，弦、圆心角、弧的关系判断即可．
【答案】解：①三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；故不符合题意；
②在同圆或等圆中，若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等，故不符合题意；
③不在同一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；
④平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦；故不符合题意；
⑤等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故不符合题意；
故选：B．
3、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【详解】如图，连接OA，作OM⊥AB．
∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴∠AOM=30°，AMAB2=1，∴正六边形的边心距是OM．
故选B．
4、圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解析】∵圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，
∴圆锥的母线长为：(cm)，
∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×3×5=15π(cm2)．
故选：C．
5、如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（ ）
A．12π B．6π C．5π D．4π
【分析】如图，连接OC，利用等腰三角形的性质及内角和定理求得∠AOC的度数，然后利用弧长公式进行解答即可．
【详解】
解：如图，连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝30°，∴∠C＝∠CAB＝30°，∴∠AOC＝120°，
∴弧AC的长度l＝．
故选：D．
6、如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用切线的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，结合圆周角定理得出答案．
【详解】∵PA切于点A，∴，
∵， ∴，
∴，
故答案为：A．
7、如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】取AB的中点O，连接AF，OF，先证明△ABC是等边三角形，再把问题转化为S阴=S扇形OBF，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．
∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF，∵CF=BF，∴AC=AB，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AE=EC，
易证△CEF≌△BOF，∴S阴=S扇形OBF==，
故选D．
8、如图，已知、两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，
是上的一动点，则面积的最小值为
A．1 B． C． D．
解：如图，过点作，交于，此时面积的值最小是定值，只要圆上一点到直线的距离最小，
设直线的解析式为，
，，，，直线的解析式为①，
设直线的解析式为， ，，
，，直线的解析式为②，
联立①②得，，，
，，
的半径为1，，
，，，
，故选：．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9、的圆心是原点，半径为5，点在上，如果点在第一象限内，那么______.
【分析】如图,可得OA=5，OB=3，运用勾股定理可以求得AB的长，即为a的值.
【详解】解：如图
由题意得：OA=5，OB=3，
由勾股定理可得：AB=
即a=4
10、平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【解析】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、B共线，
∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．
11、如图，五边形为的内接正五边形，则 ．
【解答】解：五边形是的内接正五边形，
，，
，
同理，
，
故答案为：．
12、如图所示，若用半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），
则这个圆锥的底面半径是______．
【答案】2
【分析】根据半径为6，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
【解析】设圆锥的底面半径为r，
由题意得，，
解得，r=，
故答案为：．
13、⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，
则AD的长为_____．
【分析】根据垂径定理，得AB=AC，AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可
【详解】如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴=，∴AO⊥BC，∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为1或3．
14、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是 cm（结果保留π）．
【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．
【解析】连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，
则OA2＝22+42＝20，OA＝2
可知∠AOC＝90°，
∴过A、B、C三点的弧：
故答案为
15、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.
【详解】解：∵点A的坐标为(0，3)，∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
16、如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
【解答】解：直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示：
；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示：
；
与直线相切，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．）
17、（6分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．
（1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．
【分析】（1）利用尺规作图：以点E为圆心，EP长为半径画弧，在直径AB上方的圆上交一点C，再根据已知条件可得OE＝EC＝EP，根据三角形内角和可得∠ECO+∠ECP＝90°，进而证明PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，根据BP＝4，EB＝1，可得EP的长，进而可得半径，再根据勾股定理即可求PC的长．
【答案】解：（1）如图，点C即为所求；
证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵BP＝4，EB＝1，
∴OE＝EP＝BP+EB＝5，
∴OP＝2OE＝10，
∴OC＝OB＝OE+EB＝6，
在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC8．
则PC的长为8．
18、（6分）已知：如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边交于点A、B、C、D．求证：∠OBA=∠OCD
【答案】见解析.
【分析】过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，则可知OM=ON，且OB=OC，则可证得△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD．
证明： 过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N
∵∠EPO=∠FPO，∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△ONC中，，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），∴∠OBA=∠OCD．
19、（8分） 已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D．
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC．
【答案】(1)△PCD的周长为12；(2)∠DOC＝65°.
【分析】
(1) )连接OE，由切线长定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周长；（2）根据已知条件易求∠AOB＝130°；再证明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性质可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝∠AOB＝65°.
(1)连接OE，
∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6.
同理可得：AC＝CE，BD＝DE.
∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12.
(2)∵PA，PB与⊙O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.
在Rt△AOC和Rt△EOC中，∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)．
∴∠AOC＝∠COE.
同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠DOC＝∠AOB＝65°.
20、（8分）如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．
求证：PA是的切线；
若，求的直径．
【答案】（1）详见解析；（2）的直径为．
【分析】
连接OA，根据圆周角定理求出，再根据同圆的半径相等从而可得，继而根据等腰三角形的性质可得出，继而由，可得出，从而得出结论；
利用含的直角三角形的性质求出，可得出，再由，可得出的直径．
连接OA，如图，
，，
又，，
又，，
，
，是的切线．
在中，，，
又，，
，．的直径为．
21、（8分）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
（1）求证：∠AOC=135°
（2）若NC=3，BC=，求DM的长
【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；
(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，
∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N, ∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB,∴OM=OE,即：E为⊙O的切点；∴OE=ON，
又∵OE⊥AC，ON⊥CD∴OC平分∠ACD
∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠DAC+∠ACD=90°∴∠OAC+∠OCA=45°
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°
（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，
∵AB=AC∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x
∵CD=3+x
在Rt∆BCD中，由勾股定理得：
即：,解得：x=1或x=-1（舍去）,即DM=1．
22、（10分）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
【分析】（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝AB＝2，则EH＝AH−AE＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB＝，由一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，即可得出结论．
【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝＝＝1，∴OB＝＝＝，
即⊙O的半径为，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．
23、（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．
解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=
∴S△OCD==8， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=×π×OC2=，
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=8﹣，
∴阴影部分的面积为8﹣．
24、（8分）如图，已知是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见详解；（2）阴影部分的面积为．
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（2）连接OC，作OF⊥AC，根据三角形中位线性质得出OF=2，根据圆周角定理得出∠AOC=120°，然后根据S阴影=S扇形-S△AOC即可求得．
【解析】（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D=60°，
∴∠ABC=∠D=60°；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
可得∠BAC=90°∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，得OA⊥AE，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接OC，作OF⊥AC，
∴OF垂直平分AC，
∵OA=OB，，
∴OF=BC=2，
∵∠D=60°，
∴∠AOC=120°，∠ABC=60°，
∴AC=，
∴S阴影=S扇形-S△AOC=．
25、（12分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为 ，∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
【答案】（1）圆心D点的位置见解析，（2，0）；（2）2， 90°；（3）．
【分析】（1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO＝∠DCE，可得∠ADO+∠CDE＝90°，可得到∠ADC的度数；
（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积＝πr•AD，可求得r．
【解析】（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，
则OA＝4，OD＝2，在Rt△AOD中，可求得AD＝，
即⊙D的半径为，
且CE＝2，DE＝4，
∴AO＝DE，OD＝CE，
在△AOD和△DEC中，
，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠ADC＝90°，
故答案为；90°；
（3）弧AC的长＝×＝π，
设圆锥底面半径为r则有2πr＝π，解得：r＝，
所以圆锥底面半径为．
26、（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE与⊙O相切；（3）
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB是⊙O的直径；（2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，利用中位线定理得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到DABC为等边三角形，连接BF，DE为DCBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．
【解析】解：（1）证明：连接AD，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴AB为⊙O的直径；
（2）DE与⊙O相切，理由为：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；
（3）解：连接BF，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=6，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE∥BF，
∵D为BC中点，∴E为CF中点，DE=BF，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，
∴BF=，则DE=BF=．
27、（14分）中,,,,点是 的中点,点是直线上方平面内一点（不与､重合）,且,以为圆心,为半径作．
（1）如图1,当经过点时,
①为______ 三角形; ②求证:一定经过点; ③阴影部分的面积为______;
（2）如图2,过点作直线于点,且与直线相切,求的长;
（3）设与的另一个交点为,当时,直接写出的长．
【答案】（1）①等边;②见解析;③;（2）;（3）或
【分析】（1）①根据经过点,则有,又,即得出结论;②连接､,已得到为等边三角形,进而得出为等边三角形,即可得出结论;③由②可得阴影部分的面积 ,即可得出答案;
（2）设切点为,连接,作于点,可得四边形 是矩形,设,则,在和中,利用勾股定理,列出方程,即可得出答案;（3）过点P作,垂足为点G,则AG=QG,根据点Q的位置可分为两种情况进行讨论即可．
【详解】解：（1）①等边三角形 ∵经过点,∴PA,PD为的半径,即,
∵,∴,∴是等边三角形;
②如图,连接､
为边上中线,
又为等边三角形
又为等边三角形
,为等边三角形
又为半径为半径即一定经过点;
③由②可知
阴影部分的面积 ,
在中,,,,
∴ ,
∴ ,
（2）如图,设切点为,连接,作于点．
与直线相切
,四边形 是矩形,
设,则 中,
中,
解得或（舍去）即相切于时,
（3）如图,过点P作,垂足为点G,则AG=QG,
当点Q在A,D之间时,∵，AD=2，∴AG=QG= ,
在 和 中, ,,
即,解得: 或（舍去）;
当点Q在B,D之间时,有, , ,
∴,解得:或（舍去）;
综上所述:的长或.
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